精品解析：山东省临沂市郯城县美澳学校2026-2027学年高二上学期10月阶段性检测数学试题

郯城美澳学校高二上学期阶段性检测题 数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与共线判断. 【详解】由题意得直线的方向向量与共线， 而，所以是该直线的方向向量. 故选：D. 2. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（     ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线斜率公式先计算斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为经过，两点的直线的倾斜角为 所以，，即，解得. 3. 已知，，，若，，共面，则实数的值为（ ） A. B. 14 C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，存在实数满足，从而得到方程组，解得即可． 【详解】因为，，，且，，共面， 则存在实数满足，即， 所以，解得 故选：B． 4. 已知空间四点的坐标分别是，记点到直线的距离为，记点到平面的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间点到直线和点到面的距离公式计算可得. 【详解】， 所以点到直线的距离为； 设平面的一个法向量为，则， 即， 可取，所以， 而， 所以点到平面的距离为． 所以. 故选：C． 5. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】已知，点N为BC中点， 则. 故选：C 6. 若是空间的一个基底，’且向量，则叫做向量在基底下的坐标．已知是空间的一个基底，而是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基底的坐标定义结合空间向量的线性运算求解即可. 【详解】设向量在基底下的坐标为， 则， 因为向量在基底下的坐标为， 所以， 则，故向量在基底下的坐标为. 故选：B. 7. 设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将求“的取值范围”转化为求点与点连线的斜率问题，并结合图象分析，可得结果. 【详解】由题可知，. 令，且. 则可以看作是线段上（含端点）的点与点连线的斜率. 如图，记，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线的倾斜角的范围是. 所以，或. 所以的取值范围是. 故选：A. 8. 在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，若任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：已知分别为“空间斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，以为基底建立“空间斜坐标系”，若，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据新定义及空间向量的运算即可求解． 【详解】设分别为与同方向的单位向量， 则．得，， 由题可得， 即， 即，解得． 故选：B 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 二､选择题：本题共3小题，11每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中；有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，由，可得， 解得，故B错误； 对于C，假设存在实数，使得，则，方程组无解， 所以不存在实数，使得，故C正确； 对于D，由，可得，解得， 所以，故D正确． 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：根据两直线的垂直条件，结合充分、必要条件分析判断；对于B：根据两直线的平行条件，结合充分、必要条件分析判断；对于C：由题意可得，进而可得倾斜角的范围；对于D：根据图形结合斜率公式分析求解. 【详解】对于A：当时，与的斜率分别为1和，斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立； 若“直线与直线互相垂直”，则，解得或， 所以推不出，即必要性不成立，故A错误； 对于B：因两直线平行等价于，解得， 故“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确； 对于C：直线的倾斜角为，当时，则直线方程为，则； 当时，则， 因为，所以，综上可得，故C正确； 对于D：如图所示： 可得，，结合图象知，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（　　） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 异面直线BD1与AC所成的角的余弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果. 【详解】在平行六面体中， 其中以顶点为端点的三条棱长均为6 ，且彼此夹角都是， . 对于A， ， ， A正确； 对于B， ， ，B正确； 对于C，连接，由题意可知是等边三角形，则， ，且向量与的夹角是， 向量与夹角是，C错误； 对于D，， ， ， ， 故异面直线与所成的角的余弦值为，故D错误. 故选：AB 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示求解作答. 【详解】空间向量，， 由，得，解得， 所以. 故答案为： 13. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 解得（负根舍去），即. 故答案为：1 14. 在直三棱柱中，，二面角的大小为，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则异面直线与所成角的余弦值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知条件得到，，，，，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解异面直线所成角即可. 【详解】如图所示， 由题意可知，直三棱柱中，二面角的大小为， 所以为二面角的平面角，即， 因为点到平面的距离为， 即点到直线的距离为， 过点作于，则， 因为点到平面的距离为，即点到直线的距离为， 又因为，， 所以，，，， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系． 所以，，，， ，. ． 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的的文字说明､证明过程或演算. 15. 已知的顶点分别为． （1）设的中点为，求中线所在直线的方程； （2）若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）先求中点坐标，再用点斜式求中线方程； （2）根据截距关系分类讨论，用截距式求方程. 【小问1详解】 由点得线段的中点为，故， 所以中线所在直线的方程为，即． 【小问2详解】 若直线过坐标原点，则其斜率为， 此时直线的方程为，即，符合题意； 若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得， 即直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 16. 已知，. （1）求向量的坐标； （2）设向量，，求； （3）若，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出. （2）求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （3）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. 【小问1详解】 由，得； 【小问2详解】 由（1）得，而， 因此，所以； 【小问3详解】 由（1）知，， 由，得 ，所以. 17. 在平行六面体中，，，，点F、G分别为棱、的中点，，，设，，． （1）用，，表示并求出的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行六面体的性质，结合已知条件，运用向量运算得，再结合已知条件，利用数量积的运算律求出向量的模； （2）先利用向量运算求得，然后利用向量数量积的运算律求解即可. 【小问1详解】 因为点F为棱的中点，所以， 由得，所以 ， 又， 所以； 由题意，， 所以，，， 所以 ． 【小问2详解】 因为点G为棱的中点，所以， 因为，所以， 所以，· 所以. 18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形．侧面PAD⊥底面ABCD，E是PD的中点． （1）证明：平面ACE⊥平面PCD． （2）求二面角E－AC－D的余弦值． （3）求点D到平面PAC的距离． 【答案】（1） 如图所示，取中点，连接，因为为正三角形，故. 又平面平面，交线为，平面，故平面. 以为原点，所在直线为轴，平行于的直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，为中点， 故. 所以，，， ，故； ，故. 因为，且平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量关系证明和的垂直，进而证明面面垂直； （2）求解平面和平面的法向量，进而求解二面角夹角余弦值； （3）求平面的法向量和，结合点到面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平面即为底面，取其一个法向量. 设平面的法向量为，平面内向量，， 则，令，得，，即. 所以. 又二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 【小问3详解】 设平面的法向量为，平面内向量，， 则，令，得，，即. ，由点到平面距离公式可得：， 所以点到平面的距离为. 19. 如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点在棱上，且. （1）若，证明：平面； （2）若，求的值； （3）求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】（1）如图，连接，交于，连结，则为的中点，又为的中点，所以， 当时，为的中点，又为的中点，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据中位线性质和平行的传递性可证得，再根据线面平行的判定定理即可证得结论； （2）根据题设条件建立空间直角坐标系，设，求出相关点和向量的坐标，结合即可求得的值； （3）利用（2）中建立的坐标系分别求出两平面的法向量，根据空间向量夹角的坐标公式表示出两平面夹角余弦的解析式，结合二次函数的性质即可求得范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接，由正四棱锥可知两两垂直， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则， ， 所以， 因为，所以，解得. 【小问3详解】 由（2）知， 所以， 设平面的一个法向量为，则，即， 取，则，，所以； 设平面的一个法向量为，则，即， 取，则，，所以； 设平面与平面的夹角为， 则， 因为在棱上，所以，所以函数， 所以，即平面与平面夹角余弦值的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郯城美澳学校高二上学期阶段性检测题 数学试题 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知一直线经过点，下列向量中是该直线的方向向量的为（ ） A. B. C. D. 2. 若经过，两点的直线的倾斜角为，则（     ） A. B. 2 C. D. 4 3. 已知，，，若，，共面，则实数的值为（ ） A. B. 14 C. 12 D. 4. 已知空间四点的坐标分别是，记点到直线的距离为，记点到平面的距离为，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 6. 若是空间的一个基底，’且向量，则叫做向量在基底下的坐标．已知是空间的一个基底，而是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成空间直角坐标系，若任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”．我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：已知分别为“空间斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，以为基底建立“空间斜坐标系”，若，且与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 2 二､选择题：本题共3小题，11每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中；有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 C. 直线的倾斜角的取值范围是 D. 若点，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是 11. 如图，平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（　　） A. B. C. 向量与的夹角是 D. 异面直线BD1与AC所成的角的余弦值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，若，则______. 13. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 “阳马”. 在阳马中，若平面， 且，异面直线与所成角的余弦值为，则___________. 14. 在直三棱柱中，，二面角的大小为，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则异面直线与所成角的余弦值为_______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的的文字说明､证明过程或演算. 15. 已知的顶点分别为． （1）设的中点为，求中线所在直线的方程； （2）若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程． 16. 已知，. （1）求向量的坐标； （2）设向量，，求； （3）若，求的值. 17. 在平行六面体中，，，，点F、G分别为棱、的中点，，，设，，． （1）用，，表示并求出的值； （2）求的值. 18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形．侧面PAD⊥底面ABCD，E是PD的中点． （1）证明：平面ACE⊥平面PCD． （2）求二面角E－AC－D的余弦值． （3）求点D到平面PAC的距离． 19. 如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点在棱上，且. （1）若，证明：平面； （2）若，求的值； （3）求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $