广东省湛江市某校2023-2024学年高三上学期第三次月考实验班数学试题

高三数学 注意事项： 1．本试卷共4页，分为第I卷和第II卷共两大题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，总有，则为（ ） A. ，使得 B. ，使得 C. ，总有 D. ，总有 4. 函数在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 设是等比数列的前三项，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为锐角，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 的展开式中各项的二项式系数之和为 A. B. 512 C. D. 1 9. 已知函数在上单调递减，且的图象关于直线对称，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中的酒量”，即输出值是输入值的，则输入的（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与圆相切，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 13. 已知向量的夹角为60°，且满足，，则_____． 14. 将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函的图象，则的最小正周期是______． 15. 设数列的通项公式为，为其前项和，则数列的前9项和__________． 16. 在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的体积是______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在中，. （1）求； （2）若，求的周长. 18. 如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点． （1）证明：平面． （2）求与平面所成角的正弦值． 19. 已知直线与椭圆交于 两点，与直线交于点 （1）证明：与C相切； （2）设线段 的中点为 ，且,求的方程. 20. 已知函数，. （1）求函数的单调区间； （2）证明：. 21. 2018年12月18日，庆祝改革开放40周年大会在北京召开，习近平在会上强调“改革开放40年来，民营企业蓬勃发展，民营经济从小到大，由弱变强，在稳定增长，促进创新，增加就业，改善民生等方面发挥了重要作用，成为推动经济社会发展的重要力量，支持民营企业发展是党中央的一贯方针.这一点，丝毫不会动摇”.在习总书记讲话的鼓舞下，驻马店某民营企业与某跨国生产厂家甲、乙签署了合作协议.现邀请甲、乙两个厂家进场试销10天.两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利80元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元.分别记录其十天的销售件数，得到如下频数表： 甲厂家销售件数频数表 销售件数 38 39 40 41 42 天数 1 2 2 4 1 乙厂家销售件数频数表 销售件数 38 39 40 41 42 天数 2 4 2 1 1 （1）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率； （2）若将频率视作概率，回答以下问题： （ⅰ）记乙厂家的日返利额为（单位：元），求的分布列和数学期望； （ⅱ）某商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由. 【选做题】（本小题10分） ［选修4—4：坐标系与参数方程] 22. 在平面直角坐标系中，曲线C:，直线：，直线：以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出曲线C的参数方程以及直线，的极坐标方程； （2）若直线与曲线C分别交于O、A两点，直线与曲线C交于O、B两点，求△AOB的面积. ［选修45：不等式选讲] 23. 已知函数. （1）求的最小值； （2）若不等式的解集为，且，求的值. 高三数学 注意事项： 1．本试卷共4页，分为第I卷和第II卷共两大题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】C 【11题答案】 【答案】C 【12题答案】 【答案】B 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分） 【13题答案】 【答案】8 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【17题答案】 【答案】（1）；（2）. 【18题答案】 【答案】（1）直三棱柱中，， 以为顶点建立空间坐标系如图， ，， 点，分别为与的中点， 取中点， ，，， 在△中，， 平面，且，平面， 平面，，且，平面， 平面， 为平面的一个法向量， 而，， ， ， 又平面， 平面； （2） 【19题答案】 【答案】（1）证明：由消去整理得， ∵， ∴与相切． （2） 【20题答案】 【答案】(1) 的单调递减区间为，单调递增区间为 (2)证明：的定义域为，要证， 即证.由（1）可知在上递减， 在上递增，所以. 设，，因为， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 而，所以. 【21题答案】 【答案】（1）； （2）（ⅰ）的分布列为 152 156 160 166 172 ； （ⅱ）选择甲厂家.理由如下： 甲厂家日平均销售量为： ， 甲厂家的日平均返利额为：（元）， 由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额为：158.6元； 元， 因此，推荐该商场选择甲厂家长期销售. 【选做题】（本小题10分） ［选修4—4：坐标系与参数方程] 【22题答案】 【答案】（1）：，：.（2） ［选修45：不等式选讲] 【23题答案】 【答案】（1）3（2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $