广东江门市第一中学2027届高三上学期诊断练习（一）数学试卷

按秘密级事项管理★启用前 2027届高三诊断练习（一) 数学 本试卷共19题，共150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔书写 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效：在 草稿纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持答题卡面清洁，不要折叠，不要弄破。不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知=1-i,则z=() A.-1-i B.-1+i C.1-i D:1+i 2.集合M=2,cosπ，N={0,ne},则MUN=( A.{1 B.{0,1 C.{1,-1 D.{-1,0,1 3.在△ABC中，设D点满足：D在AB的延长线上，AD=3BD.记CA=元，CD=元，则CB=( A抗-罚 B.m+子元 c.子玩-元 D.m+元 4.已知直线V2x+y+a=0与⊙C:x2+y-1)2=4相交于A,B两点，且△ABC为等边三 角形，则实数a=( A.-4或2 B.-2或4 C.-1±V3 D.-1±V6 5.已知f(x)是定义在R上且周期为3的偶函数，当3≤x≤4时，f(x)=x,则f(-1)=() A.-1 B.1 C.-4 D.4 6.若将函数f(x)=2sin(2x+p)(Ip<)的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称， 则函数f(x)在[0，]上的最大值为(） A.2 B.V3 C.1 D. 第1页，共4页 7当函数f(x)=x6-x5-m的零点个数最多时，m的取值范围是() A(-篇+四R(-0)C(-器+四(-招0) 8.圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形，过抛物线焦点 F作抛物线的弦，与抛物线交于A,B两点，分别过A,B两点作抛物线的切线l1,L2相交于点P, 那么阿基米德三角形PAB满足以下特性：①点P必在抛物线的准线上；②.PAB为直角三角形， 且∠APB为直角；③PF⊥AB,已知P为抛物线y2=x的准线上一点，则阿基米德三角形PAB 面积的最小值为() A月 B. C.2 D.1 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知ccosB+bcosC=2c,且sin2B=sinAsinC, 则( A.a,b,c成等比数列 B.△ABC为钝角三角形 C.A,B,C成等差数列 D.若c=2,则S△4Bc=V7 I0.已知平行六面体ABCD一A1B1C1D1的所有棱长都为1，顶点A1在底面ABCD上的射影为O, 若∠A1AB=∠A1AD=60°，∠BAD=90°，则() A.BD1=3 B.A1A与BD1所成角为60° C.O是底面ABCD的中心 D.A1A与平面ABCD所成角为45° 11.若f(x)图象上存在两点A,B关于原点对称，则点对[A,B]称为函数f(x)的“友情点对”（点 (x3 对[A,B]与[B,A)视为同一个“友情点对”)若f(x)= x之0恰有两个“友情点对”，则实数 (ax2,x<0 a的值可以是() A0 B.- c- 0.一202i 1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知等差数列[an}的各项均为正数，若a1=3,a好=2(a3十as+6),则a3= 18,已知椭四C1:草+若=1(a>b>0)的左，右焦点为F1,P2,P2是抛物线C2:=2pxp>0) y2 的焦点，记C1与C2的一个交点为P,若直线PF1与C2只有一个公共点，则C1的离心率 第2页，共4页 14.有5个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5，从中有放回地随机取3次，1每次取1个 球记X为这5个球中至少被取出1次的球的个数，则X的数学期望E(幻= 、 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知公比为q的等比数列[an]的前n项和为Sn,且S2=3. (1)若a3=4a1,求a1;(2)若q2>4,求S3的取值范围。 16.(本小题15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是侧棱CC1的中点，AB=AA1=4,AC=BC=√5， 0是底边AB的中点. (1)证明：0C/平面A1BD: (2)求二面角B-A1D一C1的正弦值. 17.(本小题满分15分) 某公司计划对A产品进行定价，前期针对A产品的售价以及相应的市场份额进行调研，所得数 据如下表(I)所示.根据前期的销售情况，公司征求了所有员工对产品定价的看法，所得数据 如表（Ⅱ）所示： 表(I) A产品售价x(千元) 223140 A产品所占市场份额y 0.50.30.08 表（Ⅱ） 认为定价应该超过3000元认为定价不能超过3000元 40岁以上员工（含40岁） 100 50 40岁以下员工 150 150 (1)根据表(I)数据建立A产品所占市场份额y与定价x之间的回归直线方程（回归直线方程的斜 率和截距均保留两位有效数字)： (2)根据表（Ⅱ）中的数据，依据a=0.001的独立性检验，能否认为产品定价的高低与员工的年 龄具有相关性？ 第3页，共4页 (3)若按照年龄进行分层抽样，从表(I1)中认为定价应该超过3000元的员工中随机抽取10人， 再从这10人中随机抽取3人，记40岁以下员工的人数为X,求X的分布列以及数学期望. 参考公式：回归直线方程)=bx+Q中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 6=2,a-6,=m时on西 n(ad-bc)2 参考数据： a0.1000.0500.0100.001 xa2.706$.8416.63510.828 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R,f(x)的图象为一条连续不断的曲线，且 f)>0与f'(,>0在R上恒成立，设定义域为R的函数g()=f()+ (1)求g'(x);(用含f(x)和f'(x)的代数式表示) (2)若g′(x)≥0. (1)证明：f(x)>1;(i)判断方程g(x)+x=0实根的个数，并说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知点M到F(2,0)的距离与到定直线：x=的距离之比为2，记M的轨迹为曲线「， (1)求r的方程： (2)记T的左、右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,点Pn和Q作如下构造：在第二象限内任取T 上一点P1,过P1的直线P1F1交r于另一点Q1,过Q1的直线Q1F2交于另一点P2,以此类推，过 Pn的直线PnF1交T于另一点Qn,过Qn的直线QnF2交T于另一点Pn+1· .（i)记直线APn的斜率为kn,证明：%1k>号1： (i)设点A关于直线PnQm+1的对称点为An,探究：是否存在定圆C,使得点An始终在C上？若存 在，求圆C的方程，若不存在，请说明理由， 第4页，共4页 2027届高三诊断练习（一）数学评分标准 1.【答案】D【解析】因为=1-1，所以z=(1-01=1+i. 2.【答案】D【解析】解：M=2,cosπ=(1，-1，N=0,lne=0,1,则MUN=(-1,0,1} 3【答案】B【解析】如图所示：因为AD=3BD,所以AB=子AD, 则c丽=+丽=cA+号而=+号西-c动=网+号C而=成+式 4.【答案】A【解析】解：由直线V2x+y+a=0与⊙C:x2+0-1)2=4相 交于A、B两点， 且△ABC为等边三角形，C到直线AB的距离为号×2=V3,号=V3。 a=2或-4， 5.【答案】D【解析】解：根据题意，f(x)是定义在R上且周期为3的偶函数， 则f(-1)=f(1)=f(4),当3≤x≤4时，f(x)=x,则f(4)=4,则有f( 1)=4. 6.【答案】A【解析】解：将函数f)=2sin(2x+p)的图象向左平移个单位 后 到函数y=2sn(2x+号+)的图象关于y轴对称，“胃+p=kr+受p=km+爱k∈z, ll<受ak=0,0=吾f树=2sim2x+g)."xeo,,a2x+ge[层，2g, 则当2x+名=时，函数f)在[0,1上的最大值为2， 7.【答案】A【解析】解：令f()=0,则x5-x-m=0,则f(x)的零点个数为x-x-m=0根的个 数， 即为g(x)=x5-x5与y=m的交点个数，若f(x)的零点个数最多，则g(x)=x5-x5与y=m的交点最多， 令g'倒=X4(6x-5),令9)=0，则x=0或x=名 令g'<0,则xe(-∞，0)(0，)，令g'四>0，则xE(官+o, 得到g)在(-∞，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增，可得g()的极小值为g(停) 3125 46656 当x-0时，f+0,当x+时，f树→+0，所以m∈(-器器+四)， 8.【答案】B【解折】解：由抛物线2=x的方程可得F(好0)，准线方程为x=一云 设A0y),B02,y2)0y1>0,y2<0),P(-yp),设直线AB方程为x=my+ 联立直线与抛物线方 得y2-my-是=0，所以y2=-京h+h=m,且4=m2+1>0, PF1AB,÷丽.丽=0，即（经，-yp)0--y)=0,yp=兴=受 2 IPFI=1tm2 1艺，148到=+x名+号=m01+y2)+号+号=m2+1. 所以SAPAB=PF1AB=m2+1Vm2+1≥京则当m=0时有最小值解 9.【答案】ABD【解析】解：对于A,sin2B=sinAsinC,由正弦定理可得b2=ac,且a,b,c>0, 则a,b,c成等比数列，故A正确； 对于B,将ccosB+bcosC=2c,利用正弦定理化简得：sinCcosB+sinBcosC=2sinC, 即sin(C+B)=2sinC,·sinA=2sinC,利用正弦定理化简得：2c=a, b2=ac=2c2,÷b=.√2c,·a:b:c=2c:V2c:c=2:V2:1,所以A角最大， 由c0sA=+22=+C-4<0得A角为钝角，故B正确： 2cb 2cXv2c 对于C,若A,B,C成等差数列，则2B=A+C,且A+B+C=π，可得 B=3 则由余弦定理可得c0sB=+=2-是+安故C错误： 2ac 2c×2c 对于D,若c=2,可得b=2VZ,a=4,则b>c,由c0sB=是 B∈(0，， 第1页共4页 可得sin=冬所以SABc=acsinB=V7,故D.正确。 10、【答案】ACD【解析】解：由题知六面体上下底面A1B1C1D1、ABCD为正方形， 连接A1B、A1D、BD,又∠A1AB=∠A1AD=60°且棱长为1， ∴△BAA1△DAA1为等边三角形，A1D=A1B=AD=AB=1, 又：LBAD=90,则BD=√Z,A1D2+A1B2=BD2,则LDA1B=90°，△ABD、△DA1B为等腰直角 三角形， 若AC,BD交于B,连接A1E,则AB=A1E〧号即AE2+A1E2=A14=1,AB⊥A1E, 又：AE⊥BD,A1EnBD=E,A1E、BDC面DA1B, AE⊥面DA:B,同理可得A1E⊥平面ABCD,·A1的投影为E,即0 与E点重合，故O是底面ABCD的中心，且A1A与平面ABCD所成角为 ∠A1AE=45°，故C、D正确； 'AE⊥BD,A1E⊥BD,AEnA1E=E,AE、A1E.c面AA1E,即 BD⊥面AA1E,又AA1c面AA1E, BD1AA1,连接B1D1,则B1D1/BD,故B1D1⊥AA1,又：B1B/AA1,且B1D1=BD=√2， B1D11BB1,在直角△B1D1B中BD1=B1B2+B1D?=√3，.显然A1A与BD1所成角为LD1BB1不为 60°，故A正确，B错误。 11.【答案】BD解：若使f有两个友情点对，则a<0,且y=与y=-ax2在x>0时有两个交点， 则哈=-a以，-a=言，即y=-与y=票在x>0时有两个交点，对于y=总，得y'= 当xE(0,1)时，y=。单调递增，当x∈(1，+∞)时，y=三单调递减， “x=1,ymax=是又x→0时，y0,x→+∞时，y→0，“f)的大致图象为： 要使y=-a与y=在x>0时有两个交点，则-ae(0,), 即ae(-总，)，结合选项可知，实数a的值可以是cD. 12.【答案】5【解析】解：由a经=2(a3+a5+6)=4a4+12,得a好-4a4-12=(a4-6)(a4+2)=0, 因为a4>0,所以a4=6,所以a1+3d=6,可得d=1,所以ag=a1+2d=5 13.【答案】V2-1【解折】解：椭圆G1:爷+茶=1(0>b>0)与抛物线c2:Y=2px0>0的-个交 点为P,设P(o,o,则%=2p0,对2=2px求导得y=号所以k=号 又=所以。=号即%=p6+g,所以(+)=2px0,所以0=c,所以PF21x抽。 在C2中，PF2l=p=2c,在C中，PPl=所以g=2c,所以a2-c2=2ac, 所以e2+2e-1=0,解得e=V2-1. 14.【答案】多【解析】法1：5个球中至少被取出1次的球的个数X的取值分别为1,2,3.则PX=1)- 号云0等-号0ag-0eu中a 25 所以，E00=1x是+2x 1221261 +3× ,25 25 2525 法2：解：对于每个标号(1=1,2,3,4,5)，记为X(如：X1=1表示三次抽取中至少 出现过一次标号；X,=0表示三次抽取中从未出现标号)，则X=X1+X2+ X3+X4十X5,由于每个小球都相同，则每个X的期望相同，且X服从两点分布， 则E(X)=P(化=1)=1一P(,=0),每次未抽到的概率为号三次均未抽到的概率为 PW,=0)=(,ECK)=1-(3=1-器=器则EC网=E0X)+B(x)+EXg)+E)+ E9)=5×品-器 61 15.解：(1)：a3=a1q2,由a3=4a1,得a192=4a1,又a1≠0，÷g2=4,即q=2或q=-2.…3分 由S2=3,得a1(1+q)=3,÷a1(1+2)=3,或a1(1-2)=3.a1=1或a1=-3. .6分 第2页共4页 (2)由S2=3,得a1(1+q)=3.由q2>4,得q>2,或q<-2. .7分 又5=a41+q+9的=时2=3(q+）=3(+1+动)-3. .8分 1+9 当q>2时，y=9+1+单调递增，所以5>3×+1+2）-3=7： .10分 当q<-2时，y=q+1+本单调递增，所以5<3×(-2+1+=中)-3=-9， ….12分 综上，S3的取值范围是(7，+o)U(-∞，一9). .13分 16.解：(1)因为AB=4,AC=BC=√5，所以C0⊥AB,C0=1. 在直三楼柱ABC-A1B1C1中，有底面ABC⊥侧面AA1B1B, 因为C0C平面ABC,平面ABCn平面AA1B1B=AB,所以C0⊥平面AA1B1B, .2分 在平面AA1B1B内过0点作直线OE⊥AB,以OA,OE,OC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空 间直角坐标系.·则A(2,0,0),B(-2,0,0),C(0,0,1),A1(2,4,0),D(0,2,1). ..4分 所以A1D=（-2,-2,1),BD=(2,2,1), ZA 设元=(x1,y1,Z1)为平面A1BD的一个法向量， 。02+260 (m.BD=0. 令x1=1,则y1=-1,21=0,则 m=(1,-1,0), .6分 x 又0元=(0,0,1).则m.0C=1×0+(-1)×0+0×1=0,所以m10C 又0C丈平面A1BD,所以0C/平面A1BD, ...7分 (2)由(1)可知，A1C1=AC=(-2,0,1),A1D=(-2,-2,1). .9分 设元=(x2,y2,z2)是平面A1DC1的一个法向量， 则49022222=0令-1，h=0,a=z,则m=02) .11分 由(1)可知，平面A1BD的一个法向量是元=(1，-1,0)， ..12分 所以，0s佩动=清=平=罗 ..14分 所以，二面角B-41D-C1的正弦值是√1-os2m万=1-（细2=3 10 ...15分 17、解：(1)由题意可得：元=22+31+0=31，y=05+03+00-08, 3 3 .1分 所以b三1-2=22×0.5+31×0.3+40×0.08-3×31×82三237四≈-0.023， 222+312+402-3×312 162 ..3分 (解-）a=y-bx≈0.293-（-0.023)×31≈1.01，所以y=-0.02x+1.01, 即回归直线方程为y=-0.02x+1.01; .5分 懈=a=y-x=8-(-2)×31=器≈102，所以y=-0.02x+102, 即回归直线方程为y=-0.02x+1.02; (2)要假设H。:产品定价的高低与员工的年龄无关，则： .6分 n(ad-bc)2 a+b22a+9b+可=4500n5000002=11.25>10.8 150×300×250×200 .9分 所以，依据=0.001的独立性检验，我们推断H,不成立，即可以认为产品定价的高低与员工的年龄有 关，该推断犯错误的概率不超过0.001， ..10分 (③)从表四中认为定价应该超过300元的员工中随机抽取10人，40岁以下员工的人数为150×品=6 人，则40岁以上员工的人数为10一6=4人，X的可能取值为0,1,2,3， .11分 p=0=景-动PW=)= CaC Cac -品PK=)-品PW=)=是-言 ..14分 X的分布列为： 第3页共4页 1 2 3 1 3 30 10 1-2 1-6 B0=0×0+1×0+2×2+3×言-号 9 ..15分 18解，⑩”g6=+高g'='6倒-瑞 .2分 ②0(a)得g'因=f'-瑞=L答-L=®拉 ..4分 f2(x) f2(x) g'(x)20,又f'()>0,fx)>0,fx)+1>0,÷fx)-1≥0，即f(x)≥1. ..6分 若存在x0∈R,使f(xo)=1,由于f′(x)>0在R上恒成立， ∴f(x)在R上单调递增，取x0一1<x0,则f(x-1)<f(xo)=1, 这与f(x)≥1矛盾，故f(x)>1. .9分 ()令F(x)=g(x)+x对任意x1<x2,有F(x2)-F(x1)=g(x2)-g(x1)+x2-x1>0, ..11分 ·F(x)在R上单调递增，因此方程F()=0至多有一个实根. ...12分 由题条件可知曲线y=F(x)的图象为一条连续不断的递增曲线 又F(0)=g(0)>.0,取x0=一g(0),则xo<0,从而g(xo)<g(0), ·F(xo)=g(xo)+x0=g(xo)-g(0)<0. ..15分 由零点存在性定理，得F(x)在区间(xo,0)内至少有一个零点. 又F(x)在R上单调递增，故方程g(x)+x=0有且仅有一个实根， ..17分 19.解：(1)设M(x,y),则点M到F(2,0)的距离为MF1=√(x-2)2+, .1分 点M到定直线l:x=的距离为x-,由于点M到F(2,0)的距离与到定直线L:x=的距离之比为2， 所以6-22+ =2，…3分：两边平方得(x-22+2=4x-,化简得x2-号=1 .4分 x (2)(i)证明：设直线：x=my+t, 联限2+3，消得gm2-02+6mt+3-3- 设交点D州，6小则+%=一写器M的=装号 3t2-3 ..7分 yiy2 3(1-t) 点A(-10.所以kAD kA5=G+0+西=0m4t2t西= ..8分 当直线过1(-2,0)时，t=-2,代入得kA,k0,==-9: ..9分 -2+1 当直线过F22,0)时，t=2,代入得k4,1kA0.=3==-1: ..10分 2+1 两式相除得心出=尝=号所以k,]是首项为k1,公比为号的等比数列， .11分 kAPn kn 所以其前项和为1k=4-塑-ka1-(为， 1号 因为k4<0,1-()”<1,所以gk1-()州>k1,即1k>k1得证. .13分 ()结论：存在定圆C,方程为+普2+y2=高，理由如下： 设直线P0a+1:x=rny+n由(0得ka,·kA01=3, Sn+1 ..14分 叉nket=-9,0方所以ua三二1. ..15分 即31-=-81，解得sn=- sn+1 普即直线P,0+1恒过定(-若0.…16 ，学造，消去整理得++ ,y14 设A化，》，由对称性质得之·上=-1 2 x+1 rn 1 169 .17分 第4页共4页