精品解析：上海市延安中学2026-2027学年第一学期十月质量调研高三年级数学试卷

上海市延安中学 2026 学年第一学期十月质量调研 高三年级数学试卷 (考试时间: 120 分钟 满分 150 分) 一、填空题 (本大题共 12 题， 满分 54 分， 第 1 至 6 题每题 4 分， 第 7 至 12 题每题 5 分) 1. 已知集合，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的并集运算求解. 【详解】因为集合， 所以. 故答案为：. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则___________. 【答案】##i-2 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算求解即可. 【详解】由题意知，， 则， 故答案为： 3. 已知幂函数过点，则函数的解析式是__________． 【答案】 【解析】 【详解】设幂函数的解析式为：， ∵幂函数过点， ∴，解得：， 故函数的解析式为：． 4. 已知圆锥的底面半径，母线长为2，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查圆锥的侧面积公式.圆锥的侧面积，其中为底面半径，为母线长，代入数据即可. 【详解】圆锥的侧面积. 5. 若（是虚数单位）是方程的一个根，则____ 【答案】 【解析】 【分析】确定方程另一根为，利用韦达定理表示出，由此可求得结果. 【详解】是方程的一个根，另一根为， ，， . 故答案为：. 6. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数函数的性质列不等式组求解集即可. 【详解】由题设， 则，即，可得. 故答案为： 7. 设函数，若将图像向左平移个单位后，所得函数图像的对称轴与原函数图像的对称轴重合，则_______． 【答案】##1.25 【解析】 【分析】求出平移后的解析式，根据平移后的解析式图象与原函数图像的对称轴重合得到，利用得到的取值范围，进而求出，. 【详解】平移后的解析式为，因为与原函数图像的对称轴重合，所以，.所以，k∈Z，因为，所以，解得：，因为，所以，所以. 故答案为： 8. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，若有最小值，则最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】对的值进行分类讨论，结合等差数列前项和最值的求法求得的最小值. 【详解】取得最小值，则公差，或， （1）当 ， ， 所以的最小值为. （2）当，不合题意. 综上所述：的最小值为. 故答案为： 9. 如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，延长，与椭圆交于点L，连接，设可得，在中，用余弦定理可得到，继而得到，即可求解 【详解】设椭圆的半焦距为， 如图，延长，与椭圆交于点L，连接， 由，所以根据对称性可知，， 设，则，， 从而，故， 在中，，所以， 在中，，即， 所以，所以，所以离心率， 故答案为： 10. 已知、、，点是圆上的动点，则的取值范围是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】将圆转化成参数方程，等价于，结合数量积公式和辅助角公式即可求解. 【详解】因为点是圆上的动点，可设为，又因为、、，则， ， ， 因为，所以， 所以. 故答案为： 11. 已知函数，如果且，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数可得函数单调性，从而可得的范围，再构造函数，结合三次函数交点式即可得、，再结合的范围即可得解. 【详解】， 则当时，， 当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 则有极大值， 有极小值， 由，则可设， 令，则， 即有， 则， 故，， 则， 故答案为：. 12. 集合 ，函数的定义域为，值域为的子集，且满足 ，则这样的函数一共有_____ 个. 【答案】1057 【解析】 【分析】设值域中元素个数为，对中元素与定义域中剩下的个非值域的元素分别进行选取，利用乘法原理相乘计算即可. 【详解】设值域为，由题意得，设中元素个数为， 因为，令，则，且对，均有， 从而对于给定的值域，有种选取方式，对于定义域中剩下的个非值域的元素，其函数值必须在中， 每个元素可映射到的个元素中的任意一个，因此方式数为种， 所以这样的函数一共有 个. 二、选择题 (本大题共 4 题， 满分 18 分， 第 13 至 14 题每题 4 分， 第 15 至 16 题 每题 5 分) 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求解不等式，再根据充分条件和必要条件的概念即可判断. 【详解】，即或， 即是的真子集，故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 14. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，结合不等式性质及指对数的性质比较各式的大小关系. 【详解】A：若，此时，错； B：若，此时，错； C：由单调递增，且，则，所以，对； D：若，则，此时，错. 故选：C 15. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正弦定理边角互化，通过两角和差、三角形内角和关系及二倍角公式化简求值 【详解】由正弦定理得，， 代入，得，即， 所以，即， 因为，所以，所以， 所以，所以当，即时， 16. 将数列 中随机剔除两项 、 (其中 ， i、 )，然后在原数列中添加一项 叫做数列 的一次变换，那么数列1、 、 、 、 、 经过2025次变换后数列中还剩下的一项为（ ） A. 2025 B. 2027 C. 2024 D. 2026 【答案】D 【解析】 【分析】令，，易得与一一对应，对于的一次变换，相应对做如下变换：剔除与中剔除两项对应的，并添加，可得对做一次变换相当于将中两项相乘，据此可得答案. 【详解】令，，易得与一一对应，对于的一次变换：随机剔除，并添加， 考虑对做如下变换：剔除与对应的，并添加， 注意到， 则对做一次与变换对应的变换，相当于随机剔除中两项，并在中添加剔除两项的乘积. 又易得：，即对做2025次变换后数列中剩下， 结合，则经过题设描述变换次后剩下2026 【点睛】本题关键为构造与原数列一一对应的数列，并构造相应变换，将复杂的变换过程转化为变化较少的两数相乘. 三、解答题 (本大题共 5 题， 满分 78 分) 17. 设函数（）. （1）当时，解不等式； （2）若，且方程在闭区间上有实数解，求实数的取值范围； 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】(1)根据对数不等式的方法求解即可. (2)根据求得.再将条件转化成的取值范围就是函数在上的值域再利用单调性分析求解即可. 【详解】（1）当时,, 由,得, 故,移项得,解得. （2）由得,解得, 所以,.从而, 依题意得的取值范围就是函数在上的值域. 易得在上递增, 故, , 从而,实数的取值范围为. 【点睛】本题主要考查了对数不等式以及含参的函数取值范围问题.属于中等题型. 18. 如图，在直三棱柱中，，，，D是棱AB上的一点． （1）若，求异面直线与所成的角的大小； （2）若，求点B到平面的距离． 【答案】（1）； （2）0或. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，再利用线线角的向量求法求解即得. （2）由（1）的坐标系，求出点的坐标，平面的法向量坐标，再利用点到平面的距离公式计算即得. 【小问1详解】 在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 由，得，于是， ， 所以异面直线与所成角的余弦为，大小为. 【小问2详解】 令，，点， 则，由， 得，而，解得或， 当时，点与点重合，点B在平面内，因此点B到平面的距离为0； 当时，，， 设平面的法向量，则， 取，得， 而，因此点B到平面的距离， 所以点B到平面的距离为0或. 19. 轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表. 使用频数 偶尔1次 30 15 5 10 每周1～3次 40 40 30 50 每周4～6次 25 40 45 30 每天1次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频数不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据所给数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关； （2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，.求的分布列与期望； （3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，，，求小李晚餐选择低卡甜品的概率. 参考公式：，. 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表如下： 青少年 中老年 合计 食用轻食频率低 125 95 220 食用轻食频率高 75 105 180 合计 200 200 400 有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关，理由见解析 （2）的分布列如下： 0 1 2 数学期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）数据分析，得到列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论； （2）先利用分层抽样得到，，和的抽取人数，得到的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望； （3）设出事件，结合全概率公式得到答案. 【小问1详解】 列联表如下： 青少年 中老年 合计 食用轻食频率低 125 95 220 食用轻食频率高 75 105 180 合计 200 200 400 故， 故有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关； 【小问2详解】 每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样， 的抽取人数为，的抽取人数为， 的抽取人数为，的抽取人数为， 的可能取值为0，1，此时的取值为0，1，2，故的可能取值为0，1，2， 其中包含两种情况，即和，故， 包含三种情况，，和，故， 包含1种情况，即，故， 故的分布列如下： 0 1 2 则数学期望为； 【小问3详解】 记小李早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件， 则，，， 小李晚餐选择低卡甜品为事件，则，，， 故， 故小李晚餐选择低卡甜品的概率为. 20. 已知双曲线：的下焦点为，上焦点为，点D为的上顶点. （1）设O为坐标原点，M为上任意一点，求的取值范围； （2）设点，过点C任意作一条不垂直x轴的直线l，l交于两个不同点A、B，求证：是定值，并给出这个定值； （3）过作直线n交于两个不同点P、Q，若直线交x轴于点S，直线交x轴于点T，是否存在直线n，使得、面积相等？若存在，求出直线n的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）设直线的方程为，设， 由消去，得，， 解得，，， 因此 ， 所以是定值，该定值为0. （3）. 【解析】 【分析】（1）求出双曲线焦点坐标并设点，利用数量积的坐标表示，结合双曲线范围求出范围. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用数量积的坐标表示及韦达定理计算得证. （3）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出点的横坐标差，再由面积相等列式求解. 【小问1详解】 双曲线的焦点，设点，则， ，因此， 而或，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以的取值范围是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设直线的方程为，点， 由消去，得，， 解得，，直线的方程为， 令，得点的横坐标，同理得的横坐标， 则 ，而，， 由、面积相等，得，则， 解得，即，所以直线的方程为. 21. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数使得，则称为“极值差比函数”，常数为的“极值差比系数”． （1）若函数为“极值差比函数”且在上严格增，试判断是否为“极值差比函数”，并说明理由； （2）是否存在使的“极值差比系数”为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）对于（2）中的函数，若，求：的“极值差比系数”的取值范围． 【答案】（1）是“极值差比函数”，理由见解析 （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据“极值差比函数”的定义来判断函数的单调性，结合正弦函数的性质来进行判断； （2）反证法，假设存在这样的参数，由“极值差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可； （3）由（2）得到参数与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，即可得出函数取值范围. 【小问1详解】 若，则， 因为在上严格增，则在上严格增， 函数不存在极值点，此时函数不是“极值差比函数” 所以， 根据正弦函数的性质可知，存在极大值，， 极小值，，则， 因此是“极值差比函数”. 【小问2详解】 的定义域为，求导可得， 假设存在使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得， 不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（），求导可得， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在使的极值差比系数为. 【小问3详解】 由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，则极值差比系数可化为， ， 因为，解得， 令（），求导可得， 设（）， 求导可得， 所以在上单调递减， 因此当时，， 从而，所以在上单调递增， 所以，即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市延安中学 2026 学年第一学期十月质量调研 高三年级数学试卷 (考试时间: 120 分钟 满分 150 分) 一、填空题 (本大题共 12 题， 满分 54 分， 第 1 至 6 题每题 4 分， 第 7 至 12 题每题 5 分) 1. 已知集合，则_________． 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则___________. 3. 已知幂函数过点，则函数的解析式是__________． 4. 已知圆锥的底面半径，母线长为2，则该圆锥的侧面积为________． 5. 若（是虚数单位）是方程的一个根，则____ 6. 不等式的解集为__________. 7. 设函数，若将图像向左平移个单位后，所得函数图像的对称轴与原函数图像的对称轴重合，则_______． 8. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，若有最小值，则最小值为__________． 9. 如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为________． 10. 已知、、，点是圆上的动点，则的取值范围是___________. 11. 已知函数，如果且，则的取值范围为_________． 12. 集合 ，函数的定义域为，值域为的子集，且满足 ，则这样的函数一共有_____ 个. 二、选择题 (本大题共 4 题， 满分 18 分， 第 13 至 14 题每题 4 分， 第 15 至 16 题 每题 5 分) 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 16. 将数列 中随机剔除两项 、 (其中 ， i、 )，然后在原数列中添加一项 叫做数列 的一次变换，那么数列1、 、 、 、 、 经过2025次变换后数列中还剩下的一项为（ ） A. 2025 B. 2027 C. 2024 D. 2026 三、解答题 (本大题共 5 题， 满分 78 分) 17. 设函数（）. （1）当时，解不等式； （2）若，且方程在闭区间上有实数解，求实数的取值范围； 18. 如图，在直三棱柱中，，，，D是棱AB上的一点． （1）若，求异面直线与所成的角的大小； （2）若，求点B到平面的距离． 19. 轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表. 使用频数 偶尔1次 30 15 5 10 每周1～3次 40 40 30 50 每周4～6次 25 40 45 30 每天1次及以上 5 5 20 10 （1）若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频数不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据所给数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关； （2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，.求的分布列与期望； （3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，，，求小李晚餐选择低卡甜品的概率. 参考公式：，. 附： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20. 已知双曲线：的下焦点为，上焦点为，点D为的上顶点. （1）设O为坐标原点，M为上任意一点，求的取值范围； （2）设点，过点C任意作一条不垂直x轴的直线l，l交于两个不同点A、B，求证：是定值，并给出这个定值； （3）过作直线n交于两个不同点P、Q，若直线交x轴于点S，直线交x轴于点T，是否存在直线n，使得、面积相等？若存在，求出直线n的方程；若不存在，说明理由. 21. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数使得，则称为“极值差比函数”，常数为的“极值差比系数”． （1）若函数为“极值差比函数”且在上严格增，试判断是否为“极值差比函数”，并说明理由； （2）是否存在使的“极值差比系数”为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； （3）对于（2）中的函数，若，求：的“极值差比系数”的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $