第14章 全等三角形-期中专项训练 2026～2027学年人教版八年级数学上册

八年级数学（人教版·上册）全等三角形专项训练 20 大题型 ＋ 6 大常考几何模型 期中专项训练 · 教师版（含答案与解析） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 本卷依据人教版八年级上册《全等三角形》《轴对称》编写，紧扣当下教学进度，不超纲。全卷分两部分：第一部分为 20 大题型，覆盖判定、性质与辅助线；第二部分为 6 大常考几何模型，含模型结论与典例。教师版每题附完整解析，供讲评使用。 第一部分　全等三角形 20 大题型 题型一　全等三角形的性质 【考点】全等三角形的对应边相等、对应角相等。 【典例】如图，△ABC≌△DEF，其中点 A 与 D、点 B 与 E、点 C 与 F 是对应顶点。若 AB＝5，BC＝7，AC＝，求 DE、EF、DF 的长。 【解析】由全等三角形对应边相等：DE＝AB＝5，EF＝BC＝7，DF＝AC＝。 题型二　用“SSS”判定全等 【考点】三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。 【典例】如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，CB＝CD。求证：△ABC≌△ADC。 【解析】证明：在△ABC 和△ADC 中，AB＝AD（已知），BC＝DC（已知），AC＝AC（公共边），所以△ABC≌△ADC（SSS）。 题型三　用“SAS”判定全等 【考点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。 【典例】如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点。求证：△ABE≌△ACD。 【解析】证明：因为 D、E 分别是 AB、AC 的中点，所以 AD＝AB，AE＝AC。又 AB＝AC，所以 AD＝AE。在△ABE 和△ACD 中，AB＝AC，∠A＝∠A（公共角），AE＝AD，所以△ABE≌△ACD（SAS）。 题型四　用“ASA”判定全等 【考点】两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。 【典例】如图，点 B、C 在同一条直线上，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC。求证：△ABC≌△DCB。 【解析】证明：在△ABC 和△DCB 中，∠ABC＝∠DCB（已知），BC＝CB（公共边），∠ACB＝∠DBC（已知），所以△ABC≌△DCB（ASA）。 题型五　用“AAS”判定全等 【考点】两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 【典例】如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF。求证：△ABC≌△DEF。 【解析】证明：AC 是∠B 的对边，DF 是∠E 的对边。在△ABC 和△DEF 中，∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF，所以△ABC≌△DEF（AAS）。 题型六　用“HL”判定直角三角形全等 【考点】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 【典例】如图，∠C＝∠F＝90°，AB＝DE，BC＝EF。求证：Rt△ABC≌Rt△DEF。 【解析】证明：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，斜边 AB＝DE，直角边 BC＝EF，所以 Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。 题型七　角平分线的性质 【考点】角平分线上的点到角两边的距离相等。 【典例】如图，OC 平分∠MON，P 是 OC 上一点，PA⊥OM 于 A，PB⊥ON 于 B。若 PA＝3，求 PB 的长。 【解析】由角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以 PB＝PA＝3。 题型八　角平分线的判定 【考点】角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 【典例】如图，P 是∠MON 内部一点，PA⊥OM 于 A，PB⊥ON 于 B，且 PA＝PB。求证：点 P 在∠MON 的平分线上。 【解析】证明：连接 OP。在 Rt△OAP 和 Rt△OBP 中，OP＝OP（公共边），PA＝PB（已知），所以 Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），所以∠AOP＝∠BOP，即 OP 平分∠MON，故点 P 在∠MON 的平分线上。 题型九　线段垂直平分线的性质 【考点】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 【典例】如图，直线 DE 是线段 AB 的垂直平分线，点 C 在 DE 上，且 CA＝5，求 CB 的长。 【解析】由线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，所以 CB＝CA＝5。 题型十　线段垂直平分线的作图与应用 【考点】用尺规作线段的垂直平分线，及其性质应用。 【典例】如图，已知线段 AB。请用尺规作线段 AB 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）。 【解析】作法要点：分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的同一长度为半径，在 AB 两侧各作弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线，即为线段 AB 的垂直平分线。 题型十　等腰三角形“三线合一” 【考点】等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线互相重合。 【典例】如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 是 BC 的中点，∠B＝70°，求∠BAD 的度数。 【解析】因为 AB＝AC，点 D 是 BC 的中点，由“三线合一”知 AD⊥BC，所以∠ADB＝90°。在 Rt△ABD 中，∠BAD＝90°－∠B＝90°－70°＝20°。 题型十二　等腰三角形的判定（等角对等边） 【考点】有两个角相等的三角形是等腰三角形。 【典例】如图，在△ABC 中，∠B＝∠C。求证：AB＝AC。 【解析】证明：作∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D。在△ABD 和△ACD 中，∠B＝∠C（已知），∠BAD＝∠CAD（角平分线），AD＝AD（公共边），所以△ABD≌△ACD（AAS），所以 AB＝AC。 题型十三　等边三角形的性质 【考点】等边三角形三边相等、三个内角都等于 60°，三线合一。 【典例】如图，△ABC 是等边三角形，AD 是 BC 边上的高，AB＝4，求 BD 和 AD 的长。 【解析】因为△ABC 是等边三角形，AD 是 BC 上的高，所以 BD＝AB＝2。在 Rt△ABD 中，由勾股关系 AD＝√(AB²－BD²)＝√(4²－2²)＝√12＝2。 题型十四　含 30° 角的直角三角形 【考点】在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 【典例】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，求 BC 的长。 【解析】因为∠C＝90°，∠A＝30°，所以 BC 是 30° 角所对的直角边，BC＝AB＝×8＝4。 题型十五　网格与坐标中的全等 【考点】在方格纸中借助勾股关系比较边长、判断三角形形状与全等。 【典例】如图，在边长为 1 的正方形网格中，点 A、B、C 都在格点上。请判断△ABC 的形状，并求 AC 的长。 【解析】由网格可知 AB＝2，BC＝2，∠ABC＝90°，所以△ABC 是等腰直角三角形。由勾股关系 AC＝√(AB²＋BC²)＝√(2²＋2²)＝√8＝2。 题型十六　辅助线——倍长中线 【考点】遇到中线常延长中线一倍构造全等，转移边与角。 【典例】如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，AB＝7，AC＝5，求中线 AD 的取值范围。 【解析】延长 AD 到点 E，使 DE＝AD，连接 CE。因为 BD＝DC，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，所以△ABD≌△ECD（SAS），所以 CE＝AB＝7。在△ACE 中，AE＝2AD，由三角形三边关系 CE－AC＜AE＜CE＋AC，即 2＜2AD＜12，所以 1＜AD＜6。 题型十七　辅助线——截长补短 【考点】证明线段和差关系时，常用“截长”或“补短”构造全等。 【典例】如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，∠ABC＝2∠C。求证：AC＝AB＋BD。 【解析】证明（补短法）：延长 AB 到点 E，使 BE＝BD，连接 DE。则∠E＝∠BDE，∠ABC＝∠E＋∠BDE＝2∠E。又∠ABC＝2∠C，所以∠E＝∠C。在△AED 和△ACD 中，∠E＝∠C，∠EAD＝∠CAD（角平分线），AD＝AD，所以△AED≌△ACD（AAS），所以 AE＝AC，即 AB＋BE＝AC。又 BE＝BD，所以 AC＝AB＋BD。 题型十八　全等三角形的综合证明 【考点】综合运用等腰性质与全等判定完成证明。 【典例】如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D、E 在 BC 上，且 BD＝CE。求证：∠ADE＝∠AED。 【解析】证明：因为 AB＝AC，所以∠B＝∠C。在△ABD 和△ACE 中，AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，所以△ABD≌△ACE（SAS），所以 AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED。 题型十九　全等三角形的实际应用 【考点】利用全等三角形测量不可到达的两点间距离。 【典例】如图，为测量河宽 AB，在岸边取点 B 使 AB⊥岸线 l，沿 l 取点 C、D 使 BC＝CD，过点 D 作 DE⊥l，并使 E、C、A 三点在同一条直线上。若测得 DE＝4 米，求河宽 AB。 【解析】因为 AB⊥l，DE⊥l，所以∠ABC＝∠EDC＝90°。在△ABC 和△EDC 中，∠ABC＝∠EDC，BC＝DC（已知），∠ACB＝∠ECD（对顶角），所以△ABC≌△EDC（ASA），所以 AB＝DE＝4 米，即河宽为 4 米。 题型十十　全等三角形探究压轴（手拉手） 【考点】共顶点旋转构造全等，探究线段数量与位置关系。 【典例】如图，△ABC 与△ADE 都是等边三角形，连接 BD、CE。求证：BD＝CE。 【解析】证明：因为△ABC 与△ADE 都是等边三角形，所以 AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°。两式都减去∠DAC，得∠BAD＝∠CAE。在△ABD 和△ACE 中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，所以△ABD≌△ACE（SAS），所以 BD＝CE。 第二部分　全等三角形 6 大常考几何模型 模型一　“手拉手”模型 【模型结论】两个有公共顶点、且顶角相等的等腰（或等边）三角形，绕公共顶点“手拉手”可得△ABD≌△ACE，从而对应连线相等。 【典例】如图，△ABC 与△ADE 都是等边三角形，连接 BD、CE。求证：BD＝CE。 【解析】由 AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，得∠BAD＝∠CAE，故△ABD≌△ACE（SAS），所以 BD＝CE。 模型二　“半角”模型 【模型结论】在正方形 ABCD 中，∠EAF＝45°（顶角的半角），则 EF＝BE＋DF。常用旋转把△ADF 转到△ABG 来证明。 【典例】如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E、F 分别在 BC、CD 上，∠EAF＝45°，若 BE＝1，求 EF 的长。 【解析】由半角模型 EF＝BE＋DF。设 DF＝x，则 EF＝1＋x，CE＝1，CF＝2－x。在 Rt△ECF 中，EF²＝CE²＋CF²，即 (1＋x)²＝1²＋(2－x)²，解得 x＝，所以 EF＝1＋＝。 模型三　“一线三垂直”（K 字）模型 【模型结论】一条直线上依次有直角顶点，构造三个直角，结合斜边相等可得△ABD≌△BCE，从而“一线”上被截出的线段相互转移。 【典例】如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，AD⊥l 于 D，CE⊥l 于 E，AD＝3，CE＝2，求 DE 的长。 【解析】由∠ADB＝∠BEC＝90°，∠ABD＝∠BCE，AB＝BC，得△ABD≌△BCE（AAS），所以 BD＝CE＝2，BE＝AD＝3，所以 DE＝BD＋BE＝5。 模型四　“对角互补”模型 【模型结论】四边形中一组邻边相等（AB＝AD）且另一组对角互补（∠B＋∠D＝180°），可通过旋转构造全等，实现线段的转移。 【典例】如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，BC＝3，求 CD 的长。 【解析】连接 AC。在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中，AB＝AD，AC＝AC，所以 Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），所以 CD＝BC＝3。 模型五　“中点”（倍长中线）模型 【模型结论】遇到边的中点（中线），常把中线延长一倍，构造△ABD≌△ECD，把分散的边、角集中到一个三角形中。 【典例】如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，AB＝7，AC＝5，求中线 AD 的取值范围。 【解析】延长 AD 到 E 使 DE＝AD，连 CE，得△ABD≌△ECD（SAS），所以 CE＝AB＝7，AE＝2AD。在△ACE 中 7－5＜2AD＜7＋5，解得 1＜AD＜6。 模型六　“角平分线”模型 【模型结论】由角平分线向两边作垂线得 PA＝PB，或延长垂线段构造等腰三角形，是处理角平分线问题的基本辅助线套路。 【典例】如图，OC 平分∠MON，P 在 OC 上，PA⊥OM 于 A，PB⊥ON 于 B，若 PA＝3，求 PB 的长。 【解析】由角平分线的性质（或证 Rt△OAP≌Rt△OBP），点 P 到角两边距离相等，所以 PB＝PA＝3。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学（人教版·上册）全等三角形专项训练 20 大题型 ＋ 6 大常考几何模型 期中专项训练 · 学生版 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________ 本卷依据人教版八年级上册《全等三角形》《轴对称》编写，紧扣当下教学进度，不超纲。全卷分两部分：第一部分为 20 大题型，覆盖判定、性质与辅助线；第二部分为 6 大常考几何模型，含模型结论与典例。建议先独立完成，再对照订正。 第一部分　全等三角形 20 大题型 题型一　全等三角形的性质 【考点】全等三角形的对应边相等、对应角相等。 【典例】如图，△ABC≌△DEF，其中点 A 与 D、点 B 与 E、点 C 与 F 是对应顶点。若 AB＝5，BC＝7，AC＝，求 DE、EF、DF 的长。 题型二　用“SSS”判定全等 【考点】三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。 【典例】如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，CB＝CD。求证：△ABC≌△ADC。 题型三　用“SAS”判定全等 【考点】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。 【典例】如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D、E 分别是 AB、AC 的中点。求证：△ABE≌△ACD。 题型四　用“ASA”判定全等 【考点】两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。 【典例】如图，点 B、C 在同一条直线上，∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC。求证：△ABC≌△DCB。 题型五　用“AAS”判定全等 【考点】两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 【典例】如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B＝∠E，∠C＝∠F，AC＝DF。求证：△ABC≌△DEF。 题型六　用“HL”判定直角三角形全等 【考点】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 【典例】如图，∠C＝∠F＝90°，AB＝DE，BC＝EF。求证：Rt△ABC≌Rt△DEF。 题型七　角平分线的性质 【考点】角平分线上的点到角两边的距离相等。 【典例】如图，OC 平分∠MON，P 是 OC 上一点，PA⊥OM 于 A，PB⊥ON 于 B。若 PA＝3，求 PB 的长。 题型八　角平分线的判定 【考点】角的内部到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 【典例】如图，P 是∠MON 内部一点，PA⊥OM 于 A，PB⊥ON 于 B，且 PA＝PB。求证：点 P 在∠MON 的平分线上。 题型九　线段垂直平分线的性质 【考点】线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 【典例】如图，直线 DE 是线段 AB 的垂直平分线，点 C 在 DE 上，且 CA＝5，求 CB 的长。 题型十　线段垂直平分线的作图与应用 【考点】用尺规作线段的垂直平分线，及其性质应用。 【典例】如图，已知线段 AB。请用尺规作线段 AB 的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）。 题型十　等腰三角形“三线合一” 【考点】等腰三角形底边上的中线、底边上的高和顶角平分线互相重合。 【典例】如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 是 BC 的中点，∠B＝70°，求∠BAD 的度数。 题型十二　等腰三角形的判定（等角对等边） 【考点】有两个角相等的三角形是等腰三角形。 【典例】如图，在△ABC 中，∠B＝∠C。求证：AB＝AC。 题型十三　等边三角形的性质 【考点】等边三角形三边相等、三个内角都等于 60°，三线合一。 【典例】如图，△ABC 是等边三角形，AD 是 BC 边上的高，AB＝4，求 BD 和 AD 的长。 题型十四　含 30° 角的直角三角形 【考点】在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。 【典例】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，求 BC 的长。 题型十五　网格与坐标中的全等 【考点】在方格纸中借助勾股关系比较边长、判断三角形形状与全等。 【典例】如图，在边长为 1 的正方形网格中，点 A、B、C 都在格点上。请判断△ABC 的形状，并求 AC 的长。 题型十六　辅助线——倍长中线 【考点】遇到中线常延长中线一倍构造全等，转移边与角。 【典例】如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，AB＝7，AC＝5，求中线 AD 的取值范围。 题型十七　辅助线——截长补短 【考点】证明线段和差关系时，常用“截长”或“补短”构造全等。 【典例】如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，∠ABC＝2∠C。求证：AC＝AB＋BD。 题型十八　全等三角形的综合证明 【考点】综合运用等腰性质与全等判定完成证明。 【典例】如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D、E 在 BC 上，且 BD＝CE。求证：∠ADE＝∠AED。 题型十九　全等三角形的实际应用 【考点】利用全等三角形测量不可到达的两点间距离。 【典例】如图，为测量河宽 AB，在岸边取点 B 使 AB⊥岸线 l，沿 l 取点 C、D 使 BC＝CD，过点 D 作 DE⊥l，并使 E、C、A 三点在同一条直线上。若测得 DE＝4 米，求河宽 AB。 题型十十　全等三角形探究压轴（手拉手） 【考点】共顶点旋转构造全等，探究线段数量与位置关系。 【典例】如图，△ABC 与△ADE 都是等边三角形，连接 BD、CE。求证：BD＝CE。 第二部分　全等三角形 6 大常考几何模型 模型一　“手拉手”模型 【模型结论】两个有公共顶点、且顶角相等的等腰（或等边）三角形，绕公共顶点“手拉手”可得△ABD≌△ACE，从而对应连线相等。 【典例】如图，△ABC 与△ADE 都是等边三角形，连接 BD、CE。求证：BD＝CE。 模型二　“半角”模型 【模型结论】在正方形 ABCD 中，∠EAF＝45°（顶角的半角），则 EF＝BE＋DF。常用旋转把△ADF 转到△ABG 来证明。 【典例】如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点 E、F 分别在 BC、CD 上，∠EAF＝45°，若 BE＝1，求 EF 的长。 模型三　“一线三垂直”（K 字）模型 【模型结论】一条直线上依次有直角顶点，构造三个直角，结合斜边相等可得△ABD≌△BCE，从而“一线”上被截出的线段相互转移。 【典例】如图，∠ABC＝90°，AB＝BC，AD⊥l 于 D，CE⊥l 于 E，AD＝3，CE＝2，求 DE 的长。 模型四　“对角互补”模型 【模型结论】四边形中一组邻边相等（AB＝AD）且另一组对角互补（∠B＋∠D＝180°），可通过旋转构造全等，实现线段的转移。 【典例】如图，在四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，∠BAD＝120°，BC＝3，求 CD 的长。 模型五　“中点”（倍长中线）模型 【模型结论】遇到边的中点（中线），常把中线延长一倍，构造△ABD≌△ECD，把分散的边、角集中到一个三角形中。 【典例】如图，在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，AB＝7，AC＝5，求中线 AD 的取值范围。 模型六　“角平分线”模型 【模型结论】由角平分线向两边作垂线得 PA＝PB，或延长垂线段构造等腰三角形，是处理角平分线问题的基本辅助线套路。 【典例】如图，OC 平分∠MON，P 在 OC 上，PA⊥OM 于 A，PB⊥ON 于 B，若 PA＝3，求 PB 的长。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $