山东省九五高中协作体2027届高三上学期10月学习质量综合评估数学试题

高三年级10月学习质量综合评估 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A C C D B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD ABD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．； 13．； 14．2 15．【解析】 （1）命题：，解得， 所以命题的一个充分不必要条件为：； （注：答案不唯一，只需为的真子集即可，如，等）； 5分 （2）命题：， 若，；若，； 命题：， 因为是的必要不充分条件， 当时，则，当时，则． 综上：实数的取值范围是． 13分 16．【解析】 （1）由的图象过点，得， 所以，，解得，， 又，故取，得，因此， 由， 得，， 故的单调递增区间为，． 6分 （2）将的图象向左平移个单位长度，得 ， 方程，即， 所以或，， 即或，，在内：，无满足条件的解； ，取，2，3，得三个实根，，， 所以， 故方程在内所有实数根的和为． 15分 17．【解析】 （1）函数在上单调递减， 所以， 所以不等式的解集为． 6分 （2）由条件可得：， 因为，，故在上有解， 分离参数得：在上有解， 因为，所以在上的值域为． 所以，又因为，所以实数的取值范围为． 15分 18．【解析】 （1）当时，，， 因为，且，故， 所以在上单调递增， 故的单调递增区间为，无单调递减区间． 4分 （2）设，，则，故在上单调递增， 因为，所以，即， 所以． 8分 （3）若，则，所以在上递增， 不可能存在使得，矛盾，因此． 不妨设，由，得， 整理得， 即① 由（2）问知， 又，故， 结合①式得，即② 下面证明． 设，，， 故在上单调递增．所以，即， 令代入，整理得， 因此③ 联立②③，得，两边开方，得，证毕． 17分 19．【解析】 （1），，，，⋯，是的一个非等和划分： 注意到在单调递增，令，则是递增数列， 从而互不相等． 故，，，⋯，是的一个非等和划分． 4分 （2）（ⅰ）当时，先证明若，，，是互不相等的正整数，那么． 若存在， 不妨设是中的最大值，则，， 那么 ， 从而若，，，是互不相等的正整数，那么． 故对配对划分，，，，， 故当时，所有配对划分都是非等和划分． 9分 （ⅱ）先证明存在，存在配对划分不是的一个“非等和划分”． 当时，令， 注意到，而， 故存在，使得，故， 两边同乘得； 故对于，包含，的配对划分不是非等和划分． 再证明存在，存在配对划分不是的一个“非等和划分”． 令，注意到，， 故存在，当时，单调递减，从而存在； 取，则，而， 故存在，，即， 两边同乘得， 故对于，包含，的配对划分不是非等和划分． 显然，不相同，命题得证． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级10月学习质量综合评估 数 学 本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3、考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“，”的否定为 A．， B．， C．， D．， 2．已知函数则 A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，角和均以为始边，它们的终边关于原点对称．若，则 A． B． C． D． 4．已知集合，，则 A． B． C． D． 5．已知，，均为正数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知是偶函数，则 A． B． C． D． 7．集合中元素的个数为 A．4 B．5 C．8 D．9 8．若对任意的，总存在使得，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，均为锐角，且，，则 A． B． C． D． 10．若，，则 A． B． C． D． 11．已知函数，则 A．，为奇函数 B．对，，使得 C．且，的最小值为4 D．若方程有唯一实数根，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数在上的最小值为_____． 13．函数则的解集为_____． 14．已知二次函数，的二次项系数均为1，且满足，则的值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 设：实数满足，其中；：实数满足． （1）写出一个的取值范围，使之为的一个充分不必要条件； （2）是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16．（本小题满分15分） 已知函数的图象过点． （1）求的解析式及单调递增区间； （2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象．求方程在内所有实数根的和． 17．（本小题满分15分） 已知函数（且）． （1）若，解不等式； （2）若存在使得成立，求实数的取值范围． 18．（本小题满分17分） 已知函数，，，． （1）当时，求的单调区间； （2）证明：对任意，均有； （3）若，且，求证：． 19．（本小题满分17分） 给定正整数，集合，若集合，，⋯，是的个二元子集，记为，满足，且对于，有，则称是的一个“配对划分”．给定函数，，配对划分满足，，则称为的一个“非等和划分”． （1）若，，试写出的一个“非等和划分”； （2）若（且）， （ⅰ）当时，证明：所有的配对划分都是的非等和划分； （ⅱ）证明：至少存在两个，且，对于每个都存在一个“配对划分”，使得它不是“非等和划分”． 学科网（北京）股份有限公司 $