湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期第一次月考自编模拟试卷数学试题

湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期第一次月考自编模拟试卷 数学试题 （范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形） 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.命题“”的否定是（） A. B. C. D. 2.已知实数满足，则下列结论一定正确的是（） A. B. C. D. 3.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 4.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B.或 C.或 D. 5.三次函数，在处的切线与函数的图象的交点个数为（） A.1个 B.3个 C.个或者个 D.2个 6.已知函数的部分图象如图所示，则（） A. B. C. D. 7.当时，函数的零点个数为（） A. B. C. D. 8.已知函数在区间上的最大值为，则当取到最小值时，（） A.7 B. C.9 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知正数满足，则下列说法正确的是（） A.的最小值为 B.的最小值为27 C.的最大值为6 D.若，则的最小值为6 10.设函数，则下列结论正确的是（） A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称 C.的一个零点为 D.的值域为 11.已知函数，则下列说法正确的是（） A.当时，的图象在点处的切线方程为 B.恒成立 C.若恒成立，则 D.若有两个不同的零点，，且，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设函数，若，则的最大值为                  ；当取得最大值时，                   . 13.已知函数，若集合只含有个元素，则实数的取值范围是                   ． 14.已知函数有且只有一个零点，则的取值范围为                   . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)已知锐角的三个内角分别为，，，若，求的最大值. 16.函数，． (1)时，求在处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围． 17.中，角、、的对边分别是、、，且. (1)求角； (2)点在边上，且，，求面积的最大值. 18.已知函数． (1)若在处的切线方程为，求的值； (2)当时，，总存在，使得成立，求的取值范围； (3)当时，有三个不同零点，求的取值范围． 19.若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”． (1)判断函数是否为区间上的“3阶和函数”； (2)若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省长沙市2026-2027学年高三上学期第一次月考自编模拟试卷 数学试题 （范围：集合与常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、解三角形） 注意事项： 1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 2. 请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。 3. 作答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。作答非选择题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。 4. 本试卷共 4 页，满分 150 分，考试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.命题“”的否定是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由全称量词命题的否定规则得，将全称量词改为存在量词，保留原命题的定义域不变，仅否定原结论， 由此可得命题”“的否定是”“. 故选：D. 2.已知实数满足，则下列结论一定正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由，无法确定的正负，不一定成立，故选项A错误. 因为，时，，故选项B错误. 因为，所以， 可得， 当且仅当时取等号，结合得等号无法取得， 故，选项C正确. 当时，无法判断正负，不一定成立，故选项D错误. 故选：C 3.若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在上单调递减， 由分段函数单调性得. 化简不等式组得， 由此可得. 故选：C. 4.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（） A. B.或 C.或 D. 【答案】B 【解析】，令， 解得或， 故在和上单调递增. 由在上单调递增，得或， 整理得或. 故选：B. 5.三次函数，在处的切线与函数的图象的交点个数为（） A.1个 B.3个 C.个或者个 D.2个 【答案】D 【解析】，处切线斜率，切线方程为， 整理得. 联立切线方程与，消去整理得， 化简得. 对左边多项式因式分解得， 解得或， 即. 若两根相等，则， 解得，与题设矛盾， 故两根互不相等，切线与图象共有两个不同交点. 故选：D. 6.已知函数的部分图象如图所示，则（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由图象得上升零点到最高点的水平距离为， 即， 解得. 由周期公式得， 故. 因为为上升零点， 代入得， 解得，满足. 故选：B. 7.当时，函数的零点个数为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】令，即， 整理得. 记，，得的周期，的周期. 当时，结合两个函数的图象可得交点个数为， 故的零点个数为. 故选：C 8.已知函数在区间上的最大值为，则当取到最小值时，（） A.7 B. C.9 D. 【答案】B 【解析】因为, 所以表示函数与直线在区间上函数值之差的绝对值的最大值. 函数在区间端点处取值为,,连接的直线方程为. 设与直线平行且与曲线相切的直线为, 由,令,得,代入得切点. 将代入,解得,故切线方程为. 为使最小,直线应位于与之间, 取其中间位置,此时,,所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知正数满足，则下列说法正确的是（） A.的最小值为 B.的最小值为27 C.的最大值为6 D.若，则的最小值为6 【答案】ABD 【解析】由且， 得， 当且仅当， 即时等号成立， 故A正确. 由且，得， 令，展开化简得， 设， 求导得，令解得. 当时， 当时， 故在上单调递减， 在上单调递增， 因此， 即时取最小值， 故B正确. 由且， 整理得， 设，，则. 由，得表达式最大值为，但取等号时， 代入得，不满足的条件， 故C错误. 由且， 化简原式得， 由均值不等式得， 故原式， 当且仅当， 即时等号成立， 故D正确. 故选：ABD. 10.设函数，则下列结论正确的是（） A.的最小正周期为 B.的图象关于直线对称 C.的一个零点为 D.的值域为 【答案】AC 【解析】对于选项A， 由，得最小正周期， 故A正确. 对于选项B，令，， 解得，，不属于该解集， 故B错误. 对于选项C，令，， 解得，，取得， 故是的一个零点，C正确. 对于选项D， 由，得， 即的值域为， 故D错误. 故选：AC. 11.已知函数，则下列说法正确的是（） A.当时，的图象在点处的切线方程为 B.恒成立 C.若恒成立，则 D.若有两个不同的零点，，且，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】对于选项A，当时，，得，求导得，故，由此得切线方程为，整理得，故A错误. 对于选项B，等价于，化简得，令，，求导得，由得，由得，故在上单调递减，在上单调递增，从而，故B正确. 对于C，，若，则在上单调递增， 则时，，不满足题意； 若，，，， 则在上单调递增，在上单调递减， 故，则要使，即需，其中. 令，则，， 由，， 则在上单调递减，在上单调递增， 从而，当且仅当时取等号，则， 则为使，需，故C正确； 对于选项D，设，由得的两个零点中有一个为，有两个不同零点需，故且. 当时，，，时，结合在上单调递增，可得使，此时，故，满足条件. 当时，，，时，结合在上单调递减，可得使，此时，故，即，由得，，令，，求导得，结合中得时，故在上单调递减，得，结合得，综上可得，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设函数，若，则的最大值为                  ；当取得最大值时，                   . 【答案】； 【解析】对任意恒成立，代入得，由此可得，即的最大值不超过. 若，则，原不等式化为，令，，则，代入得 ， 令，则对任意恒成立，且，故是的极小值点，从而. 求导得，代入得，解得. 将代入得，再求导得. 由得或，由得，故在单调递减，在和单调递增. 在处取得极大值，计算得，故当时，. 结合得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，因此在处取得最小值，满足恒成立，故可取到. 故答案为：；. 13.已知函数，若集合只含有个元素，则实数的取值范围是                   ． 【答案】 【解析】，， 由得或，. 整理得或，，将满足条件的正根从小到大排列为，，，，. 集合只含个元素， 即仅有落在内， 由此得不等式组. 解得. 故答案为：. 14.已知函数有且只有一个零点，则的取值范围为                   . 【答案】 【解析】有且只有一个零点，等价于仅有一个解， 即曲线与相切于唯一公共点. 由切点处导数相等得， 化简得切点横坐标， 代入切点纵坐标相等得. 由换底公式得， 整理得，即. 因为，， 所以，结合得. ， 设，求导得. 在上单调递减， 故，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.已知函数. (1)求函数的定义域和值域； (2)已知锐角的三个内角分别为，，，若，求的最大值. 【答案】解：(1). 要使有意义，需，即，解得，，整理得，，故函数的定义域为，. 由定义域条件可得，结合对数函数单调性得，故函数的值域为. (2)由得，即，因为，所以，故. 由锐角的约束条件得，解得. 由正弦定理得，化简得. 由得，故，即的最大值为. 16.函数，． (1)时，求在处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围． 【答案】解：(1)时，，计算得，求导得，故， 由点斜式得切线方程为，整理得. (2)，有两个极值点等价于在有两个变号零点. 由变形得，令，求导得. 当时，，单调递增，当时，，单调递减. 时，，时，，故. 要使方程有两个不同正实根，需满足，由此可得. 17.中，角、、的对边分别是、、，且. (1)求角； (2)点在边上，且，，求面积的最大值. 【答案】解：(1)由余弦定理得，结合已知， 整理得， 即. 因为， 故. (2)由得，，记，则. 在和中分别应用余弦定理，得，. 消去得，将代入整理，得. 由基本不等式得， 当且仅当时取等号. 从而， 化简得，结合三角形面积公式得. 故面积的最大值为. 18.已知函数． (1)若在处的切线方程为，求的值； (2)当时，，总存在，使得成立，求的取值范围； (3)当时，有三个不同零点，求的取值范围． 【答案】解：(1)令，求导得，故，由切线斜率为，得，解得. 将代入切线方程得切点纵坐标为，结合切点在曲线上，得，代入，解得. (2)当时，，定义域，开口向上，对称轴为，故. ，定义域，求导得，当时，，单调递增，当时，，单调递减. 比较端点值得，，，故. 由题意得，即，解得，故的取值范围为. (3)当时，化简得，有三个不同零点等价于有三个不等实根，即与的图象有三个交点. 求导得，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增. 计算得，，且时，，时，，故与有三个交点时满足，即的取值范围为. 19.若函数对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶和函数”．特别地，当时，称为区间上的“阶和函数”． (1)判断函数是否为区间上的“3阶和函数”； (2)若函数是在区间上的“2阶和函数”，求实数的取值范围； (3)若函数为区间上的“2阶和函数”，当时，函数有两个零点，证明：． 【答案】(1)解：对任意，. 若存在使得， 则. 取，则， 解得. 故不是区间上的“3阶和函数”. (2)解：函数在区间上的值域为． 因为是在区间上的“2阶和函数”． 所以对任意， 总存在唯一的，使得成立， 所以， 所以在上的值域必定包含区间， 且当时，方程的解在上是唯一的. 又因为函数的图象开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增， 则必有，解得． 当时，在上单调递减， 则必有，解得． 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则必有，解之得：； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则必有，解之得：. 综上所述，的取值范围为. (3)证明：对任意，. 若存在使， 则. 由是“2阶和函数”，有， 即，解得. 此时，定义域为. ，. 设，则， 故在上单调递增. 所以当时， 当时， 在上递减，在上递增. ，且（当），， 故存在两个零点满足. 设，， 则，即. 于是，而， 所以. 因为，且在上递增， 所以，即. 考虑函数，， 故在上递减，在上递增， ，即. 又， 所以当时， 当时. 于是， 整理得， 由①②得. 因为，所以，即. 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $