北京市第十三中学分校2026-2027学年度 九年级上学期 10月验收 数学试卷

2026-2027学年度北京市第十三中学分校 第一学期初三10月验收　数学试卷 考 生 须 知 1．本试卷分为第I卷和第II卷，第I卷共2页，第II卷共6页． 2．本试卷满分100分，考试时间120分钟． 3．在试卷（包括第I卷和第II卷）密封线内准确填写学校、班级、姓名、学号． 4．考试结束，将试卷及答题纸一并交回监考老师． 一、选择题（共12小题，每小题2分） 1．下列图标中是中心对称图形的是 A． B． C． D． 2．已知是关于的方程的一个根，则的值为 A．5 B． C．1 D． 3．抛物线的顶点坐标为 A． B． C． D． 4．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（） A． B．2 C． D．不存在 5．关于二次函数的图象，下列结论正确的是 A．其图象开口向下 B．其图象的对称轴是直线 C．当时，随的增大而减小 D．其最小值为1 6．如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，，则的度数是 A． B． C． D． 7．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是 A． B． C． D． 8．分段函数是一种在不同的“x范围”里，对应不同函数表达式的函数．分段函数的函数图象如图所示．，分别为对应二次函数图象的顶点，则下列说法中正确的是 A．随的增大而增大 B．不存在一次函数的图象与此分段函数的图象有两个交点 C．点的坐标为，分段函数最大值为7 D．不等式的解集为或 二、填空题（共8小题，每小题2分） 9．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上；②与轴的交点坐标为．此二次函数的解析式可以是___________． 10．把抛物线向右平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为___________． 11．如图是二次函数的图象的一部分，该图象在轴右侧与轴的交点坐标是___________． 12．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________． 13．探索一元二次方程的一个正数解的过程如表： 0 1 2 3 4 5 13 23 可以看出方程的一个正数解应界于整数和整数之间，的值为___________． 14．我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为95.5万辆，2024年7月新能源汽车销量约为99.1万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为，则满足的方程是___________． 15．如图，将含角的直角三角尺绕点顺时针旋转后得到，连接．若，则的面积为___________． 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，其中，抛物线经过点和，以下四个结论： ①； ②； ③关于的一元二次方程无实根； ④点，在抛物线上且在对称轴的同侧，当时，总有时，则． 其中正确结论的序号是___________． 三、解答题（本题共11小题，共68分） 17．用适当的方法解下列方程 （1） （2） 18．如图，的顶点均在网格上的格点上，且，将绕点C顺时针旋转，得到． （1）画出图形，写出点、的坐标； （2）连接，则___________． 19．已知二次函数． （1）将解析式化为的形式为______________________； （2）画出函数的图象； （3）该图象可以由抛物线向______平移______单位，向______平移______单位得到； （4）当____________时，随的增大而增大； （5）当____________时，； （6）当____________时，取得最值____________，为____________； （7）当时，的取值范围是____________． 20．已知关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若该方程的两个实数根，满足，求k的值． 21．如图，在中，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点恰好落在边上，延长交边于点． （1）证明：； （2）若，，求的长． 22．如图，利用长20米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，总共用去篱笆36米，为了使这个长方形的的面积为96平方米，求边的长． 23．2026美加墨世界杯点燃了全球足球热情，在比赛中，赛场使用SAOT半自动识别系统，通过高速摄像头与足球内置传感器，采集足球在空中飞行的位置数据．如图为某一时刻系统监测到画面的示意图，足球的飞行轨迹可近似看作一条抛物线，攻球员位于点，守门员位于点，直线与球门线交于点，已知，． 足球离地高度与水平距离（水平距离=水平速度×时间）的数据如下表： … 10 12 14 16 18 … … 4.5 4.8 4.9 4.8 4.5 … （1）求与的函数表达式； （2）已知守门员的最大防守高度为．当守门员位于足球正下方时且足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． ①若守门员选择原地接球，能否防守成功？请通过计算说明理由； ②通过系统监测，足球飞行的水平速度为．若守门员在攻球员射门瞬间就作出面对足球后退的防守反应，请计算守门员成功防守的最小后退速度． 24．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形． 、、是和的边长，易知．这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： （1）__________（填“是”或“不是”）“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； （3）若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是．求的面积． 25．已知抛物线经过点，． （1）求此抛物线的解析式； （2）已知点在抛物线上，横坐标为，点与点不重合．将抛物线上，两点之间的部分（包括端点）记作图象，过点作轴的垂线，若图象的最高点与最低点分别在直线的上方和下方，求的取值范围． 26．如图，在中，，，以为斜边在上方作等腰直角．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）依题意补全图形，并证明：； （2）点，分别是，的中点，连接．猜想线段，，满足的数量关系，并证明． 27．在平面直角坐标系中，对于点和直线，给出如下定义：作点关于直线的对称点，再作点关于直线的对称点，则称点为点与直线，的双称点． 已知点的坐标为，过点，过点且与轴平行．点与轴，的双称点为点，点与轴，的双称点为点． （1）若，则__________，__________． （2）若点为在第四象限内任意一个点，则（1）中的结论是否仍然成立？ 若不成立，请说明理由；若成立，请仅就图2的情形加以证明． （3）若点为，点在第四象限内，且，请你直接写出线段的长，使得直线与或平行． 学科网（北京）股份有限公司 $