精品解析：山东省临沂第一中学校本部2026-2027学年高一上学期10月阶段性达标检测数学试题

2026级校本部阶段性达标检测题 数学 2026.10 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 集合，，则的子集共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. C. D. 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 6. 对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（ ） A. 100人 B. 人 C. 人 D. 178人 8. 已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 设集合，．若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 11. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，，，则的取值范围是____________. 13. 已知，，则的最小值为____________________． 14. 设实数满足条件：关于的方程至多一个实数根． （1）则的取值范围是___________； （2）在此条件下，使有解，则的取值范围为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设，集合,． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知集合． （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 18. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，． （1）求与之间的函数关系式； （2）求的最大面积及相应的值． 19. 定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. （1）求集合； （2）求集合； （3）集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级校本部阶段性达标检测题 数学 2026.10 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 集合，，则的子集共有（ ） A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 【答案】D 【解析】 【分析】由并集运算得到，再由子集的定义即可得出答案. 【详解】因为，，所以， 集合的子集有：，有8个. 故选：D. 2. 已知命题，，则是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】含量词命题的否定改写规则为：改量词，否结论. 所以，命题的否定为. 3. 毛泽东同志在《清平乐·六盘山》中的两句诗为“不到长城非好汉，屈指行程二万”，假设诗句的前一句为真命题，则“到长城”是“好汉”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】由“不到长城非好汉”可知，要想成为好汉必须到过长城， 但到过长城未必是好汉， 因此“到长城”是“好汉”的必要不充分条件． 故选：B. 4. 集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先化解集合，又，即可得到或，解得即可. 【详解】由，即，解得， 所以， 又，显然， 因为，所以或， 解得或， 即实数的取值范围为或. 故选：A 5. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质计算即可. 【详解】对等式左边提取公因式得：. 等式两边同时加2，整理得：，即. 由，且乘积为4>0，可得，满足基本不等式的正数要求. 将目标式变形为：， 根据基本不等式的性质可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为7. 6. 对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：A. 7. 《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有人，观看了《浪浪山小妖怪》的有人，观看了《长安的荔枝》的有人，三部电影都观看了的有人，观看了其中两部电影的有人，这三部电影都未观看的有人．则接受调查的市民共有（ ） A. 100人 B. 人 C. 人 D. 178人 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算得到答案. 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示， 则，，，． 不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为， 观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为， 观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得 ， 解得，故接受调查的市民共有人． 故选：B． 8. 已知集合，若命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出命题的否定，再结合全称量词命题为真求出a的范围. 【详解】由命题“”为假命题，得为真命题， 而， 当时，，满足题意； 当时，则要， ，因此； 所以实数a的取值范围为. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A，利用作差法判断BCD. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，，故C正确；对于D，因为，所以，故D不正确． 故选：AC 10. 设集合，．若，则实数的值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先算出集合和的元素，再根据推出，，分类讨论即可求出实数可能的取值. 【详解】因为，解得，，故， 因为，所以，当时，，，当时，， 因为，则， 若，则，符合题意； 若，则； 若，则， 综上所述，实数的值可以为，和. 11. 若，，，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过基本不等式、代数变形、特殊值验证等方法逐一判断各选项是否恒成立.   【详解】选项A：因为，，，由基本不等式， 所以，即，当且仅当时取等号，故A正确.  选项B：，又，所以， 而，所以， 当且仅当时取等号，故B正确.  选项C：，代入，， 则， 因为，所以， 则，即，当且仅当时取等号，故C错误.  选项D：， 因为，所以，则， 即，当且仅当时取等号，D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知，，，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法，结合不等式性质，可得答案. 【详解】令，则，即， 由，即，可得，则. 故答案为：. 13. 已知，，则的最小值为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】对原式因式分解后可得积为定值，再利用配凑法结合基本不等式可求最小值. 【详解】原式变形可得,分解因式得， 因为,所以,即,, 又因为，当且仅当时等号成立， 故的最小值为． 14. 设实数满足条件：关于的方程至多一个实数根． （1）则的取值范围是___________； （2）在此条件下，使有解，则的取值范围为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空：根据题意，只需满足求解即可；第二空：将分离，得到关于的不等式，令进行换元，得到关于的函数，求出该函数的单调性，根据题中条件可知，函数有解，求得该函数的最大值即可. 【详解】由方程至多一个实数根需满足，其中判别式： ， 解得 即的取值范围为; 对于，使有解， 即在上能成立，令，则， 则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 即实数的取值范围. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 设，集合,． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）转化成求与的交点问题，联立求解. （2）转化为与没有交点，联立，判别式，即可得到答案. 【小问1详解】 由，得，解得， 所以. 【小问2详解】 由,得， 由已知方程的判别式， 从所以． 故实数的取值范围为． 16. 已知集合． （1）若，求; （2）若，求实数的取值范围； （3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）； （3）． 【解析】 【分析】 利用交集运算即可； 利用子集关系，再分两类空集和非空集讨论即可； 把充分不必要关系转化为真子集关系，再求参数范围. 【小问1详解】 当时，， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； 【小问3详解】 由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 17. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）； （2）当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为 【解析】 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质求解； （2）分、、三种情况，再结合根的大小以及一元二次函数的图象求解. 【详解】（1）由题意可知即对一切实数恒成立， 当时，不恒成立，故不符合题意； 当时，则，可得； 综上，的范围为. （2）可化为，即， ①当时，，即， 可得，故不等式的解集为； ②当时，有， 若，即时，可得或，解集为或； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为或； ③当，则，可得，解集为， 综上，当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为 18. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，． （1）求与之间的函数关系式； （2）求的最大面积及相应的值． 【答案】（1） （2）当时，的最大面积为 【解析】 【分析】（1）设，得到，进而，结合勾股定理计算即可求解； （2）由题意可得，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 设，则， ， ，解得， ， 由题意可知，， 则， 在中，由勾股定理可得，， 解得：， 故与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 ， 当且仅当即时，等号成立， 故当时，的最大面积为． 19. 定义两种新运算“”与“”，满足如下运算法则：对任意的，有，.设全集且，且，. （1）求集合； （2）求集合； （3）集合是否能满足？若能，求出实数的取值范围；若不能，请说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）集合能满足，实数的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算可得，分、与讨论即可求解； （2）根据新定义运算可得，代入即可求解； （3）易知，假设集合能满足，则，或且，代入求解即可. 【小问1详解】 因为对任意的，有，， 全集且， 所以 因为，所以，或，或. 当时，； 当时，； 当时，， 所以. 【小问2详解】 , 因为且，所以， 所以 所以. 【小问3详解】 因为，，所以. 假设集合能满足， 则，或且. 又， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得. 所以若且，则且且,. 综上所述，实数的取值范围为. 所以集合能满足，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $