2026-2027学年湘教版数学八年级上册10月份学情自测综合训练试题

2026年八年级数学上册10月份学情自测综合训练试题湘教版2026—2027学年八年级上册 一、选择题 1．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 3．代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．把多项式因式分解时，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 5．已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 6．若分式 的值为0，则x的值为（     ） A． B． C． D． 7．下列各多项式中，能直接用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 8．分式中的a，b的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．不变 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 9．已知，，那么的值是（     ） A．1 B．3 C．9 D．27 10．对于正数x，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2026 B．2025 C．2024.5 D．2025 二、填空题 11．若，，则代数式的值是________． 12．已知，则_______． 13．定义新运算：，若，则的值是______． 14．如果关于x的分式方程无解，那么a的值为_____． 15．甲、乙两个同学因式分解时，甲看错了b，分解结果为，乙看错了a，分解结果为．则______． 16．有一组数据：，，，，．记，则__． 三、解答题 17．因式分解： (1)； (2)． 18．先化简，再求值：，其中． 19．计算： (1)； (2)． 20．已知矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4． (1)求代数式值； (2)求代数式的值． 21．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同． (1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？ (2)商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有哪几种进货方案，请列举出来？ 22．阅读理解： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有很多的多项式只用上述方法就无法分解，如，但我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 解决问题： (1)分解因式：； (2)三边a，b，c满足，判断的形状． 23．阅读下列材料： 定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)下列各式：①；②；③；④是假分式的有_____（填序号）； (2)将假分式化为带分式的形式； (3)已知整数使分式的值为整数，求出满足条件的所有整数的值； 24．我们定义：如果两个多项式与，若为常数，则称是的“恒定多项式”，这个常数称为它们的“恒定值”，如是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为-5． (1)下列各组多项式，是的“恒定多项式”的是______（填序号）； ①； ②； ③． (2)关于的多项式是多项式（为常数）的“恒定多项式”，请计算出它们的“恒定值”； (3)关于的多项式是的“恒定多项式”，它们的“恒定值”为．若，求代数式的最小值． 参考答案 1．B 【详解】解：A、，等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解； B、，是因式分解； C、是整式的乘法，不是因式分解； D、，等式右边不是整式的积的形式，不是因式分解. 2．B 【详解】 ． 故选：B． 3．B 【详解】分母中含有字母的是，，， ∴分式有3个， 故选：B． 4．D 【详解】∵系数、、的最大公约数为，字母的最低次幂为，字母的最低次幂为， ∴公因式为． 故选：D． 5．C 【详解】解：设另一个因式为， 则， 而， 所以， 解得：， ， 故选：C． 6．A 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子，且分母， 解方程得， 由得， ∴． 7．B 【详解】解：A．是两个平方项的和，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； B．，符合平方差公式结构，能直接用平方差公式分解因式； C．是两个平方项和的相反数，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式； D．是三项式，是完全平方公式的形式，不符合平方差公式结构，不能用平方差公式分解因式． 故选：B． 8．D 【详解】解：把a、b都扩大为原来的3倍，代入分式得， 故分式的值扩大为原来的3倍． 9．D 【详解】解：， ∵，， ∴， ∴， ∴． 10．D 【详解】解：∵， ∴， ∴， 原式中，与为一对，与为一对，…，与为一对，共对，这部分的和为． 又， ∴原式． 11．2 【详解】解：∵，， ， 故答案为：2． 12． 【详解】解：对原方程分组配方得即， ∵，， ∴，当且仅当，时取得等号， 又∵， ∴，， 当，时，原式． 13．/ 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 14．3或6 【详解】解： 方程两边同时乘以，得 ， 整理得， 当时，方程无解，此时； 当时，则， ∵原方程无解， ∴原分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， 经检验，是方程的解； 综上所述，a的值为3或6， 故答案为：3或6． 15． 【详解】解：甲分解的结果为，展开得，因甲看错了b，但a正确，故． 乙分解的结果为，展开得，因乙看错了a，但b正确，故． 则． 故答案为：． 16． 【详解】解：； ； ； ， ， 当时， 原式 ， 故答案为：． 17．【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．【详解】解： 当时，原式． 19．【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ． 20．【详解】（1）解：矩形的长为，宽为，它的周长为12，面积为4， ，． ． ． （2）由（1）得，，， ． 21．【详解】（1）解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为元/件， ， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意． ∴． 答：甲种玩具的进价是15元/件，乙种玩具的进价是25元/件； （2）解：设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具件， ， 解得． ∵y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数， ∴y取20，21，22，23， 共有4种方案即：①甲玩具20件，乙玩具28件；②甲玩具21件，乙玩具27件；③甲玩具22件，乙玩具26件；④甲玩具23件，乙玩具25件． 22．【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， 或， 或， ∵a，b，c是的三边， ∴是等腰三角形． 23．【详解】（1）解：根据假分式的定义，分子的次数大于或等于分母的次数的分式为假分式， ①中分子次数为1，分母次数为1，是假分式； ②为整式，不是分式； ③中分子次数为1，分母次数为1，是假分式； ④中分子次数为2，分母次数为2，是假分式， 故答案为：①③④； （2）解：． （3）解：对分式进行变形： 要使分式为整数，则为整数，即是21的因数 21的因数有， 解得的值为， 因此，满足条件的整数为． 24．【详解】（1）解：① ②，不是常数； ③为常数； ∴是的“恒定多项式”的是①③； 故答案为：①③ （2）解， ， 是的“恒定多项式”， ， ， 它们的“恒定值”为． （3）解：， ， 是的“恒定多项式”， ， ， 又它们的“恒定值”为， ， ， ， ， ，当且仅当时等号成立． 代数式的最小值为7． 学科网（北京）股份有限公司 $