精品解析：山东省部分学校(郯城第一中学等校)2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题

高二“质量监测”联合调考 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章4.2止． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点是点在平面内的射影，则（ ） A. B. 9 C. D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】求得点的坐标，可求. 【详解】因为点是点在平面内的射影，所以， 所以，所以. 故选：C. 2. 已知数列，，，，，…，则该数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将数列的前五项进行改写，可归纳得出数列的一个通项公式. 【详解】，，，，， 由此归纳得出该数列的一个通项公式为， 故选：B. 3. 若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量共面的判定定理，结合基底的性质（不共面），对每个选项逐一分析向量是否共面，即可得出结果. 【详解】选项A，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，所以为共面向量， 所以不能作为基底，故A错误； 选项B，若共面， 则存在实数使得， 因为不共面，所以，解得， 所以存在实数使得， 即共面，所以不能作为基底，故B错误； 选项C，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，所以共面， 所以不能作为基底，故C错误； 选项D，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，方程组无解，所以不为共面向量， 所以能作为基底，故D正确. 故选：D. 4. 已知双曲线的左、右焦点为，，双曲线C上有一点P，若，则（ ） A. 10 B. 2 C. 2或10 D. 4或14 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求得正确答案. 【详解】依题意，， 因为，所以在双曲线的左支， 所以，故. 故选：A 5. 设等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用即可得解. 【详解】由题得. 故选：D 6. 数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知求得重心与外心坐标，进而利用直线的两点式方程可求的欧拉线方程. 【详解】因为，所以的重心，即， 又因为，，所以， 所以，所以的外心为的中点，即， 所以直线的方程为，即， 又三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上， 所以的欧拉线方程为. 故选：B. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．M是椭圆C上一点，直线与y轴负半轴交于点N，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意设从而得到所需线段关于的表示，再利用勾股定理与余弦定理依次求得、关于的表示，进而解得椭圆C的离心率． 【详解】因为，所以，如图，不妨设，则， 由椭圆的定义及对称性可得，，， 因为， 所以， 则，解得：， 则， 则在中，， 则在中， 由余弦定理有：， 即， 解得：， 所以椭圆的离心率为． 故选：C. 8. 在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，BC，的中点，，平面EFG，若，则Q的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面EFG的法向量，利用向量法求得点P到平面EFG的距离，进而利用球的性质求得Q点所在圆的半径，即可求解. 【详解】以点D为坐标原点，直线分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系， 如图所示. 则，， 设平面EFG的法向量为，则即， 令，则，， 又，所以点P到平面EFG的距离， 因为，所以Q在以P为球心半径的球面上，又平面EFG， 所以Q的轨迹为球面与平面EFG的交线（一个圆）， 设该圆的半径为，则由球的性质可知， 所以Q的轨迹长度（圆的周长）为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，直线，则下列选项正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线的斜率为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，B：根据直线的方程分析斜率和截距即可判断；对于C：根据直线垂直运算求解即可；对于D：代入检验即可. 【详解】对于选项A，B：直线， 令，解得，可知直线在轴上的截距为，故A正确； 整理可得，可知直线的斜率为，故B错误； 对于选项C：若，则，解得，故C正确； 对于选项D：若，则直线，即， 可知直线与直线重合，故D错误； 故选：AC. 10. 在三棱锥中，为边长为2的正三角形，，，设二面角的大小为，，G为的重心，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则在平面PAC内的投影向量为 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项,利用重心的向量性质，结合向量减法推导向量表达式.B选项,取AC中点O，结合二面角得向量夹角，将分解为，通过向量模长平方公式计算判断.C选项,由二面角为90°得平面，根据投影向量定义确定的投影向量.D选项,由得为等边三角形，利用的向量表达式，通过向量模长平方公式计算的长度. 【详解】对于A选项，因为， 所以，故A正确. 对于B选项，如图，取中点，过作且，连接，则平面. 因为△为正三角形，所以，， 因为，所以，所以， 所以二面角的平面角为，则. ，则，则， 因为，，，，， 所以 ， 所以，故B不正确. 对于C选项，若，则平面平面， 由于平面平面，平面且， 所以平面PAC， 所以在平面PAC内的投影向量为，故C正确. 对于D选项，若，则为等边三角形，. 因为， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：ACD 11. 阿基米德在数学方面贡献巨大．抛物线上任意两点E，F处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线交于点，则关于“阿基米德三角形”，下列选项正确的是（ ） A. 有可能是等边三角形 B. 顶点在抛物线的准线上 C. 若边的中点为，则轴 D. 面积的最小值为64 【答案】BCD 【解析】 【分析】关于阿基米德三角形的结论，需要逐个选项去判断，由，即可证明A；求出处的切线方程，可以得出的坐标进而可以验证B；通过两点的横坐标相同可以判断C；利用三角形面积公式结合韦达定理可以判断D. 【详解】设，，，，由可得：，， 由导数的几何意义知，直线的斜率为，同理直线的斜率为， 设直线，联立，化为， 得到，． 对于A，，，故 ， 所以是直角三角形，故A错误； 对于B：由导数的几何意义可得处的切线方程为：， 则，化简可得：， 所以直线的方程为：， 同理可得：直线的方程为：， 所以，则， 因为，解得：， 所以， 所以，因为抛物线：的准线为， 所以顶点的轨迹是抛物线的准线，故B正确； 对于C： 的中点，与横坐标相同，故轴，故C正确； 对于D：因为平行轴， 所以 因为，． 所以， ， 代入可得：， 当时，，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的性质和离心率的定义结合题意可得. 【详解】由题意可得， 又，可解得， 所以. 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则___________． 【答案】12 【解析】 【分析】设，，根据向量相等可得，再结合抛物线的定义运算求解即可. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，，则，， 因为，则，解得， 所以. 故答案为：12. 14. 过直线上一点P向圆作切线，切点为M，则的最小值为______．若O为坐标原点，Q为圆C上的动点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】求出圆心和半径，利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离，由切线得到，结合图形得到，当且仅当与直线垂直时，等号成立，即可求得；设点与点关于直线对称，利用对称的性质可得，解得的值，即可得到的坐标，，当且仅当分别与重合时等号成立，其中分别为线段与直线和圆的交点，综上所述，的最小值为，计算得解. 【详解】的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 是直角三角形，， ， 当且仅当与直线垂直时，等号成立，； 设点与点关于直线对称， 则有，解得，即， ， 当且仅当分别与重合时等号成立， 其中分别为线段与直线和圆的交点， 综上所述，的最小值为. 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆，直线过点． （1）若直线在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）设直线的方程为，可知直线在两坐标轴上的截距，列式求解即可； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：满足条件的直线的斜率存在，且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为， 令，解得；令，解得； 可知直线在坐标轴上的截距分别为， 则，解得或， 所以直线的方程为或. 【小问2详解】 圆即为，可知圆心为，半径， 若直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 可得圆心到直线的距离，解得， 所以直线的方程为； 若直线的斜率不存在，直线的方程为， 可得圆心到直线的距离，符合题意； 综上所述：直线的方程为或. 16. 已知是等差数列的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）求的最值； （3）求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2）的最小值为，无最大值； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求解； （2）利用等差数列的前项和公式求解； （3）求出和的项数的范围，将绝对值的数列求和转化为等差数列的前项和公式求解 【小问1详解】 ，，， ，； 【小问2详解】 ，， 对称轴为，故当时，取最小值， 且最小值为，无最大值； 【小问3详解】 当时，；当时，， 故当且时，；当且时，； 设数列的前n项和为， 当且时， 则， 当且时， . 故. 17. 曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．已知椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程： （3）记椭圆的左焦点为，为椭圆上一动点，定点，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程可得，进而可得，结合题意可得，即可得方程； （2）设，，根据题意利用点差法可得，即可得方程； （3）根据椭圆定义可得，代入结合图形的性质分析求解. 【小问1详解】 因为点在椭圆上，则，即， 可得， 因为，则， 可得，所以， 则，，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，可知点在椭圆内，直线与椭圆必相交， 设，，则线段的中点坐标为， 可得，，， 因为点，在椭圆内， 则，两式相减得， 整理可得，即，可得， 所以直线的方程为，即. 【小问3详解】 由题意可知：，则椭圆的左、右焦点分别为，， 因为，即， 则， 当且仅当点在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为. 18. 如图，直三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱，P是线段CF的延长线上一点，平面PAB分别与DF，EF相交于M，N． （1）证明：平面CDE． （2）当PF为何值时，平面平面CDE？ （3）当PC为何值时，平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为？ 【答案】（1） 因为，在平面外，平面， 则平面，平面， 因为平面平面， 则，从而. 因为在平面外，平面， 所以平面. （2）1 （3）4 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质证明即可. （2）设出，建立空间直角坐标系，求出平面和平面法向量，通过法向量垂直求解. （3）求出平面的法向量，借助空间向量求出夹角余弦值从而求出PC长度. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，分别取的中点，以为原点， 直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系 由已知，，则点， 从而 设平面的法向量为， 由，得 取，解得，则 设，则点，从而 设平面的法向量， 由，得 取，解得则. 因为平面平面，则， 解得，从而 所以当时，平面平面. 【小问3详解】 设平面的法向量为， ， 由，得， 取，解得则. 由（2）知平面的法向量为，设平面与平面夹角为， 故，解得， 故当PC等于4时，平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知双曲线的左顶点为，过点的直线与圆交于两点，且的最小值为，当直线平行于双曲线的渐近线时，点到直线的距离为． （1）求双曲线的方程． （2）若直线，与双曲线分别交于，两点（均不与重合），试判断直线是否过定点．若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1） （2）直线过定点，定点为 【解析】 【分析】（1）分析可知当且仅当直线，取得最小值，结合垂径定理可得，再根据点到直线的距离公式可得，即可得双曲线方程； （2）设直线，与圆的方程联立结合韦达定理可得，讨论直线的斜率是否存在，与双曲线的方程联立结合韦达定理求定点. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径， 因为直线过点，可知当且仅当直线，取得最小值， 此时，即，解得， 则，双曲线的渐近线方程为，即， 直线平行于双曲线的渐近线时，直线的方程为， 且点到直线的距离为，解得， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0，直线与圆必相交， 设直线，，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 设直线，的斜率分别为，， 则， 即， 若直线的斜率存在，可设直线，， 联立方程，消去y可得， 则， 可得，， 因为， 整理可得， 则， 整理可得，解得或， 若，直线过定点，不符合题意； 若，直线过定点； 若直线的斜率不存在，可知直线的斜率不存在，即直线， 代入圆的方程可得，解得， 不妨设，， 则直线， 联立方程，解得或，即， 同理可得，所以直线过定点； 综上所述：直线过定点，定点为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二“质量监测”联合调考 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章4.2止． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点是点在平面内的射影，则（ ） A. B. 9 C. D. 18 2. 已知数列，，，，，…，则该数列的一个通项公式为（ ） A. B. C. D. 3. 若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量也可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线的左、右焦点为，，双曲线C上有一点P，若，则（ ） A. 10 B. 2 C. 2或10 D. 4或14 5. 设等差数列，的前n项和分别为，，若，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，．M是椭圆C上一点，直线与y轴负半轴交于点N，若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，BC，的中点，，平面EFG，若，则Q的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，直线，则下列选项正确的是（ ） A. 直线在轴上的截距为 B. 直线的斜率为 C. 若，则 D. 若，则 10. 在三棱锥中，为边长为2的正三角形，，，设二面角的大小为，，G为的重心，则下列选项正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若，则在平面PAC内的投影向量为 D. 若，则 11. 阿基米德在数学方面贡献巨大．抛物线上任意两点E，F处的切线交于点，称为“阿基米德三角形”．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线交于点，则关于“阿基米德三角形”，下列选项正确的是（ ） A. 有可能是等边三角形 B. 顶点在抛物线的准线上 C. 若边的中点为，则轴 D. 面积的最小值为64 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的离心率为___________． 13. 已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则___________． 14. 过直线上一点P向圆作切线，切点为M，则的最小值为______．若O为坐标原点，Q为圆C上的动点，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆，直线过点． （1）若直线在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程； （2）若直线与圆相切，求直线的方程． 16. 已知是等差数列的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）求的最值； （3）求数列的前n项和． 17. 曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．已知椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程： （3）记椭圆的左焦点为，为椭圆上一动点，定点，求的最大值． 18. 如图，直三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱，P是线段CF的延长线上一点，平面PAB分别与DF，EF相交于M，N． （1）证明：平面CDE． （2）当PF为何值时，平面平面CDE？ （3）当PC为何值时，平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为？ 19. 已知双曲线的左顶点为，过点的直线与圆交于两点，且的最小值为，当直线平行于双曲线的渐近线时，点到直线的距离为． （1）求双曲线的方程． （2）若直线，与双曲线分别交于，两点（均不与重合），试判断直线是否过定点．若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $