广东汕头市潮阳华斯达学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

2026-2027学年第一学期华斯达学校高二第一次月考数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若，，则与同方向的单位向量是（    ） A． B． C．或 D． 3．直线倾斜角的范围是（   ） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．某学校为深入落实“健康第一”教育理念，推进健康校园建设，在高一年级采用分层随机抽样，抽取男生30人和女生20人进行立定跳远测试（单位：cm）．已知男生样本均值为220，方差为900；女生样本均值为170，方差为400．则抽取的样本总方差为（     ） A．650 B．700 C．1300 D．1400 7．如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则（    ） A． B．是纯虚数 C． D．复数在复平面内的对应点位于第四象限 10．连续抛掷一枚骰子两次，记事件A为“第一次向上的点数为3或5”，事件B为“第二次向上的点数为3或5”，事件C为“第一次向上的点数不小于4”，事件D为“第二次向上的点数不大于3”，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．事件A与事件B独立 D．事件A与事件C互斥 11．如图，正方体的棱长为2，设是棱的中点，是线段上的动点（含端点），是正方形内（含边界）的动点，且平面，则下列结论正确的是（     ） A．点的轨迹是一条线段 B．三棱锥的体积为定值 C．当点在线段上移动时，必存在点，使 D．直线与平面所成角的正切值的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，且，则________________． 13．已知两点，，动点在线段上运动，则的范围是_____ 14．如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是_____ _ . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图所示，在正方体中，取． (1) 用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 16．年月，黔南州“铁人三项赛”在州府都匀市举行．志愿者的服务工作是比赛成功举办的重要保障，都匀市某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计这名候选者面试成绩的平均数和第百分位数（保留两位小数）． (2)现从以上各组中用按比例分配的分层随机抽样的方法选取部分担任本市的宣传者．若这名面试者中第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，第五组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为和，据此估计这次第四组和第五组所有面试者的面试成绩的方差为，求第四组面试者的面试成绩的方差． 17．在中，，，分别是角，，的对边，若且． (1)求； (2)设角的平分线交边于点，求长度最大值． 18．如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．在空间直角坐标系中，已知向量，点．若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为． (1)若平面，直线的一个方向向量为，求直线与平面所成角的正弦值； (2)已知集合，记集合中所有点构成的几何体的体积为，集合，记集合中所有点构成的几何体为，求的值及几何体相邻两个面（有公共棱）所在平面夹角的余弦值． 答案第2页（共4页） 答案第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2026-2027学年第一学期华斯达学校高二第一次月考数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D C B C D D ACD ABC 题号 11 答案 AC 12．1 13． 14． 15．(1) (2) 【详解】（1）. （2）． 16．(1)，平均数为，第60百分位数为 (2) （1）可知频率分布直方图组距为，所以，解得， 平均数为， 前两组频率之和为，前三组频率之和为， 则第百分位数为. （2）这名面试者中第四组和第五组面试者有人， 第四组和第五组所有面试者的面试成绩的平均数为， 由题意可得，解得. 17．(1) (2) 【详解】（1）由题意，， ，整理得：， ，，，又，， 由正弦定理得：，， ，，即，，. （2）由余弦定理，，即， 当且仅当时，等号成立. 又， 化简可得，. 所以， 当且仅当时等号成立．故长度的最大值为. 18．(1) (2)存在，. （1）取的中点O，连接. 由为等边三角形，得. 而平面平面，平面平面，平面， 则平面. 由，，得四边形是平行四边形. 于是，而，则，直线两两垂直. 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，. 则，，. 设平面的法向量为， 则，取，得. 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）令，. ，. 设平面的法向量为， 则， 取，得. 平面的法向量为. 于是. 化简得，又，解得，即. 所以线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 19．(1); (2)，相邻两个面所在平面夹角的余弦值为 . 【分析】（1）利用题中概念计算出平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可； （2）分析集合P，利用体积公式求体积即可；利用题目中给定的定义求出法向量，结合面面角的向量法求解即可． 【详解】（1）由题可知，直线的方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则 （2）集合表示的几何体是关于平面，，对称的，它们在第一卦限的形状为正三棱锥，如下图 其中OA、OB、OC两两垂直，且， 所以， 集合Q所表示的几何图形也关于平面，，对称， 在第一卦限内的部分如图（1）， 如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果. 由平面的方程为：，其法向量为； 平面的方程为：，其法向量为. 设平面与平面所成的夹角为，则 学科网（北京）股份有限公司 $