精品解析：山东济南高新区东城逸家初级中学2026-2027学年八年级上学期数学学情自测试题(2026.9.28)

2026-2027学年第一学期规范答题试题 初二年级数学学科（2026.9.28） 注意事项： 1．本试卷共8个大题，2个个小题，全部答在答题卡相应区域，超出答题区域作答无效． 2．全卷满分150分，考试时间120分钟． 3．答卷前务必将姓名、班级、座号、考号等填、涂准确． 4．请用2B铅笔做选择题，用0.5mm黑色签字笔做非选择题． 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 9的平方根是（ ） A. 3 B. ±3 C. D. － 2. 下列实数中，是无理数的是( ) A. B. C. D. 3. 估计的大小，应在（ ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 3到4之间 D. 2到3之间 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 当时，时， D. 图象必经过点 8. 若函数是正比例函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 10. 点M在第二象限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M坐标是（　　） A. B. C. D. 11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像大致是（ ） A. B. C. D. 12. 如图①，在长方形中，动点P从点A出发，匀速沿的路径运动，到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图②所示，那么长方形的面积是（ ） A. 12 B. 14 C. 24 D. 28 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 的立方根是_______________ 14. 已知点，则点P到x轴的距离是 _____． 15. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当为时，对应的时间为__________． … 1 2 3 5 … … 2.4 2.8 3.4 4 … 16. 已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简________． 17. 如图，已知直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C坐标为_____． 18. 在平面直角坐标系中，对于点，若点Q为，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且），例如：点的“2阶智慧点”为点，即点．若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，则m的值___________ ． 三、解答题（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 把下列各数分别写入相应的集合中． ，0，，，，，，，，，，（相邻两个2之间依次多一个1）． （1）整数集合：{___________________…}； （2）有理数集合：{___________________…}； （3）无理数集合：{___________________…}． 20. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 21. 解方程： （1）； （2）． 22. 在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上． （1）作出关于轴对称的；并写出点的坐标______； （2）在轴上找点，使得最小，直接写出点的坐标______． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求一次函数的解析式； （2）求出一次函数的图象与x轴、y轴交点A和B的坐标；求． （3）若点P在直线上，且的面积为5，求点P的坐标． 24. 已知平面直角坐标系中有一点． （1）已知点，当轴时，求点的坐标和线段的长； （2）当点到轴的距离为1时，求点的坐标． 25. “十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以下信息，解答下列问题： （1）设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； （2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同； （3）根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算． 26. 按要求进行二次根式的有关计算： （1）阅读：小芳同学在研究化简中发现： 首先把化为，由于，，即：，， 所以：， 应用：__________，__________． （2）阅读：； 应用：①若，求的值； ②解方程． （3）阅读：已知，，试比较，的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且，都是正数，故． 应用：比较大小：__________，__________． 27. 如图，直线与坐标轴交于、两点，点与点关于轴对称．轴与直线交于点． （1）求点和点的坐标； （2）点是直线上的一动点，求出的面积与之间的关系式． （3）点在直线上运动，且始终在直线下方，当的面积为18时，求出点的坐标； （4）在（3）的条件下，点为直线上一动点，直接写出所有使是以为腰的等腰三角形的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期规范答题试题 初二年级数学学科（2026.9.28） 注意事项： 1．本试卷共8个大题，2个个小题，全部答在答题卡相应区域，超出答题区域作答无效． 2．全卷满分150分，考试时间120分钟． 3．答卷前务必将姓名、班级、座号、考号等填、涂准确． 4．请用2B铅笔做选择题，用0.5mm黑色签字笔做非选择题． 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 9的平方根是（ ） A. 3 B. ±3 C. D. － 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【详解】±±3． 故选B． 【点睛】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个． 2. 下列实数中，是无理数的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可． 【详解】解：A、不是无理数，故本选项错误； B、不是无理数，故本选项错误； C、是无理数，故本选项正确； D、=-3，不是无理数，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了对无理数定义的应用，能理解无理数的定义是解题的关键． 3. 估计的大小，应在（ ） A. 6到7之间 B. 7到8之间 C. 3到4之间 D. 2到3之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是找到与被开方数相邻的两个完全平方数． 通过找出与10相邻的两个完全平方数，利用算术平方根的性质确定的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根，二次根式的乘除法，减法进行计算即可求解． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的性质是解决本题的关键． 5. 在平面直角坐标系中，点落在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵点的横坐标小于0，纵坐标也小于0， ∴点在第三象限． 6. 下列曲线中不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若两个变量满足对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，那么y是x的函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、C、D三个选项中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，故y是x的函数， B选项中，当时，有两个值与之对应，故不是x的函数． 7. 关于一次函数，下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限 C. 当时，时， D. 图象必经过点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．利用，可判定一次函数的增减性和所在象限，即可判定选项A和B；利用增减性可判定选项C；将代入即可判定选项D． 【详解】解：A中、由于，则随增大而增大，所以A选项正确； B中、由于，则函数的图象必过第一、三象限，由于，图象与轴的交点在轴的下方，则图象还过第四象限，所以B选项错误； C中、由于，则随增大而增大，且当时，，则当时，时，所以C选项错误； D中、当时，，则图象必经过点，所以D选项错误； 故选：A． 8. 若函数是正比例函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义可得，解之即可求解，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， ∴， 故选：． 9. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据解析式可得y随x的增大而增大，再根据两点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∵点，都在直线上，且， ∴． 10. 点M在第二象限，点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点M坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握点到坐标轴的距离的意义，各象限内点的坐标特征是解题的关键．设点的坐标是，根据点到轴的距离为3，到轴的距离为4，点在第二象限，即可求出点的坐标． 【详解】解：设点的坐标是， 点到轴的距离为3，到轴的距离为4， ，， ，， 点在第二象限， ，， ，， 点的坐标是， 故选：． 11. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像与其系数之间的关系，根据函数图像经过的象限判断出两个函数解析式中k的符号，看是否一致即可得到结论． 【详解】解：A、一次函数的图像经过第二、四象限，则，一次函数的图像经过第一、三、四象限，则，即，二者不一致，不符合题意； B、一次函数的图像经过第二、四象限，则，一次函数的图像经过第一、二、三象限，则，即，二者一致，符合题意； C、一次函数的图像经过第一、三象限，则，一次函数的图像经过第一、二、四象限，则，即，二者不一致，不符合题意； D、一次函数的图像必定经过原点，而所给函数图像中没有经过原点的一次函数，不符合题意； 故选：B． 12. 如图①，在长方形中，动点P从点A出发，匀速沿的路径运动，到点A处停止．设点P运动的路程为x，的面积为y，如果y与x之间的关系如图②所示，那么长方形的面积是（ ） A. 12 B. 14 C. 24 D. 28 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查动点的函数图象，当点P从A运动到B时，y随x的增大而增大，从B运动到C时，y保持不变，观察图象的横坐标得出长方形的长和宽，即可求出面积． 【详解】解：由图可知，，， 长方形的面积是， 故选：D． 二、填空题（每小题4分，共24分） 13. 的立方根是_______________ 【答案】2 【解析】 【详解】解：，， ∴的立方根是． 14. 已知点，则点P到x轴的距离是 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查点到坐标轴的距离，熟练掌握点到坐标轴的距离是解题的关键．根据点到坐标轴的距离求解即可得到答案． 【详解】解：点， 点P到x轴的距离是． 故答案为：． 15. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当为时，对应的时间为__________． … 1 2 3 5 … … 2.4 2.8 3.4 4 … 【答案】15 【解析】 【分析】由题意及表格数据可知记录错误的数据为当t=3时，h=3.4，然后设水位与时间的函数解析式为，进而把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入求解即可． 【详解】解：由表格可得：当t=1，h=2.4时，当t=2，h=2.8时，当t=5，h=4时，时间每增加一分钟，水位就上升0.4cm，由此可知错误的数据为当t=3时，h=3.4， 设水位与时间的函数解析式为，把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入得： ，解得：， ∴水位与时间的函数解析式为， ∴当=8时，则有，解得：， 故答案为15． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． 16. 已知实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简________． 【答案】 【解析】 【分析】利用数轴判断出、的符号，并进一步确定出的符号；然后利用二次根式的性质，将二次根式化简，再合并同类项即可求得结果． 【详解】解：由数轴可知：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了实数与数轴，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 17. 如图，已知直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据坐标轴上点的坐标特征得到A（﹣2，0），B（0，4），再利用勾股定理计算出AB＝2，然后根据圆的半径相等得到AC＝AB＝2，进而解答即可． 【详解】当y=0时，2x+4=0，解得x=－2，则A（－2，0）； 当x=0时，y=2x+4=4，则B（0，4）， 所以AB=， 因为以点A为圆心，AB为半径画弧，交x轴于点C， 所以AC=AB=2， 所以OC=AC－AO=2－2． 即可得点C坐标为（2－2，0）． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点坐标，正确求出一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 18. 在平面直角坐标系中，对于点，若点Q为，则称点Q是点P的“a阶智慧点”（a为常数，且），例如：点的“2阶智慧点”为点，即点．若点的“阶智慧点”到x轴的距离为1，则m的值___________ ． 【答案】或 【解析】 【详解】本题考查了点的坐标，理解“a阶智慧点”的定义是解题的关键．先求出点C的“阶智慧点”，再根据点到坐标轴的距离的意义求解即可． 【解答】解：∵，， ∴点的“阶智慧点”的坐标是， ∵点的“阶智慧点”到x轴的距离为1， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 把下列各数分别写入相应的集合中． ，0，，，，，，，，，，（相邻两个2之间依次多一个1）． （1）整数集合：{___________________…}； （2）有理数集合：{___________________…}； （3）无理数集合：{___________________…}． 【答案】（1），0， （2），0，，，，，， （3），，，（相邻两个2之间依次多一个1） 【解析】 【分析】（1）先计算算术平方根，再根据整数的定义可得答案； （2）根据有理数的定义可得答案； （3）根据无理数的定义可得答案． 【小问1详解】 解：， 整数集合：{，0，，…}； 【小问2详解】 解：有理数集合：{，0，，，，，，，…} 【小问3详解】 解：无理数集合：{，，，（相邻两个2之间依次多一个1），…}． 20. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ； 【小问5详解】 解： ； 【小问6详解】 解： ． 21. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程，熟练掌握平方根与立方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可求解； （2）先变形为，再根据立方根的定义，解方程即可求解． 【小问1详解】 解： ， 解得：或； 【小问2详解】 解： ∴， 解得：． 22. 在平面直角坐标系中的位置如图所示．A、B、C三点在格点上． （1）作出关于轴对称的；并写出点的坐标______； （2）在轴上找点，使得最小，直接写出点的坐标______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到点关于轴的对称点，即可求解； （2）连接交轴于点，再利用待定系数法求出直线的解析式，即可获得答案． 【小问1详解】 解：点． 【小问2详解】 如图所示，连接交轴于点， 则点即为所求， 设直线的解析式为，把点、代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称变换作图、最短路径问题、求一次函数解析式、一次函数图像与坐标轴交点问题等知识，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求一次函数的解析式； （2）求出一次函数的图象与x轴、y轴交点A和B的坐标；求． （3）若点P在直线上，且的面积为5，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平移的特点可得，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点A和点B的坐标，再根据求解即可； （3）根据题意可得，据此求出点P的纵坐标即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 当时，，解得， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵的面积为5， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，解得， 当时，，解得， ∴点P的坐标为或． 24. 已知平面直角坐标系中有一点． （1）已知点，当轴时，求点的坐标和线段的长； （2）当点到轴的距离为1时，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，掌握距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上绝对值的符号，这是解题的关键． （1）根据轴，得到M，N点的纵坐标相等，求出m的值，得到点M的坐标，从而得到线段的长度； （2）根据点M到y轴的距离为1，得到，求出m的值即可得到点M的坐标． 【小问1详解】 解：轴， ，点的纵坐标相等， ，点， ， ， ， ， 线段的长度； 【小问2详解】 点到y轴的距离为1， ， 或， 或， 或， 或． 25. “十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以下信息，解答下列问题： （1）设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式； （2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同； （3）根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算． 【答案】（1）； （2）当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同 （3）当租车时间为小时，任意选择其中的一个方案；当租车时间小于小时，选择方案二合算；当租车时间大于小时，选择方案一合算． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时注意：求正比例函数，只要一对x，y的值；而求一次函数，则需要两组x，y的值． （1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得关于x的函数表达式即可； （2）当时，，可得的值； （3）当时，，当时，，当时，，分求得x的取值范围即可得出方案． 【小问1详解】 解：设， 把点代入，可得：， 解得， ∴； 设， 把代入，可得，即， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， 解得； 答：当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同； 【小问3详解】 解：由（2）知：当时，； 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴当租车时间为小时，任意选择其中的一个方案；当租车时间小于小时，选择方案二合算；当租车时间大于小时，选择方案一合算． 26. 按要求进行二次根式的有关计算： （1）阅读：小芳同学在研究化简中发现： 首先把化为，由于，，即：，， 所以：， 应用：__________，__________． （2）阅读：； 应用：①若，求的值； ②解方程． （3）阅读：已知，，试比较，的大小；不好直接比较，可用如下方法： ，，因，且，都是正数，故． 应用：比较大小：__________，__________． 【答案】（1）， （2）①；② （3）， 【解析】 【分析】（）根据小芳同学的计算方法解答即可； （）①先对进行分母有理化得，即得，进而得到，再代入代数式计算即可求解；②先化简方程，再解方程求出的值即可； （）根据阅读材料的方法解答即可； 本题考查了二次根式的化简及求值，解一元一次方程，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：，， ∵， ∴； ， ∵， ∴， 故答案为：，． 27. 如图，直线与坐标轴交于、两点，点与点关于轴对称．轴与直线交于点． （1）求点和点的坐标； （2）点是直线上的一动点，求出的面积与之间的关系式． （3）点在直线上运动，且始终在直线下方，当的面积为18时，求出点的坐标； （4）在（3）的条件下，点为直线上一动点，直接写出所有使是以为腰的等腰三角形的点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P坐标为 （4）或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． （1）对于，求出时，，时，则，即可求出A、B的坐标； （2）先求出点C的坐标，则，再根据坐标与图形性质和三角形的面积公式求得，然后分和去绝对值即可求解； （3）先求得点D坐标，再根据坐标与图形性质和三角形的面积公式求得,由此求解即可； （4）分和两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：对于，令，则， 令，由得， ∴，； 【小问2详解】 解：根据题意，点关于轴对称的点C坐标为，则， 设， ∴， 当时，， 当时，， ∴与之间的关系式为； 【小问3详解】 解：∵轴与直线交于点． 对于，当时，， ∴， ∵的面积为18， ∴， ∴， ∵点P始终在直线下方， ∴点P坐标为； 【小问4详解】 解：∵，， ∴，， 根据题意，分两种情况： 当时，由得，则； 当时，，则或， 综上，满足题意的点Q的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $