精品解析：吉林长春市第108中学2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试题

108中学九年级第一次月考·数学试题 一、单选题（每小题3分，共计24分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； 故选C． 2. 若，则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可设，，代入原式，计算化简即可． 【详解】∵， ∴设，， 将，，代入中得： ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，运用分式基本性质进行正确运算是解题的关键． 3. 用配方法解方程，配方后所得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：A． 4. 如图，在△ABC中，，AD＝4，BD＝2，AE＝3，则AC的长是（　　） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证明再利用相似三角形的对应边成比例列方程即可. 【详解】解： ， AD＝4，BD＝2，AE＝3， 经检验符合题意； 故选D 【点睛】本题考查的 相似三角形的判定与性质，掌握“相似三角形的对应边成比例”是解本题的关键. 5. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件.如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ） A. x(x+1)=132 B. x(x-1)=132 C. x(x+1)=132× D. x(x-1)=132×2 【答案】B 【解析】 【详解】全组有x名同学，则每名同学所赠的标本为：（x-1）件， 那么x名同学共赠：x（x-1）件， 所以，x（x-1）=132， 故选B． 6. 如图，在中，中线与中线相交于点G，连结．下列结论成立的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中线性质，以及中位线的判定与性质，关键是掌握相似三角形的性质．由分别为的中点，分别是、的中点，得到是的中位线，推出，，进而得到，由相似三角形的性质即可判断选项A、B、C，再利用三角形中线性质，即可判断D项． 【详解】解：与是的中线， ，分别是、的中点， ，， ， ， 即， 故选项A错误，不符合题意； ， ， 故选项B错误，不符合题意； ， ， ， 故选项C正确，符合题意； 是的中线， ， 是的中线， 是的中点， 是的中线， ， ， ， 故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 7. 已知某商场2022年第四季度的某商品总销售量为9万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据该商场10月份的销售量及11，12月份销售量的平均增长率，可得出该商场11月某商品的销量为万件，12月某商品的销量为万件，结合该店2022年第四季度的某商品总销售量为9万件，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵该商场10月某商品的销量为3万件，且11，12月份销售量的平均增长率为x， ∴该商场11月某商品的销量为万件，12月某商品的销量为万件， 又∵该商场2022年第四季度的某商品总销售量为9万件， ∴可列方程为， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点O为位似中心，且位似比为，点A、B、E从左至右依次在x轴正半轴上，点C、D、F、G在x轴上方．若，则点F的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，由题意得：，，，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点F的坐标是， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共计18分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，在实数范围内，负数是没有平方根的，所以二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零，在实数范围内有意义，即，求解即可. 【详解】解：∵在实数范围内，负数是没有平方根的， ∴在实数范围内有意义，即， 解得 故答案为：. 10. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，解一元一次方程， 根据同类二次根式的定义可得出， 解方程即可得出a的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：4． 11. 如图，在中，，点D是边的中点，若，，则________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，掌握这两个知识点是关键．由点D为直角三角形斜边中点，得；由勾股定理即可求得． 【详解】解：，点D是边的中点，， ． ，， ． 故答案为：8． 12. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为和， ∴，， ∴， ∴ ， ， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，是高，矩形的一边在边上，另两个顶点M、N分别在边上，与相交于点E．若，则_________ ．    【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，三角形的高，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 通过设的长度为未知数，利用矩形性质得到与平行，从而证明与相似，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． ∵是高，， ∴是的高，，则． ∵， ∴，即． 解． 故答案为：． 14. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】①求出方程的根，再判断是否为“倍根方程”； ②根据“倍根方程”和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m，n之间的关系； ③当满足时，有，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，讲而判断是否为“倍根方程”； ④用求根公式求出两个根，当或时，进一步化简，得出关系式，进行判断即可． 【详解】①解方程，得， ， 方程不是“倍根方程”．故①不正确； ②是“倍根方程”，且， 因此或． 当时，， 当时，， ，故②正确； ③， ， ， ， 因此是“倍根方程”，故③正确； ④方程的根为， 若，则， 即， ， ， ， ， ， 若，则， ， ， ， ， ．故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了解一元二次方程以及一元二次方程的求根公式，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算、解方程 （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 或， ，． 16. 已知∶如图，若，求． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握该定理并正确应用． 利用平行线分线段成比例定理，找出对应线段的比例关系，进而求解的长度． 【详解】解：， ，即， ． 17. 校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？ 【答案】2m 【解析】 【分析】设道路的宽为xm，将4块草地平移为一个长方形，长为（32－x）m，宽为（20－x）m．根据长方形面积公式即可求出道路的宽． 【详解】解：设道路的宽为xm， （32－x）（20－x）=540， 整理，得x2－52x+100=0， ∴（x－50）（x－2）=0， ∴x1=2，x2=50（不合题意，舍去）， 小道的宽应是2m． 故答案为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，把4块试验田平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键． 18. 如图，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片的距离为米，胶片的高为米，若需要投影后的图象高米，则投影机光源离屏幕大约为多少米？ 【答案】5米 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．过点作于点，交于点，则可得，米，再证出，利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， 由题意得：，米，米， ∴， ∵点为光源，与胶片的距离为米， ∴米， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 答：投影机光源离屏幕大约为5米． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点D，连结，使得； （2）在图②中的边上确定一点E，连结，使得； （3）在图③中的边上确定一点M，边上确定一点N，连结，使得． 【答案】（1） 如图①，点D即为所求． （2） 如图②，点E即为所求． （3） 如图③，点M，N即为所求． 【解析】 【分析】（1）若，则，即，取格点P，Q，使，连接，交于点D，连接BD即可． （2）若，则，取格点F，G，使，连接，交于点E，连接即可． （3）若，则，分别取，的中点M，N，连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，三角形中位线的性质，学会利用数形结合思想解决问题是解答本题的关键． 20. 如图，等边的边长为4，点在同一直线上，． （1）求证：； （2）直接写出的长为_________． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得，从而得到，再证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵等边的边长为4， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的的值．并求此时方程的根． 【答案】（1）当时，方程有两个相等的实数根；当，且时，方程有两个不相等的实数根 （2）写出一组满足条件的的值为，此时方程的根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． （1）先根据一元二次方程的定义可得，再求出一元二次方程根的判别式为，由此即可得； （2）先根据一元二次方程的定义可得，再求出一元二次方程根的判别式为，则可得一组满足条件的的值，然后代入解方程即可得． 【小问1详解】 解：由一元二次方程的定义可知，， ∵， ∴关于的一元二次方程根的判别式 ， 当时，这个方程根的判别式，方程有两个相等的实数根； 当，且时，这个方程根的判别式，方程有两个不相等的实数根； 综上，当时，方程有两个相等的实数根；当，且时，方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 解：由一元二次方程的定义可知，， 关于的一元二次方程根的判别式， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴写出一组满足条件的的值为， 此时方程为，整理得：， 解得． 22. （1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】 （1）证明： ∴， ∴ ∴ ∴； （2）3；（3）4或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，把握“一线三等角”模型是解题的关键． （1）根据同角的余角相等得到，再由，即可证明相似； （2）证明，得到，代入数据即可求解； （3）同理可证明，然后分三种情况讨论，利用全等三角形和相似三角形的的判定与性质即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得： ； （3）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴不成立； 当时，， 则， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：是等腰三角形时，的长为4或． 23. 阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，当为何值时，围成的生物园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）9；（2）当时，代数式有最小值，最小值为； （3）当时，围成的生物园面积最大，最大面积为50平方米 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征判断即可； （2）仿照阅读材料中的方法，利用完全平方公式配方求出代数式的最值，以及x的值即可； （3）根据垂直于墙的长为x米，表示出平行于墙的长，进而表示出生物园的面积，利用完全平方公式配方后确定出最大面积即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， 故答案为：9； （2） ， 当时，代数式有最小值，最小值为； （3）设生物园的面积为，则 ， 当，即时，S取得最大值，最大值为50平方米． 24. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、Q同时停止运动，连结，设点P的运动时间为t秒（）． （1）①的长为________； ②线段的长为________；（用含的代数式表示） （2）当点P与点B重合时，求t的值； （3）当点P在上运动时，求与一边垂直时t的值； （4）当将分成两部分图形的面积比为时，直接写出t的值． 【答案】（1）①10；② （2）2 （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）①利用勾股定理求解即可；②先求得，进而可求解； （2）直接列方程求解即可； （3）分、、三种情况，利用相似三角形的判定与性质分别求解即可； （4）分点P在上，点P在上两种情况，利用相似三角形的判定与性质以及三角形的面积公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：①∵在中，，，， ∴， 故答案为：10． ②由题意，，∴， ∵，， ∴， 故答案为： 【小问2详解】 解：当点P与点B重合时，，则， ∴， 故t的值为2； 【小问3详解】 解：根据题意，当点P在上运动时，， 可分三种情况： 当时，如图1， 则，又， ∴， ∴，则， 解得； 当时，如图2， 则，又， ∴， ∴，则， 解得； 当时，∵，∴这种情况不成立， 综上，满足条件的t值为或； 【小问4详解】 解：当点P在上时，，如图3，过点P作于D， 则，又， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵将分成两部分图形的面积比为时，， ∴或， 当时，则， 解得，（舍去）； 当时，则， ∵， ∴此方程无解； 当点P在上时，，如图4， ∵，， ， 当时，则， 解得，（舍去）； 当时，则， ∵， ∴此方程无解， 综上，满足条件的t值为或 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元一次方程、解一元二次方程、三角形的面积公式等知识，利用数形结合与分类讨论思想求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 108中学九年级第一次月考·数学试题 一、单选题（每小题3分，共计24分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则( ) A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，配方后所得方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在△ABC中，，AD＝4，BD＝2，AE＝3，则AC的长是（　　） A. B. 6 C. D. 5. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件.如果全组共有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ） A. x(x+1)=132 B. x(x-1)=132 C. x(x+1)=132× D. x(x-1)=132×2 6. 如图，在中，中线与中线相交于点G，连结．下列结论成立的是（   ） A. B. C. D. 7. 已知某商场2022年第四季度的某商品总销售量为9万件，其中10月的销量为3万件，设11，12月份的平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，原点O为位似中心，且位似比为，点A、B、E从左至右依次在x轴正半轴上，点C、D、F、G在x轴上方．若，则点F的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计18分） 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 10. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 11. 如图，在中，，点D是边的中点，若，，则________． 12. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为______． 13. 如图，在中，是高，矩形的一边在边上，另两个顶点M、N分别在边上，与相交于点E．若，则_________ ．    14. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； ④若方程是“倍根方程”，则必有． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算、解方程 （1）计算： （2）解方程： 16. 已知∶如图，若，求． 17. 校生物小组有一块长32m，宽20m的矩形实验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横个开辟一条等宽的小道，要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少米？ 18. 如图，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片的距离为米，胶片的高为米，若需要投影后的图象高米，则投影机光源离屏幕大约为多少米？ 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹． （1）在图①中的边上确定一点D，连结，使得； （2）在图②中的边上确定一点E，连结，使得； （3）在图③中的边上确定一点M，边上确定一点N，连结，使得． 20. 如图，等边的边长为4，点在同一直线上，． （1）求证：； （2）直接写出的长为_________． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）当时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的的值．并求此时方程的根． 22. （1）【感知】如图①，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B合），．证明：． （2）【探究】如图②，在四边形中，点P在边上（点P不与点A、B重合），．若，求的长． （3）【拓展】如图③，在中，，点P在边上（点P不与点A、B重合），连结，作，与边交于点E，当是等腰三角形时，直接写出的长． 23. 阅读与思考：我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最小值． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：__________； （2）求当取何值时，代数式有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？ 【知识迁移】 （3）如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙（墙足够长），设垂直于墙的一边长为米，当为何值时，围成的生物园的面积最大？最大面积是多少？ 24. 如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度向点A运动，点P到达点C时，点P、Q同时停止运动，连结，设点P的运动时间为t秒（）． （1）①的长为________； ②线段的长为________；（用含的代数式表示） （2）当点P与点B重合时，求t的值； （3）当点P在上运动时，求与一边垂直时t的值； （4）当将分成两部分图形的面积比为时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $