精品解析：广东深圳市光明区高级中学2025-2026学年度第一学期高二12月月考数学试题

2025~2026学年度第一学期高二12月月考 数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若在直线l上，则直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案． 【详解】由题意可得：直线的一个方向向量， 又∵， ∴是直线的一个方向向量． 故选：A． 【点睛】本题主要考查直线的方向向量，以及平面向量共线（平行）的坐标表示，是基础题． 2. 如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法及减法运算计算判断即可. 【详解】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. 3. 已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得， 所以双曲线，焦点在轴上， 则双曲线的渐近线方程为. 4. 已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出中点坐标，根据两点间距离公式求得中线长. 【详解】设边的中点，则. 所以，所以. 所以过点的中线长为. 5. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】圆可化为，得圆心，半径 用点到直线的距离公式，直线，圆心到直线的距离：  弦长 6. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知，椭圆的标准方程为，可得椭圆的焦点在轴上，且， 所以. 因为双曲线与椭圆有相同的焦点，所以双曲线的焦点在轴上， 所以双曲线方程可化为，且， 所以，解得. 7. 已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对，可化为，圆心，半径 对，可化为，圆心，半径 圆心距的平方 因为两圆有2条公切线，所以​得，平方得 左不等式： ，解得或 右不等式： ，解得 综上 8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答. 【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点， 对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为， 由，得，， 在中，，则，， 由正弦定理得，，解得，则， 所以该椭圆的离心率. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆锥曲线的两个焦点为为上不与共线的点，则下列说法正确的有（ ） A. 若是椭圆，则实数的取值范围是 B. 若是双曲线，则两点在轴上 C. 若，则周长为8 D. 若，则的实轴和虚轴长度相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可判断AC；根据双曲线的定义和性质可判断BD. 【详解】对于A，若是椭圆，则，所以实数的取值范围是， 故A错误； 对于B，若是双曲线，则，则两点在轴上，故B正确； 对于C，若，则曲线是两点在轴上的椭圆， 且，所以，， 则周长为，故C正确； 对于D，若，则曲线是两点在轴上的双曲线， 且，即，，则的实轴和虚轴长度相等，故D正确. 10. 在棱长为2的正方体中，分别是和的中点，则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，因为分别是和的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，又，所以与不共线， 所以不垂直于平面，故B错误； 对于C，因为， 所以点到直线的距离为，故C正确； 对于D：因为， 所以点到平面的距离为，故D正确； 11. 我们把离心率为的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则（　　） A. 曲线是黄金双曲线 B. 如果双曲线是黄金双曲线，那么（c为半焦距） C. 如果双曲线是黄金双曲线，那么右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一 D. 过双曲线的右焦点且垂直于实轴的直线l交C于M、N两点，O为坐标原点，若，则双曲线C是黄金双曲线 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据双曲线的离心率以及黄金双曲线的定义分别计算即可一一判断； 【详解】解：对于A：，，，所以，所以，故A错误； 对于B：双曲线是黄金双曲线，所以，由，所以，故B正确； 对于C：双曲线的一条渐近线，则到其距离，而由B可知，，故C错误； 对于D：当时，，令，，则，，所以，则，由B可知，双曲线C是黄金双曲线，故D正确； 故选：BD 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的焦点坐标是______. 【答案】（-1,0） 【解析】 【详解】解析过程略 13. 已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 【答案】 【解析】 【详解】令直线的倾斜角为，则，而直线绕点逆时针旋转得到直线， 所以直线的倾斜角为，则其斜率为. 14. 已知椭圆和直线，则该椭圆上的点到该直线的距离的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出与直线平行且与椭圆相切的两直线，则两直线与直线的距离的范围即为该椭圆上的点到该直线的距离的取值范围. 【详解】设直线，则直线与原直线平行， 联立直线方程与椭圆方程，，可得， 令，解得， 当时，此时直线与椭圆相切，且离原直线距离最近， 所以椭圆上离原直线距离最近的点，即是这个切点， 此时最小距离为， 当时，此时直线与椭圆相切，且离原直线距离最远， 所以椭圆上离原直线距离最远的点，即是这个切点， 此时最大距离为 综上，椭圆上的点到原直线的距离范围为． 四､解答题：本大题共小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知直线（其中）． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与直线平行，求它们之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助两直线垂直性质计算即可得； （2）借助两直线平行性质计算可得，再利用两平行线间距离公式计算即可得. 【小问1详解】 由直线与直线垂直，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为； 【小问2详解】 由直线与直线平行，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为， 设直线与直线间的距离为，由平行线间的距离公式可得： ， 即直线与直线间的距离为. 16. 已知圆． （1）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； （2）若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆相切时的性质，对斜率的存在进行分类讨论，根据点到直线距离公式，求出参数值，求出方程； （2）根据圆的内切和外切时的性质，判定半径之间的关系，进而列出方程，求出参数值. 【小问1详解】 若直线斜率不存在，此时方程为，满足与圆相切； 若直线斜率存在，则直线的方程可表示为：，即， 由直线与圆相切，设圆心到直线的距离为，则有，解得， 此时的方程为：， 综上可知方程为：或． 【小问2详解】 因为圆，可得圆心，半径． 又因为圆，可得圆心，半径． 所以圆心距，且， 因为圆与圆有且只有一条公切线， 所以圆与圆内切， 所以，得，解得或． 故实数的值为或． 17. 在四棱锥中，平面，为的中点，底面是边长为2的正方形，且二面角的正切值为．求： （1）线段的长； （2）点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出平面和平面的法向量，结合二面角的向量求法求解即可. （2）根据点到平面距离的向量求法求解即可. 【小问1详解】 因为平面，，平面，所以，. 又底面是边长为2的正方形，所以. 所以，，两两垂直． 如图所示，以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，， 又为的中点，所以， 设，则，所以，． 因为平面，则即为平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，取，得，. 即为平面的一个法向量． 设二面角的平面角为，则，所以. 又，所以或（舍去）. 则，整理得， 解得或（负值舍去）， 故，则，所以. 【小问2详解】 由（1）得，，， 设点到平面的距离为，则. 即点到平面的距离为. 18. 已知动点到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设直线与曲线分别交于点和点，且． （i）求证：是定值； （ii）原点到直线的距离是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由． 【答案】（1） （2） （i）方法1： 证明：若直线的斜率不存在，可设其方程为， 若设，则，代入曲线的方程中，得，则此时， 若直线的斜率存在，可设直线的方程为， 联立方程，得，整理得， 则，且， 所以， 所以， 因为，则有，所以，所以， ， ， 所以 ， 即为定值． 综上可知，始终为定值 方法2： 当中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，中有一条直线与曲线不相交，所以不符合题意． 设，则， 联立方程解得，则． 用替换上式中的即得． 因此， 即为定值． 综上可知，始终为定值． （ii）定值为，理由如下： 原点到直线的距离为定值，证明如下： 设原点到直线的距离为 由三角形面积公式可知： 化简可得，从而， 由（i）知，则，即： 综上可知，原点到直线的距离为定值； 【解析】 【分析】（1）应用两点间距离及点到直线距离化简计算求解轨迹方程； （2）（i）方法1：当直线斜率不存在求出点，再代入计算得出定值，当直线斜率存在时，设直线方程联立得出韦达定理结合得出，计算得出定值； 方法2：设，则，联立得出韦达定理应用为同理得出，代入计算求解；（ii）应用面积法计算求解即可. 【小问1详解】 设动点，则， 点到直线的距离，由题意知，即， 化简，得，即曲线的方程为． 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 19. 如图1，在平行四边形中，为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当三棱锥的体积最大时，求此时线段的长度； （2）当时， （i）设，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）求三棱锥的内切球的半径． 【答案】（1）4 （2）（i）存在；（ii） 【解析】 【分析】（1）设点到平面的距离为，利用等体积法，将体积最大化为点到平面的距离最大，取中点，连接，根据已知及面面、线面垂直的判定求线段的长； （2）（i）根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，利用向量法及线面角的正弦值列方程求参数；（ii）设内切球球心为，应用等体积法有，即可求半径. 【小问1详解】 设点到平面的距离为， 则，其中为定值， 要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大值， 取中点，连接， 由题意得， 则为等边三角形，， 则， 即平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面，连接， 在中， 由余弦定理得， 所以，而，则，故． 由平面平面平面，则平面， 由平面，则，所以； 【小问2详解】 （i）由（1）知，当时，平面平面． 在平面内过作，平面平面平面， 所以平面平面，则． 如图，以点为原点，以所在直线分别为轴， 过点做垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 化简可得，解得，或（舍） 故时，存在，使直线与平面所成角的正弦值为； （ii）由（1）可知，为直角三角形，． 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为， 由等体积法知 其中，， 故， 故当时，三棱锥的内切球的半径为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期高二12月月考 数学 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若在直线l上，则直线的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知三角形的三个顶点，则过点的中线长为（ ） A. B. C. D. 5. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 6. 已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 7. 已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆锥曲线的两个焦点为为上不与共线的点，则下列说法正确的有（ ） A. 若是椭圆，则实数的取值范围是 B. 若是双曲线，则两点在轴上 C. 若，则周长为8 D. 若，则的实轴和虚轴长度相等 10. 在棱长为2的正方体中，分别是和的中点，则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点到直线的距离为 D. 点到平面的距离为 11. 我们把离心率为的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则（　　） A. 曲线是黄金双曲线 B. 如果双曲线是黄金双曲线，那么（c为半焦距） C. 如果双曲线是黄金双曲线，那么右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一 D. 过双曲线的右焦点且垂直于实轴的直线l交C于M、N两点，O为坐标原点，若，则双曲线C是黄金双曲线 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 抛物线的焦点坐标是______. 13. 已知斜率为2的直线与轴交于点，直线绕点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为______． 14. 已知椭圆和直线，则该椭圆上的点到该直线的距离的取值范围为______． 四､解答题：本大题共小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤． 15. 已知直线（其中）． （1）若直线与直线垂直，求直线的方程； （2）若直线与直线平行，求它们之间的距离． 16. 已知圆． （1）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； （2）若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 17. 在四棱锥中，平面，为的中点，底面是边长为2的正方形，且二面角的正切值为．求： （1）线段的长； （2）点到平面的距离． 18. 已知动点到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设直线与曲线分别交于点和点，且． （i）求证：是定值； （ii）原点到直线的距离是否为定值？如果是请求出定值，如果不是请说明理由． 19. 如图1，在平行四边形中，为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当三棱锥的体积最大时，求此时线段的长度； （2）当时， （i）设，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）求三棱锥的内切球的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $