精品解析：山东省济南外国语学校2024-2025学年上学期12月份月考八年级数学试题　

济外初二月考2024.12 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若是关于x，y的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 2. 在平面直角坐标系中，到 轴的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 3. 一个等腰三角形的两边长分别为5和9，则这个三角形的周长是（　　） A. 19 B. 23 C. 19或23 D. 20 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 有理数和数轴上的点一一对应 D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 5. 已知的三个内角分别为、、，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 下表记录了八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学最近3次数学模拟测试成绩（满分：120分）的平均数与方差：根据表中数据，可知成绩好且发挥稳定的同学是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 函数与（，）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 8. 已知康乃馨每枝6元，百合每枝5元．小明购买这两种花18枝恰好用去100元，设他购买x枝康乃馨，y枝百合，可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图，已知是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，．FG为的角平分线，点H在FG的延长线上，，连接HA、HC．①；②；③；④；其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上． 11. 已知点 的坐标为，且点 在轴上，则 的值为 _______． 12. 如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为___________ 13. 如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为_____． 14. 如图，在中，三等分三等分．若，则___________． 15. 正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是________. 三、解答题：本大题共10个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 解下列方程组： （1）； （2）． 17. 如图，点D在的边 上，经过边的中点E，且．求证． 18. 如图，在中，， 于点E，点D是边的中点，． （1）求 的长； （2）求 的长． 19. 如图，已知点和点的坐标分别为和． （1）在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）点的坐标为______，点关于轴的对称点的坐标为______； （3）顺次连接，，，得到，点 在 轴上且满足，请直接写出点 的坐标为______． 20. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 0 2 4 6 8 … 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … （1）在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第___________次数据是不准确的． （2）当记录时间为20分钟时，漏刻水位是多少？ （3）求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ 21. 某校开展了以“追梦新时代”为主题的读书活动，并对本校八年级学生12月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示． 根据以上信息，解答下列问题； （1）求出随机被抽查的学生总数，并补全不完整的条形统计图； （2）填写本次所抽取学生12月份“读书量”的中位数为 　 　本，众数为 　 　本； （3）求本次所抽取学生12月份“读书量”的平均数． 22. 图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿 画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥ 于点Q，若，的面积是60，求 的长． 23. 某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元． （1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解） （2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式． 24. 如图，直线m的函数表达式为，与x轴交于点A，直线n经过点和点，且直线m，n交于点D． （1）求点A，点D的坐标． （2）点P是x轴上的一个动点，求的最小值． （3）点M，N分别是直线m，n上的两点，且不与点A，B重合．当时，直接写出每一组点M和点N的坐标． 25. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在中， ，，，，连接 交于点 ，且． 求证：． 如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系； 如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点作，交的延长线于点 ，将转化为，进而转化为和之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图④，在等边中， 是 上的一点，过点 作于点 ，延长 至点，连接 交于点 ，此时 恰好是 的中点．求证：． 【学以致用】 （3）如图⑤，和都是等腰直角三角形，， ，， 分别交 ，于点 ，，其中 是 的中点，连接，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济外初二月考2024.12 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 若是关于x，y的二元一次方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解、解一元一次方程等知识点．根据二元一次方程的解的定义把x、y的值代入方程，得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：把代入关于x、y的二元一次方程中， 可得：， 解得． 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，到轴的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是点到坐标轴的距离，熟练掌握坐标与图形的基本性质是解题关键． 【详解】解：平面直角坐标系中， ∴到y轴的距离是3， 故选：A． 3. 一个等腰三角形的两边长分别为5和9，则这个三角形的周长是（　　） A. 19 B. 23 C. 19或23 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为5时，②当腰长为6时，解答出即可． 【详解】根据题意， ①当腰长为5时，周长=5+5+9=19； ②当腰长为9时，周长=9+9+5=23． 故其周长为19或23， 故选C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 有理数和数轴上的点一一对应 D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了命题与定理，有理数，实数与数轴，对顶角，平行线的性质，解答本题的关键是熟练掌握相关定义．根据平行线的判定定理可判断选项A；根据“相等的角不一定是对顶角”可判断选项B；根据“实数与数轴是一一对应关系”可判断选项C；根据“平行线的判定定理”可判断选项D． 【详解】解：A、只有两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，此选项为假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，此选项为假命题，不符合题意； C、数轴上有的点表示有理数，有的点表示无理数，故只有实数与数轴上的点一一对应，此选项为假命题，不符合题意； D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，此选项是真命题，符合题意． 故选：D． 5. 已知 的三个内角分别为、、，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定 为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的相关性质与判定：从角的关系，只要由一个角为直角，则为直角三角形；从边的关系，满足最大的边的平方等于较小两个边的平方和，即为直角三角形；据此即可作答． 【详解】解：A、因为， 所以设， 则，故该选项是错误的，符合题意； B、因为，， 所以， 即，故该选项是正确的，不符合题意； C、因为， 所以，即，故该选项是正确的，不符合题意； D、因为， 所以设，即，故该选项是正确的，不符合题意； 故选：A． 6. 下表记录了八年级一班甲、乙、丙、丁四名同学最近3次数学模拟测试成绩（满分：120分）的平均数与方差：根据表中数据，可知成绩好且发挥稳定的同学是（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用方差判断稳定性，解题的关键是理解方差越小越稳定．据此解答即可．也考查了平均数． 【详解】解：∵，丙和丁的平均数最大， ∴成绩好且发挥稳定的同学是丁． 故选：D． 7. 函数与（，）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图象判断出b的符号，然后根据b的符号判断出正比例函数的图象经过的象限，即可做出判断． 【详解】解：A、由一次函数（，）图象可知： ，． ∴函数图象应该经过一、三象限，故A正确； B、由一次函数（，）图象可知： ，． ∴函数图象应该经过二、四象限，故B错误； C、由一次函数（，）图象可知： ，． ∴函数图象应该经过一、三象限，故C错误； D、由一次函数（，）图象可知： ，． ∴函数图象应该经过二、四象限，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数和正比例函数，熟记一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 8. 已知康乃馨每枝6元，百合每枝5元．小明购买这两种花18枝恰好用去100元，设他购买x枝康乃馨，y枝百合，可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用：购买x枝康乃馨，y枝百合，根据“康乃馨每枝6元，百合每枝5元，两种花18枝恰好用去100元”，即可作答． 【详解】解：依题意，得， 故选：A． 9. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】连接AD，由作图知：DE是线段AC的垂直平分线，得到AD=CD=3，∠DAC=∠C=30°，求得∠BAD=90°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接AD， 由作图知：DE是线段AC的垂直平分线， ∴AD=CD=3， ∴∠DAC=∠C， ∵AB=AC，∠A=120°， ∴∠B=∠C=30°，则∠DAC=∠C=30°， ∴∠BAD=120°-∠DAC=90°， ∴BD=2AD=6， 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质． 10. 如图，已知 是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，．FG为的角平分线，点H在FG的延长线上，，连接HA、HC．①；②；③；④；其中说法正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①由∠AFD＝60°可证明△CAE≌△BCD，从而可判断①正确；②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，可证明△ECM≌△GCN（AAS）得CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN，即可证明△AMC≌△HNC（SAS），有∠ACM＝∠HCN，AC＝HC，从而得△ACH是等边三角形，故②正确；③由∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，可得∠FCG＝60°，即可判定③不正确；④根据△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC，△CAE≌△BCD，可判定④正确． 【详解】解：①∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACE＝60°，BC＝AC， ∵∠AFD＝∠CAE+∠ACD＝60°，∠BCD+∠ACD＝∠ACB＝60°， ∴∠BCD＝∠CAE， 在△BCD和△CAE中， ， ∴△BCD≌△CAE（ASA）， ∴BD＝CE，故①正确； ②作CM⊥AE交AE的延长线于M，作CN⊥HF于N，如图： ∵∠EFC＝∠AFD＝60° ∴∠AFC＝120°， ∵FG为△AFC的角平分线， ∴∠CFH＝∠AFH＝60°， ∴∠CFH＝∠CFE＝60°， ∵CM⊥AE，CN⊥HF， ∴CM＝CN， ∵∠CEM＝∠ACE+∠CAE＝60°+∠CAE，∠CGN＝∠AFH+∠CAE＝60°+∠CAE， ∴∠CEM＝∠CGN， 在△ECM和△GCN中 ， ∴△ECM≌△GCN（AAS）， ∴CE＝CG，EM＝GN，∠ECM＝∠GCN， ∴∠MCN＝∠ECG＝60°， 由①知△CAE≌△BCD， ∴AE＝CD， ∵HG＝CD， ∴AE＝HG， ∴AE+EM＝HG+GN，即AM＝HN， 在△AMC和△HNC中， ， ∴△AMC≌△HNC（SAS）， ∴∠ACM＝∠HCN，AC＝HC， ∴∠ACM﹣∠ECM＝∠HCN﹣∠GCN，即∠ACE＝∠HCG＝60°， ∴△ACH是等边三角形， ∴∠AHC＝60°，故②正确； ③由②知∠CFH＝∠AFH＝60°，若FC＝CG，则∠CGF＝60°，从而∠FCG＝60°，这与∠ACB＝60°矛盾，故③不正确； ④∵△ECM≌△GCN，△AMC≌△HNC， ∴S△AMC﹣S△ECM＝S△HNC﹣S△GCN，即S△ACE＝S△CGH， ∵△CAE≌△BCD， ∴S△BCD＝S△ACE＝S△CGH，故④正确， ∴正确的有：①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的性质及判定，全等三角形的性质及判定，涉及三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上． 11. 已知点的坐标为，且点在 轴上，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据 轴上点的纵坐标等于得出关于的方程，求出的值即可． 【详解】解： 点的坐标为，且点在 轴上， ， 解得， 故答案为： ． 12. 如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角，则反射光线与平面镜夹角的度数为___________ 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，由平行线的性质推出，由反射定律得到，因此． 【详解】解：∵入射光线是平行光线， ∴， 由反射定律得：， ∴． 故答案为：． 13. 如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与 轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数 的图象与 轴交于点， ∴当 时，，即时，， ∴关于 的方程的解是． 故答案为：． 14. 如图，在 中，三等分三等分．若，则___________． 【答案】 ##36度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三等分内角与内角和定理，三角形的内角和为； 根据三角形内角和定理和三等分角的定义，求得，再进一步求得的度数同理求出即可得解． 【详解】解：∵三等分， ∴ 又∵三等分， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵三等分， ∴ 又∵三等分， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： ． 15. 正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和 轴上，则点的坐标是________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，利用的性质及正方形的性质可以得到很多等腰直角三角形，再根据全等三角形得出，，，，的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律点的坐标为，再代入即可得出结论． 【详解】直线交 轴于点，则，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，轴 同理可得，，，即 ，， ． 点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共10个小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． （1）将方程组中的第一个方程代入第二个方程消去，解方程可得 的值，再将 的值代入第一个方程，解方程可得的值，由此即可得； （2）将方程组中的第一个方程的两边同乘以3，与第二个方程相加消去，解方程可得 的值，再将 的值代入第一个方程，解方程可得的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：， 将①代入②得：， 解得， 将代入①得：， 所以方程组的解为． 【小问2详解】 解：， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 17. 如图，点D在 的边上，经过边 的中点E，且．求证． 【答案】 证明：∵点E为边 的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，根据题意得，即可证明，有成立，根据平行线的判定即可证明结论． 【详解】略 18. 如图，在 中，， 于点E，点D是边的中点，． （1）求的长； （2）求 的长． 【答案】（1）13 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用、三角形等积关系的应用等知识点，掌握勾股定理及其逆定理成为解题的关键． （1）根据D是边的中点得出，再由勾股定理逆定理证明，最后由勾股定理求出即可； （2）运用等面积法求解即可． 【小问1详解】 解：，且D是边的中点， ， 是直角三角形，且， 在中，． 【小问2详解】 解： ，即， ． 19. 如图，已知点和点的坐标分别为和． （1）在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）点 的坐标为______，点 关于 轴的对称点的坐标为______； （3）顺次连接，， ，得到 ，点在轴上且满足，请直接写出点的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）； （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，关于坐标轴对称的点的坐标． （1）根据题意建立如图所示的平面直角坐标系即可； （2）根据建立的平面直角坐标系以及轴对称的性质即可得到结论； （3）设点的坐标为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：建立的平面直角坐标系如图所示； 【小问2详解】 解：点C的坐标为；点 关于 轴的对称点的坐标为； 故答案为：；； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 由题意得， ∴， 解得：或， ∴点D的坐标为或． 故答案为：或． 20. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位是时间的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表： 数据记录 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 … 0 2 4 6 8 … 2 2.8 3.6 4.0 5.2 … （1）在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第___________次数据是不准确的． （2）当记录时间为20分钟时，漏刻水位是多少？ （3）求与的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？ 【答案】（1）（4） （2）当记录时间为20分钟时，漏刻水位是 （3）即当水位为时，对应时间是 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用； （1）由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加，据此可知是错误的值； （2）由（1）知时间每增加2分钟，h增加，列式计算即可解答； （3）设水位与时间的一次函数关系式为，再用待定系数法求解析式，然后把代入解析式求解即可． 【小问1详解】 解：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加， 当时，对应 ∴第（4）次数据是不准确的； 【小问2详解】 解：由（1）知时间每增加2分钟，h增加， 当时，则， 即当记录时间为20分钟时，漏刻水位是； 【小问3详解】 解：设水位与时间的一次函数关系式为， 把，代入，得， 解得， ∴， 当时，， 解得． 即当水位为时，对应时间是． 21. 某校开展了以“追梦新时代”为主题的读书活动，并对本校八年级学生12月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示． 根据以上信息，解答下列问题； （1）求出随机被抽查的学生总数，并补全不完整的条形统计图； （2）填写本次所抽取学生12月份“读书量”的中位数为 　 　本，众数为 　 　本； （3）求本次所抽取学生12月份“读书量”的平均数． 【答案】（1）60人， 补图如下： （2）3；3； （3）本次所抽取学生12月份“读书量”的平均数为3本． 【解析】 【分析】（1）根据5本的人数和所占的百分比求出总人数，再减去其它的人数，求出读4本的人数，继而补全不完整的条形统计图； （2）根据中位数和众数的定义解答即可，一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数； （3）根据平均数的定义即可得出答案． 【小问1详解】 解：随机被抽查的学生总数为：6÷10%＝60（人）， 读4本的人数为：60﹣3﹣18﹣21﹣6＝12（人）； 【小问2详解】 解：本次所抽取学生12月份“读书量”的中位数为4本，众数为3本； 故答案为：3；3； 【小问3详解】 解：（3+18×2+21×3+12×4+6×5）＝3（本）， 答：本次所抽取学生12月份“读书量”的平均数为3本． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 22. 图1是一个平分角的仪器，其中． （1）如图2，将仪器放置在 上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿 画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥ 于点Q，若， 的面积是60，求 的长． 【答案】（1）是的平分线，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【小问1详解】 解：是的平分线 理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分． 【小问2详解】 解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 23. 某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元． （1）求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解） （2）若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式． 【答案】（1）A，B两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元． （2）利润w（元）与m（件）的函数关系式为： 【解析】 【分析】（1）设A，B两种商品每件进价分别为每件x元，每件y元，则根据购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元，列方程组，再解方程组即可； （2）由总利润等于销售A，B两种商品的利润之和列函数关系式即可． 【小问1详解】 解：设A，B两种商品每件进价分别为每件x元，每件y元，则 解得：， 答：A，B两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元． 【小问2详解】 解：由题意可得： 即总利润w（元）与m（件）的函数关系式为： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，确定相等关系列方程或函数关系是解本题的关键． 24. 如图，直线m的函数表达式为，与x轴交于点A，直线n经过点和点，且直线m，n交于点D． （1）求点A，点D的坐标． （2）点P是x轴上的一个动点，求的最小值． （3）点M，N分别是直线m，n上的两点，且不与点A，B重合．当时，直接写出每一组点M和点N的坐标． 【答案】（1） （2）5 （3）点M和点N的坐标分别为、或、或、或、 【解析】 【分析】（1）在中，令 ，即可得A点的坐标，由待定系数法可求得直线n的解析式，再与联立即可得点D的坐标； （2）如图：作点C关于x轴的对称点E，连接 交x轴于点P，连接，则，结合两点之间线段最短可得此时最小，最小，求出即可解答； （3）先根据两点间距离公式求得、 、，再根据全等三角形性质可得， ，再结合两点间距离公式列方程组求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线m的函数表达式为，与x轴交于点A， 令 ，可得，解得：， ∴， 设直线n的解析式为 ， ∵直线n经过点和点， ∴，解得， ∴直线n的解析式为， 联立两解析式可得：，解得， ∴点D的坐标为． 【小问2详解】 解：如图：作点C关于x轴的对称点E，连接 交x轴于点P，连接， ∴，， ∴，此时最小，最小， ∵点D的坐标为，，， ∴，， ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：∵，， ， ∴， ， ， 设，， 当时， ， ， ∴，， 解得或 ，或 ， ∴点M和点N的坐标分别为、或、或、或、． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数与二元一次方程组、一次函数与几何图形的变换（轴对称最短路径）综合、全等三角形的性质、两点之间距离的计算方法等知识点，掌握数形结合分析思想是解题的关键． 25. 【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图①，在 中， ，，，，连接 交于点，且． 求证：． 如图②，丞丞同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将和之间的数量关系转化为和之间的数量关系； 如图③，霖霖同学从条件的角度出发给出如下解题思路：过点 作，交的延长线于点，将转化为，进而转化为和之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）如图④，在等边 中，是上的一点，过点作于点，延长 至点 ，连接 交于点，此时恰好是 的中点．求证：． 【学以致用】 （3）如图⑤， 和都是等腰直角三角形，， ，，分别交 ，于点， ，其中是 的中点，连接，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）分别根据平行线的性质以及全等三角形的判定与性质即可证明结论； （2）过D作，则，先说明是等边三角形，再结合三线合一的性质可得，再证明得到即可证明结论； （3）过A作交 于G，连接，先证明可得，再证明可得，然后证明 可得，即是直角三角形；由勾股定理可得，再根据题意可得，进而完成解答． 【详解】解：（1）证明：①如图①：选择丞丞同学的解题思路： ∵ ，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 在和 中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； ②选择霖霖同学的解题思路： 如图②：同①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图④：过D作，则， ∵等边 ， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴，即， ∵点是 的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴． （3）如图⑤：过A作交 于G，连接， ∵， ∴， ∵是 的中点， ∴， ∴， ∴， ∵ 和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴，即， ∵，， ∴，即， ∴，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $