精品解析：黑龙江哈尔滨市第六十九中学2026-2027年上学期九年级九月学科活动数学学科试题

哈尔滨市第六十九中学校2026-2027学年度（上）学期 九年级 九月学科活动 数学学科 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查倒数的基本定义，根据倒数的概念直接计算即可得到答案． 【详解】解：∵乘积为的两个数互为倒数，且， ∴的倒数是． 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A选项有对称轴，是轴对称图形，故选项不符合题意； B选项有对称轴，是轴对称图形，故选项不符合题意； C选项没有对称轴，不是轴对称图形，故选项符合题意； D选项有对称轴，是轴对称图形，故选项不符合题意． 3. 如图，是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是（ ）    A.     B.     C.     D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图是从几何体左面看得到的图形，确定几何体的排数及每排的最高层数，即可求解． 【详解】解：观察几何体可知，该几何体在前后方向上共有两排， 后排最高有层，前排最高有层，   左视图是从左向右看，看到的图像左边对应几何体的后排，右边对应几何体的前排，   左视图共有列，左边一列有个正方形，右边一列有个正方形， 故选B． 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况判断，利用一元二次方程根的判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 5. 如图，飞机在空中B处探测到它的正下方地面上目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地面指挥台A的俯角α的正切值为，则飞机与指挥台之间的距离为( )米 A. 1200 B. 1600 C. 1800 D. 2000 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，由图得到，利用的正切即可求解，掌握正切的定义是解题的关键． 【详解】解： 由题意得：， ， ∴，且， ∴（米）， 则（米）． 故选D． 6. 某公司生产的一款扫地机器人2024年的销售量为万台，到2026年销售量达到万台，设该款扫地机器人年销售量的平均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等量关系列出一元二次方程即可． 【详解】解： 设该款扫地机器人年销售量的平均增长率为， 根据题意得：． 7. 如图，直线，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，正确识别对应线段是解题的关键．利用平行线分线段成比例定理，找出线段与的比例关系，再通过已知线段长度计算比值． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 8. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 9. 对于任意实数m、n，定义一种新运算“◎”：，这里等式右边是实数运算，例如：．则方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【详解】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选：C． 10. 如图1，点M为边上的点，点M沿着的路径运动，设点M运动的路径长为x，的面积为y，如图2是点M运动时y随x变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点M运动，可得，，再根据三角形的面积公式可得出结论． 【详解】解：设与间的距离是d， 由图象可得，， 当点M在上时，， ∴， 解得． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 将数269000000用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数269000000用科学记数法表示为； 故答案为 12. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分母不能为0即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求自变量的取值范围，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键． 13. 把多项式分解因式的结果是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，综合提公因式和公式法分解因式，完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 不等式组的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集． 【详解】解答：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为， 故答案为 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是解不等式． 15. 年月日是第七个国际数学日，今年国际数学日的主题是“（数学与希望）”．数学节期间，南宁地区开展了“数智创想——学生优秀创意作品征集”活动，该活动将学生创意作品的“科学性、创新性、实践性”三项得分按的比例计入总成绩．小越的作品三项得分分别为10分，8分，9分，则小越的作品总成绩为___________分． 【答案】 【解析】 【分析】已知三项得分的权重比和对应得分，代入加权平均数公式计算即可得到总成绩． 【详解】解：∵三项得分的权重比为，三项得分分别为分，分，分， ∴总成绩（分）． 16. 如图，线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心，将线段放大后得到线段，若，则端点C的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点A、B的坐标，得到，根据，得到位似比为：，结合图形得出，则点A的对应点C的坐标是的坐标同时乘以2，因而得到的点C的坐标． 【详解】解：∵线段的两个端点坐标分别为，， ∴， ∵以原点O为位似中心，将线段放大后得到线段，， ∴两图形位似比为：， ∴点C的坐标为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了图形的位似，熟练掌握以坐标原点为位似中心的位似图形的坐标特征是解题的关键． 17. 如图，已知中，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于、两点，连接交于．连接，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由作图步骤可知，垂直平分，即，结合，，代入数值到中即可求解． 【详解】解：由作图步骤可知，垂直平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 18. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，进而证明，利用相似三角形对应高的比等于相似比列出方程，求解即可得出小孔到的距离 ． 【详解】解：由题意得：， ， 设小孔到的距离为， 根据相似三角形相似比等于对应高之比得到， 即， 解得， 即小孔到的距离为． 19. 在中，若，，，则_________． 【答案】4或6 【解析】 【分析】过A作于，在中，由已知条件设，根据勾股定理求出x的值，从而得出，在中，根据勾股定理得出，可得到的长度． 【详解】解：如图，过A作于， 在中，， 设， ， ，即， 解得， ． 在中，， ， 同理可求． 则的值为4或6． 20. 如图，等边中，，点，分别为，边上的点，连接，交于点，且，为线段上一动点，则以下结论中正确的是_______________；（只填写序号即可）①；②；③当时，；④当点为边中点时，的最小值为． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】结合等边三角形的性质即可证明，证明，得到，根据，可知不成立，根据全等三角形的性质求出，即，根据30度角的性质可知，作交于点N，作交于点G，根据30度角的性质可知，则，根据等边三角形的性质、30度角的性质及勾股定理计算即可． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵， ∴，①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴不成立，②错误； ∵， ∴， ∴． 当时，在中，，则， ∴，③正确； 如图，作交于点N，作交于点G， 当为中点时，结合可知是中点， 此时， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为，④错误； 综上所述，正确的有①③． 三、解答题（21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴原式 22. 图1、图2是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，在线段上确定一点，连接，使得； （2）在图2中，确定线段上一点，使得，连接，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据一线三直角构造，连接与的交点即为点D； （2）根据平行线结合网格特点构造出，得到，连接，过点C作于点D，求出，，，根据三角形的面积公式，求出，继而由勾股定理求出，根据，求出，得到，再由勾股定理求出，即可解答． 【小问1详解】 解：如图所示，点D即为所求，图略； 理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴． 【小问2详解】 解：如图所示，点E即为所求，图略； 理由如下： ∵， ∴， ∴， 连接，过点C作于点D，如图 由图可得，，， ， ∴， ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 六十九中学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：85，83，84，87，84，88，84． 八年级20名学生竞赛成绩是： 63，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 84 方差 278.9 134.7 根据以上数据分析信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选__________年级更合适（填“七”或“八”）； （3）该校八年级有学生1200人．请估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 【答案】（1）83；30；72； （2）八 （3）300人 【解析】 【分析】（1）利用扇形统计图即可求出D组和C组的人数，结合B组的人数，求出A 组的人数，再利用中位数定义即可求出b的值，求得A组所占的百分数即可求得m的值，最后求出第一四分位数即可确定n； （2）根据方差进行分析即可解答； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级20名学生竞赛成绩在D组中有（人），C组有（人）， 根据题意可得B组中有7人，故A组中有（人）， ∵七年级20名学生竞赛成绩在A组中的数据共6个， ∴，即． ∵八年级竞赛成绩的中位数b是数据从小到大排列后的第10和11个数据的平均数，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是82，84， ∴， 由八年级所抽取学生成绩的箱线图可知：n是第一四分位数， 法一：第一四分位数是八年级竞赛成绩从小到大排列后前10个数据的中位数，第5，6个数据的平均数，故． 方法二：∵， ∴第一四分位数为． 【小问2详解】 解：八年级更合适，理由：因为该校八年级的方差小于七年级方差，成绩比七年级稳定，故八年级更合适． 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有300人． 24. 如图，中，，于点，于点，交于点． （1）求证：； （2）若平分，在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形． 【答案】（1）证明：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）、、、 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）根据两组角对应相等，两三角形相似求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ∵ ∴ 综上所述，与相似的三角形有、、、． 25. 某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知采购台甲种机器人与台乙种机器人共需万元；采购台甲种机器人与台乙种机器人共需万元． （1）求采购一台甲种机器人和一台乙种机器人分别需要多少万元？ （2）若该公司要采购两种机器人共台，且乙种机器人的数量不少于甲种机器人数量的，请问采购多少台乙种机器人时花费最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）采购一台甲种机器人需要万元，一台乙种机器人需要万元 （2）采购台乙种机器人时花费最少，最少费用是万元 【解析】 【分析】（1）根据等量关系列二元一次方程组解答即可； （2）先构建不等式确定变量的取值范围，再利用一次函数求最值． 【小问1详解】 解：设采购一台甲种机器人需要万元，一台乙种机器人需要万元，根据题意得： ， 解得， 答：采购一台甲种机器人需要万元，一台乙种机器人需要万元． 【小问2详解】 解：设总费用为万元，采购乙种机器人台，则甲种机器人采购台，根据题意得： ， 解得 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 答：采购台乙种机器人时花费最少，最少费用是万元． 26. 已知，四边形中，，，连接，平分． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，当时，点F为线段上一点，连接，以为边长作等边（点E与点C在直线同侧），连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连接，若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）证明：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 即． （3）7 【解析】 【分析】（1）由已知条件先证得四边形是平行四边形，再由角平分线的性质证得，进一步得出，从而得证结论； （2）由菱形的性质结合已知条件证得是等边三角形，进一步证得，利用全等三角形的性质得出，从而得证结论； （3）延长至点K，使，连接，由（2）的结论先证得点D，C，E三点共线，再证明，结合等边三角形的性质得出，设，通过倒角得出，证出，再进一步证得，利用相似三角形对应边成比例求得，进一步得到最终结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长至点K，使，连接， 由（2）知，， ∴，， ∵， ∴， ∴点D，C，E三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， ∴． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，正方形的边、分别在轴和轴的正半轴上，且． （1）如图1，设正方形的面积为，与之间的函数关系式为________；（不要求写出自变量的取值范围）； （2）如图2，点为第一象限内一点，连接、、，，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，取的中点，连接，若，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形面积公式即可建立函数表达式； （2）过点作交延长线于点，然后证明即可； （3）过点作交延长线于点，连接，先证明，求出，，延长至点，使得，过点作，并使得，连接，然后证明点三点共线，根据三角形中位线定理可得，再证明，推出，最后再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵设正方形的面积为， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：过点作交延长线于点，则 ∵ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵正方形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形 ∴， 过点作交延长线于点，连接 ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴， 同（2）可得， ∴ ∴ ∴ ∴ 延长至点，使得，过点作，并使得，连接， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴点三点共线， ∵点为的中点 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 解得 ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六十九中学校2026-2027学年度（上）学期 九年级 九月学科活动 数学学科 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的左视图是（ ）    A.     B.     C.     D. 4. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个实数根 5. 如图，飞机在空中B处探测到它的正下方地面上目标C，此时飞行高度米，从飞机上看地面指挥台A的俯角α的正切值为，则飞机与指挥台之间的距离为( )米 A. 1200 B. 1600 C. 1800 D. 2000 6. 某公司生产的一款扫地机器人2024年的销售量为万台，到2026年销售量达到万台，设该款扫地机器人年销售量的平均增长率为，可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 9. 对于任意实数m、n，定义一种新运算“◎”：，这里等式右边是实数运算，例如：．则方程的解是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，点M为边上的点，点M沿着的路径运动，设点M运动的路径长为x，的面积为y，如图2是点M运动时y随x变化的关系图象，则与间的距离是（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 将数269000000用科学记数法表示为__________． 12. 在函数y＝中，自变量x的取值范围是________． 13. 把多项式分解因式的结果是________． 14. 不等式组的解集为__________． 15. 年月日是第七个国际数学日，今年国际数学日的主题是“（数学与希望）”．数学节期间，南宁地区开展了“数智创想——学生优秀创意作品征集”活动，该活动将学生创意作品的“科学性、创新性、实践性”三项得分按的比例计入总成绩．小越的作品三项得分分别为10分，8分，9分，则小越的作品总成绩为___________分． 16. 如图，线段的两个端点坐标分别为，，以原点O为位似中心，将线段放大后得到线段，若，则端点C的坐标为_______． 17. 如图，已知中，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于、两点，连接交于．连接，则_________． 18. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为_______． 19. 在中，若，，，则_________． 20. 如图，等边中，，点，分别为，边上的点，连接，交于点，且，为线段上一动点，则以下结论中正确的是_______________；（只填写序号即可）①；②；③当时，；④当点为边中点时，的最小值为． 三、解答题（21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 图1、图2是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，在线段上确定一点，连接，使得； （2）在图2中，确定线段上一点，使得，连接，请直接写出线段的长． 23. 六十九中学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：85，83，84，87，84，88，84． 八年级20名学生竞赛成绩是： 63，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 84 方差 278.9 134.7 根据以上数据分析信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________，__________； （2）如果要从中选一个成绩稳定的年级去参加市里的比赛，请问选__________年级更合适（填“七”或“八”）； （3）该校八年级有学生1200人．请估计该校八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？ 24. 如图，中，，于点，于点，交于点． （1）求证：； （2）若平分，在不添加任何辅助线的条件下，找出图中所有与相似的三角形． 25. 某公司计划采购甲、乙两种机器人，已知采购台甲种机器人与台乙种机器人共需万元；采购台甲种机器人与台乙种机器人共需万元． （1）求采购一台甲种机器人和一台乙种机器人分别需要多少万元？ （2）若该公司要采购两种机器人共台，且乙种机器人的数量不少于甲种机器人数量的，请问采购多少台乙种机器人时花费最少，最少费用是多少？ 26. 已知，四边形中，，，连接，平分． （1）如图1，求证：四边形是菱形； （2）如图2，当时，点F为线段上一点，连接，以为边长作等边（点E与点C在直线同侧），连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连接，若，，求线段的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，正方形的边、分别在轴和轴的正半轴上，且． （1）如图1，设正方形的面积为，与之间的函数关系式为________；（不要求写出自变量的取值范围）； （2）如图2，点为第一象限内一点，连接、、，，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，取的中点，连接，若，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $