精品解析：北京市清华大学附属中学2026－2027学年九年级上学期10月练习数学（一）

初三第一学期十月练习 数学（一） 2026.10 一、选择题（本题共24分，每题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. “二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．下列图案分别代表“立 春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形及中心对称图形的定义，即可判断答案． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 故选A． 2. 如果将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规则：上加下减，左加右减，即可得出结论． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是， 故选：B． 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 4. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为( ) A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆周角定理，得＝90°，由勾股定理得BC长度． 【详解】∵， ∴ ∵OB=OC=2 ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，熟练使用以上知识点是解题的关键． 5. 从正方形的铁皮上，截去宽的一条长方形，余下的面积是，则原来的正方形铁皮的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设原来的正方形铁皮的边长为，则截去宽的一条长方形的长为，根据长方形面积公式列方程求出正方形的边长，再用正方形面积公式求解． 【详解】解：原来的正方形铁皮的边长为，则截去宽的一条长方形的长为，根据题意，得 ， 解得：，(不符合题意，舍去)， ∴原来的正方形铁皮的面积， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找等量关系，列出方程是解是的关键． 6. 若点在反比例函数的图象上，则的符号为（ ） A. 正 B. 负 C. 零 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式求出，再根据即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的符号为负． 7. 已知反比例函数，下列判断正确的是（ ） A. 函数图象分布在第二、四象限 B. 图象经过点 C. 若，则 D. 在各自象限内，y的值随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象与其系数的关系，求反比例函数值，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据解析式可判断函数图象分布的象限，以及在每个象限内的增减性，再求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，且在每个象限内y的值随x的增大而减小，故A说法错误，D说法正确； 在中，当时，， ∴图象不经过点，故B说法错误； 在中，当时，，且在每个象限内y的值随x的增大而减小， ∴若，则，故C说法错误， 故选：D． 8. 已知抛物线（）的对称轴为直线，其部分图象如图所示． ①； ②； ③； ④对于任意实数，有； ⑤若点在抛物线上，且方程的两个根为，（），则． 上述结论中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴可判断①；由图象可得，当时，，当时，，即可判断②③；由图象可得，当时，取得最小值，对于任意实数，有，即可判断④；由题意得到二次函数与直线的一个交点为，根据对称性得到另一个交点为，则，，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线（）的对称轴为直线， ∴，故①正确， ∴． 由图象可得，当时，， ∴， ∴， ∴，故②正确． 由图象可得，当时，， ∴， ∴， ∴，故③错误． 由图象可得，当时，取得最小值， ∴对于任意实数，有， ∴，故④正确． ∵点在抛物线上，且方程的两个根为，（）， ∴二次函数与直线的一个交点为， ∵二次函数的图象对称轴为直线， ∴二次函数与直线的另一个交点为， ∴，， ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②④⑤，共4个． 二、填空题（本题共24分，每题3分） 9. 如果m是方程的一个根，那么代数式的值为_______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵ m是方程的一个根， ， ， ∴ 故答案为：15． 10. 如图，四边形内接于，是的直径，点E是下方上一点．若，则的大小为________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质求出的度数，利用直径所对的圆周角是直角得出，在直角三角形中求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等求解． 【详解】如图，连接， ∵四边形内接于 ， ∴， ∵ ， ∴， ∵是的直径 ， ∴， 在中，， ∵与都是所对的圆周角， ∴． 11. 若二次函数的顶点在轴上，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数顶点在轴上，说明抛物线与轴只有一个交点，对应一元二次方程的判别式等于，列方程即可求解． 【详解】解：∵二次函数的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得． 12. 设m，n是方程的两实数根，则__________． 【答案】2022 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两实数根， ∴根据根与系数的关系可得，，， ∴ ． 13. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：． 14. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到．当点在线段上时，的度数为_______．（用含有的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质得出，，，进而根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到． ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 15. 已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据点的坐标求出反比例函数的值，得到反比例函数解析式，再利用反比例函数的增减性，结合的取值范围，得到的取值范围． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为， ， 反比例函数在第一象限内，随的增大而减小， 点在该反比例函数图象上，且， 当时，， ． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线有两个交点，． （1）当，，时，线段的长度为__________； （2）当时，若对任意，线段长度大于，则的取值范围为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）把，，代入抛物线解析式，联立求出交点横坐标，计算两点间距离得到线段长． （）令求出交点横坐标，写出长度表达式，根据对任意，，转化为不等式恒成立问题求解的范围． 【详解】解：（1），，， ， ， ， ，， ； （）， ∴抛物线为， 令，则， ， ，， ， 对任意， 对任意时恒成立 要有两个交点， ， 不等式变形得， 即， 同时，对任意恒成立． ， 解得． 三、解答题（共72分，第17题8分，第18～23题每题5分，第24～25题每题6分，第26～27题每题8分，第28题6分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 18. 如图，在四边形中，连接，，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，利用等边三角形的性质得到，，再利用角度和差关系得到，从而得证结论； （2）由（1）的结论得到，根据已知条件证得是等边三角形，进一步利用勾股定理逆定理证得，从而可求出最终结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 19. 设二次函数． （1）先补全表格，则__________，然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： … 0 1 2 3 … … 0 3 3 0 … （2）点，都在二次函数图象上， ①若，则__________； ②若，则__________（填“”，“”或“”）． （3）当时，函数值的取值范围是，直接写出的值． 【答案】（1）当时，； 列表得： … 0 1 2 3 … … 0 3 3 0 … 描点、连线得到二次函数的图象如下： （2）①；② （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①根据函数图象可得抛物线对称轴为直线， 若，则点与关于直线对称， ∴， 解得； ②若，则， 由函数图象可得：当时，；当时，， ∵，点，都在二次函数图象上， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：当时，解得， 根据函数图象发现，当时，二次函数有最大值；当时，， ∴当时，函数值的取值范围是，得到． 20. 如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1）证明：∵点、、在上，于点， ∴， ∵， ∴为的中位线， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理，结合三角形中位线的性质，即可证得结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得，由垂径定理可得，根据勾股定理可得，从而可得，，根据勾股定理可得，从而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点在圆上，是的直径， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根之积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据判别式与根的个数的关系，列不等式，求解即可； （2）根据根与系数的关系可得两根之积，结合题干列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得； 【小问2详解】 解：设方程的两根为、， 由根与系数的关系可得， 根据题意可得， 整理，得， 解得， ∵， ∴的值为． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）是直线上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，直接写出点的坐标． 【答案】（1）一次函数解析式为； 反比例函数解析式为； （2）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）设，则，得到，或，分别解方程，求出的值，即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入得，， 解得， 一次函数解析式为； 将代入得，， ， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得，一次函数解析式为， 设，则， ， 或， 当时， 解得，或， 经检验，均是原分式方程的解， ，或（不符合题意，舍去）； 当时， 解得或 经检验，均是原分式方程的解， 或（不符合题意，舍去）； 故点的坐标为或． 23. 2026年5月1日，北京市正式实施《北京市非机动车管理条例》，驾驶、乘坐电动自行车必须规范佩戴符合国家标准的乘员头盔，某电动车用品批发店主营头盔等配件，决定在8月、9月分两次购进甲、乙两款头盔，8月购进第一批时，甲、乙两款头盔的购进单价分别为40元和60元，甲款头盔的进货数量为320个，乙款头盔的数量是150个，9月开学季需求上升，甲款头盔的购进单价上涨，涨幅不超过8月购进单价的20%，该店调整进货策略：甲款头盔单价每上涨1元，其购进数量就比第一批减少4个；乙款头盔单价不变，购进数量比第一批增加20%，9月这批头盔的总花费为24300元．求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 【答案】5 【解析】 【分析】设甲款头盔的单价上涨了元，则9月份甲款头盔的进货单价为元，进货数量为个，利用总价=单价×数量，可列出关于9月这批头盔的总花费为24300元的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设甲款头盔的单价上涨了元． 根据题意得：9月份甲款头盔的进货单价为元，进货数量为个． 乙款头盔的进货单价仍为元，进货数量比第一批增加，即：． 列方程得： 解得：， 由题意知，涨幅不超过8月购进单价的，即：， 故． 答：甲款头盔的单价上涨了5元． 24. 如图，是的直径，弦交于点，于点，连接，，满足． （1）求证：平分； （2）若，，求半径． 【答案】（1）证明：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）半径为． 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，再得到，再进一步得到，再根据，得到，即可得出结论； （2）作于点，连接，如图：设的半径为，得到，，再根据勾股定理得到，即，求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点，连接，如图： 设的半径为，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴半径为． 25. 投壶是由古代“射礼”演变而来的一项传统礼仪活动和游戏，与君子六艺中的“射”密切相关．学校在趣味运动会开展传统文化体验活动，某同学在一次投壶练习中，利用视频分析软件研究箭头离手后的运动轨迹，以箭头离手时箭头所在位置的正下方为原点建立平面直角坐标系，其中表示箭头距原点的水平距离，（）表示箭头距地面的高度．记录的部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 1.5 1.4 1.2 0.9 通过分析数据，发现可以用二次函数近似刻画与之间的关系． （1）求关于的函数表达式； （2）箭头在所研究的运动过程中距地面的最大高度为__________； （3）本次活动所用投壶的壶口中心距地面，壶口内径为，在箭头运动方向所在的竖直平面内，可将壶口近似看作一条长的水平线段，设箭头可视为质点，当箭头经过壶口所在水平线段，即视为投入．投壶的位置始终不变，每次投壶的出手高度、方向及箭头的运动轨迹与投壶练习中的一样，第一次投掷时，壶口中心与箭头出手位置的水平距离为，箭头未投入壶中，第二次投掷时，若以壶口中心为参照，为确保箭头成功投入壶中，出手点到壶口中心的水平距离由变为，忽略箭的粗细，则的取值范围是__________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设关于的函数表达式为，从表格中任取三组对应值代入，解方程组即可； （2）由（1）得关于的函数表达式为，结合二次函数的性质及问题的实际意义确定箭头在所研究的运动过程中距地面的最大高度； （3）令，求得符合题意的的值，再建立关于的方程求出临界值即可求得的取值范围． 【小问1详解】 解：设关于的函数表达式为， 将，，代入， 得， 解得， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）得关于的函数表达式为， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，的值最大，为， 故箭头在所研究的运动过程中距地面的最大高度为； 【小问3详解】 解：当时， ， 解得（负值舍去）， ∵壶口内径为， 当时，； 当时，； ． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）， （1）若抛物线对称轴为，求的值； （2）已知是抛物线上的点，的横坐标是，抛物线的顶点为，且可以由抛物线平移得到（特别地，当是的顶点时，即为），若对于，抛物线都与轴有两个交点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）令，求出抛物线与x轴的交点的坐标，可求出对称轴，结合已知的对称轴为，列出方程，求解即可； （2）由点是抛物线上的点，的横坐标是，得到，从而得出抛物线的解析式为．①若，则抛物线开口向上，要使抛物线都与轴有两个交点，则顶点M在x轴的下方，因此，结合即可判断a的取值范围；②若，则抛物线开口向下，要使抛物线都与轴有两个交点，则顶点M在x轴的上方，因此，结合即可判断a的取值范围． 【小问1详解】 解：对于抛物线：，令， 则， 解得，， ∴抛物线与x轴的交点的坐标为，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线对称轴为， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：∵是抛物线上的点，的横坐标是， ∴， ∵抛物线，抛物线的顶点为，且可以由抛物线平移得到， ∴抛物线的解析式为． ①若，则抛物线开口向上， ∵对于，抛物线都与轴有两个交点， ∴顶点M在x轴的下方， ∴， ∵时，， ∴， ∴， ∴， ∴． ②若，则抛物线开口向下， ∵对于，抛物线都与轴有两个交点， ∴顶点M在x轴的上方， ∴， ∵时，，， ∴恒成立． 综上所述，a的取值范围是或． 27. 如图，在中，，，点在上（与点、不重合），过点作于点．连接，，将绕点逆时针旋转得到，连接、． （1）①依题意补全图形；②求证： （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）①依题意补全图形如下： ②证明：在上取一点，使，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）， 证明：取中点，取中点，连接，， ∴是的中位线，， ∴，， ∴， ∵中点，，， ∴，， ∴， 由（1）可得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①依题意补全图形即可； ②在上取一点，使，连接，得到垂直平分，则，，，，再结合旋转证明，得到，最后根据证明即可； （2）取中点，取中点，连接，，由中位线得到，，再证明，得到，即可根据证明． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：略 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对平面内一点，若过点的直线与交于、两点，则称弦的中点为点关于的“中影点”；特别地，若、两点重合，也称点为点关于的“中影点”． （1）如图，若给定点，在点，，中，点关于的“中影点”有__________； （2）已知点在以为圆心，以1为半径的圆上， ①若内第二象限一点为点关于的“中影点”，它满足，，直接写出点的坐标； ②对于给定的点，它关于的两个“中影点”连线的最大长度为，当点在上移动时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）、； （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）根据“中影点”定义进行判断即可； （2）①连接，过点D作，交于点A、B，交于点，交y轴于点C，过点D作轴于点E，证明点D为点关于的“中影点”，求出点C的坐标为，点D的坐标为，再用待定系数法求出直线的解析式为：，设点的坐标为，根据两点间距离公式求出，最后求出m的值，即可得出答案； ②先说明对于给定的点，它关于的“中影点”在以为直径的圆上，然后分情况讨论：当点P在内及上时，当点P在外时，分别画出图形，进行讨论，求出t的取值范围即可． 【小问1详解】 解：连接，、，并分别延长，交于点、Q、，如图所示： ∵点， ∴， ∴点P在上， ∵点，， ∴与不垂直， 根据垂径定理可知：只有当与垂直时，才是的中点， ∴点不是的中点， ∴点不是点关于的“中影点”； ∵点P在圆上，O为圆心， ∴， ∴点O为的中点， ∴点O是点关于的“中影点”； ∵点，， ∴， ∴，即为的中点， ∴点是点关于的“中影点”； 综上，点关于的“中影点”有、； 【小问2详解】 解：①连接，过点D作，交于点A、B，交于点，交y轴于点C，过点D作轴于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴点D为点关于的“中影点”， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为，点D的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点的坐标为， ∵点在以为圆心，以1为半径的圆上， ∴， ∴ 整理得：， 解得：， ∴点P的坐标为或； ②在上任意取一点P，过点P任意作一条直线，交于点A、B，设点M为的中点，连接，，如图所示： 则点M为点关于的“中影点”， ∵，过圆心， ∴， ∴， ∴点M总是在以为直径的圆上， 即对于给定的点，它关于的“中影点”在以为直径的圆上， ∴当点P在内部或圆上时，对于给定的点，它关于的两个“中影点”连线的最大长度为的长， ∴当点P在内部或圆上时，， 即， ∴此时； 当点P在外，在上任意取一点P，连接，以为直径作圆，交于点M、N，连接，，，，，当正好经过的中点F时，如图所示： ∵， ∴，， ∵、为的半径， ∴、为的切线， ∴， ∵， ∴垂直平分， 又∵，， ∴此时四边形为正方形， ∴， 此时点关于的两个“中影点”连线的最大长度为，即； 当点P在外，且时，在上任意取一点P，连接，以为直径作圆，交于点M、N，如图所示： 则此时点关于的“中影点”在优弧上， ∴此时点关于的两个“中影点”连线的最大长度为所作圆的直径的长， ∴此时； 当点P在外，且时，在上任意取一点P，连接，以为直径作圆，交于点M、N，连接，，，，，则交于点Q，如图所示： 则此时点关于的“中影点”在劣弧上， ∴此时， ∴此时点关于的两个“中影点”连线的最大长度为的长， ∵， ∴，， ∵、为的半径， ∴、为的切线， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴，平分， ∴平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴当最大时，最大， ∴当最大时，最大， 在中，， ∴当最大时，最小，最大， ∴当最大时，最大， 当时，如图所示： 此时， ∴， ∴， ∴的最大值为， ∵， ∴， ∴， ∴此时， 综上，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三第一学期十月练习 数学（一） 2026.10 一、选择题（本题共24分，每题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. “二十四节气”是中华农耕文明的结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．下列图案分别代表“立 春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果将抛物线向上平移3个单位长度，向左平移1各单位，得到新的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 4. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为( ) A. B. C. D. 4 5. 从正方形的铁皮上，截去宽的一条长方形，余下的面积是，则原来的正方形铁皮的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 若点在反比例函数的图象上，则的符号为（ ） A. 正 B. 负 C. 零 D. 无法确定 7. 已知反比例函数，下列判断正确的是（ ） A. 函数图象分布在第二、四象限 B. 图象经过点 C. 若，则 D. 在各自象限内，y的值随x的增大而减小 8. 已知抛物线（）的对称轴为直线，其部分图象如图所示． ①； ②； ③； ④对于任意实数，有； ⑤若点在抛物线上，且方程的两个根为，（），则． 上述结论中正确的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本题共24分，每题3分） 9. 如果m是方程的一个根，那么代数式的值为_______． 10. 如图，四边形内接于，是的直径，点E是下方上一点．若，则的大小为________． 11. 若二次函数的顶点在轴上，那么_____． 12. 设m，n是方程的两实数根，则__________． 13. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为_____． 14. 如图，中，，将绕点逆时针旋转得到．当点在线段上时，的度数为_______．（用含有的式子表示） 15. 已知点与点在同一条反比例函数的图象上，若，则的取值范围是________． 16. 在平面直角坐标系中，抛物线与直线有两个交点，． （1）当，，时，线段的长度为__________； （2）当时，若对任意，线段长度大于，则的取值范围为__________． 三、解答题（共72分，第17题8分，第18～23题每题5分，第24～25题每题6分，第26～27题每题8分，第28题6分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在四边形中，连接，，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的度数． 19. 设二次函数． （1）先补全表格，则__________，然后在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象： … 0 1 2 3 … … 0 3 3 0 … （2）点，都在二次函数图象上， ①若，则__________； ②若，则__________（填“”，“”或“”）． （3）当时，函数值的取值范围是，直接写出的值． 20. 如图，点、、、都在圆上，是的直径，交于点． （1）求证：； （2）若，，求． 21. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若方程的两个实数根之积为，求的值． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）是直线上一动点，过点作轴的平行线交反比例函数（）的图象于点．若，直接写出点的坐标． 23. 2026年5月1日，北京市正式实施《北京市非机动车管理条例》，驾驶、乘坐电动自行车必须规范佩戴符合国家标准的乘员头盔，某电动车用品批发店主营头盔等配件，决定在8月、9月分两次购进甲、乙两款头盔，8月购进第一批时，甲、乙两款头盔的购进单价分别为40元和60元，甲款头盔的进货数量为320个，乙款头盔的数量是150个，9月开学季需求上升，甲款头盔的购进单价上涨，涨幅不超过8月购进单价的20%，该店调整进货策略：甲款头盔单价每上涨1元，其购进数量就比第一批减少4个；乙款头盔单价不变，购进数量比第一批增加20%，9月这批头盔的总花费为24300元．求甲款头盔的单价上涨了多少元？ 24. 如图，是的直径，弦交于点，于点，连接，，满足． （1）求证：平分； （2）若，，求半径． 25. 投壶是由古代“射礼”演变而来的一项传统礼仪活动和游戏，与君子六艺中的“射”密切相关．学校在趣味运动会开展传统文化体验活动，某同学在一次投壶练习中，利用视频分析软件研究箭头离手后的运动轨迹，以箭头离手时箭头所在位置的正下方为原点建立平面直角坐标系，其中表示箭头距原点的水平距离，（）表示箭头距地面的高度．记录的部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 1.5 1.4 1.2 0.9 通过分析数据，发现可以用二次函数近似刻画与之间的关系． （1）求关于的函数表达式； （2）箭头在所研究的运动过程中距地面的最大高度为__________； （3）本次活动所用投壶的壶口中心距地面，壶口内径为，在箭头运动方向所在的竖直平面内，可将壶口近似看作一条长的水平线段，设箭头可视为质点，当箭头经过壶口所在水平线段，即视为投入．投壶的位置始终不变，每次投壶的出手高度、方向及箭头的运动轨迹与投壶练习中的一样，第一次投掷时，壶口中心与箭头出手位置的水平距离为，箭头未投入壶中，第二次投掷时，若以壶口中心为参照，为确保箭头成功投入壶中，出手点到壶口中心的水平距离由变为，忽略箭的粗细，则的取值范围是__________． 26. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）， （1）若抛物线对称轴为，求的值； （2）已知是抛物线上的点，的横坐标是，抛物线的顶点为，且可以由抛物线平移得到（特别地，当是的顶点时，即为），若对于，抛物线都与轴有两个交点，求的取值范围． 27. 如图，在中，，，点在上（与点、不重合），过点作于点．连接，，将绕点逆时针旋转得到，连接、． （1）①依题意补全图形；②求证： （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为1，对平面内一点，若过点的直线与交于、两点，则称弦的中点为点关于的“中影点”；特别地，若、两点重合，也称点为点关于的“中影点”． （1）如图，若给定点，在点，，中，点关于的“中影点”有__________； （2）已知点在以为圆心，以1为半径的圆上， ①若内第二象限一点为点关于的“中影点”，它满足，，直接写出点的坐标； ②对于给定的点，它关于的两个“中影点”连线的最大长度为，当点在上移动时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $