甘肃平凉市第四中学2026—2027学年九年级上学期第一次阶段考试数学试卷

平凉四中2026—2027学年第一学期第一阶段质量检测题（卷） 九年级数学（150分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A．1，， B．1，3，2 C．1，3， D．0，， 3．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ） A．2 B．1或 C．1 D． 4．一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘，若每天“遗忘”的百分比是一样的，设百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程为（ ） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 8．已知三个二次函数的图象如图所示，那么、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 9．二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（ ） A． B． C． D． 10．如图，菱形的边长为，，点为的中点，动点以的速度沿运动，动点以的速度沿运动．点，分别从，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为，的面积为，则与之间的关系用图象大致可表示为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为___________． 12．秋冬季是流感的高发季节，应特别注意预防，如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等．若有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了___________人． 13．已知抛物线与轴的一个交点坐标为，则代数式的值为___________． 14．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________． 15．2026年7月18日晚，甘肃省超级足球联赛平凉队对阵庆阳队的比赛中，平凉队在第85分钟时以一记抽射，扳平比分．最终在点球大战后以险胜庆阳队．据测，如图该球员在距离球门24米处射门，当球飞出14米远处，达到最高点，最终在球门离地面1.2米高处入网．这条抛物线的表达式为___________． 16．如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④（为任意实数）．其中正确的是___________． 三、解答题（共6题，共46分）． 17．（8分）解方程： （1）； （2）． 18．（8分）解方程： （1）； （2）． 19．（6分）已知抛物线经过点，和点，求该抛物线的解析式． 20．（8分）已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若、是方程的两根，且，求的值． 21．（8分）某商场以每件220元的价格购进一批商品，当每件商品售价为280元时，每天可售出30件；为了迎接“双十一购物节”，扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每天就可以多售出3件，要使商场每天销售这种商品的总利润达到3600元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 22．（8分）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 解：原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：， 因为不论取何值，总是非负数，即，所以． 所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：_______； （2）求出的最值； （3）若，，其中为任意实数，试比较与的大小，并说明理由． 四、解答题（共5题，共50分）． 23．（8分）已知抛物线，现将该函数图象向右平移2个单位，向上平移5个单位得到抛物线． （1）求抛物线的解析式． （2）当时，求抛物线的最大值和最小值． 24．（8分）阅读下面的例题，并完成相应的任务． 例：解方程：． 解：分两种情况：①当时，原方程化为，解得，（舍去）； ②当时，原方程化为，解得，（舍去）． 综上所述，原方程的解是，． 任务：请参照上述方法解方程 25．（10分）有一养殖户计划建一矩形鸡舍，鸡舍的一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个2米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长34米．请同学解决以下问题： （1）若设鸡舍的面积为平方米，鸡舍与墙平行的一边长为米，请写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）当鸡舍的面积为160平方米时，鸡舍的长与宽分别是多少米？ （3）鸡舍的最大面积是多少？并求出此时鸡舍的长与宽分别是多少米？ 26．（12分）中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分．九（1）班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了课题探究： 提出问题：【设计方案求碗里水面的宽度】 素材一： 图1是一个竖直放置在水平桌面上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． 素材二： 如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面与碗口的夹角为时停止倾斜． 问题研究 问题1 如右图，以碗底的中点为原点，以为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，求碗体的抛物线解析式； 问题2 根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度为，求此时水面宽度的长； 问题3 如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度． 27．（12分）已知，抛物线交轴于，两点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点是直线上方的抛物线上一动点（不与，重合），连接，，求的面积最大值以及此时点的坐标． （3）如图2，若动点在抛物线的对称轴上，点是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $