第一章 二次函数提升复习测试题—2026-2027学年浙教版数学九年级上册

第一章 二次函数提升复习测试题—2026-2027学年浙教版数学九年级上册 一、选择题 1．下列函数关系式中，是二次函数的是(　　) A．y＝x3－2x2－1 B．y＝x2 C．y＝－3 D．y＝x＋1 2．抛物线y＝x2＋6x＋7可由抛物线y＝x2平移得到，平移的方法可以是(　　) A．向左平移3个单位，再向下平移2个单位 B．向左平移6个单位，再向上平移7个单位 C．向上平移2个单位，再向左平移3个单位 D．向右平移3个单位，再向上平移2个单位 3．二次函数的最大值为（　　） A． B．0 C．1 D．2 4．二次函数： 的图象如图所示，A(2.18，—0.51)，B(2.68，0.54)为图象上的两点，则方程 的一个解可能是（　　）. A．2.75 B．2.68 C．2.45 D．2.18 5．二次函数的图像上有两点A（a，0）和B（b，0），则a+b的值等于（　　） A．-2 B．1 C．2 D．4 6． 已知二次函数与轴正半轴交于和两点（点在点的左边），方程的解为或（），则的大小关系可能是（　　） A． B． C． D． 7．小明从离地面高度为1.5m的点A 处向斜上方抛出弹力球，弹力球在点 B 处第一次着地后弹起，点C处是第二次着地点.分析弹力球从被抛出至第二次着地的过程，其运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，如图所示放置在平面直角坐标系中，弹力球第一次着地前抛物线的表达式为 在B 处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的 有下列结论： ①a=-1；②在B 处着地后弹起的最大高度为0.5m； ③弹力球第二次着地点 C距第一次抛出点的水平距离OC是5m. 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为．则以下结论正确的有（　　）个． ①；②；③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 9．抛物线y＝－x2＋3的对称轴是　 　． 10． 将抛物线 向右平移 2个单位，再向上平移 3个单位，所得抛物线的表达式为　 　. 11．如果三点在抛物线上，那么之间的大小关系是　 　.（用“ ”连接） 12．如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与AD边平行的篱笆EF分开.已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB=　 　m时，矩形土地ABCD 的面积最大. 13．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，若|ax2+bx+c|=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　． 14．已知二次函数，一次函数，当自变量取相同值时，我们把的值称为这两个函数的“绝美值”．若仅存在一个整数，使得这两个函数的“绝美值”不超过，则的取值范围为　 　． 三、解答题 15．已知函数是关于的二次函数． （1）求的值； （2）当为何值时，抛物线有最高点？并求出最高点的坐标． 16．如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点的左侧），与一次函数的图象交于两点． （1）求的值； （2）求点的坐标； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 17．根据以下素材，探索完成任务． 背景 东阳木雕是我国一种独特的民间艺术，经过选材、放样、打坯、精雕、打磨、上漆、抛光等多道工序制成，作品精巧典雅，气韵生动． 素材 某种木雕摆件的制作成本为20元/件，某商店销售一段时间后发现，当该木雕摆件售价为30元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件木雕摆件售价每上涨1元，则月销售量将减少10件，设该木雕摆件的售价上涨x元/件． 问题解决 ⑴任务1 该木雕摆件的月销售量为 ▲ 件；（用含x的代数式表示） ⑵任务2 该商店为使月销售利润达到6000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该木雕摆件的售价需上涨多少元/件？ ⑶任务3 求当该木雕摆件售价为多少元/件时，该商店的月销售利润达到最高？最高利润为多少？ 18．已知二次函数y＝－x2－(m－1)x＋m＋1. （1）求证：不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点； （2）若该函数图象的对称轴是直线x＝2，求该函数的图象与y轴的交点坐标． 19．如图，学校准备开展劳动教育活动，计划利用围墙和栅栏围成一个矩形的菜园，并用栅栏将其分成个相同大小的矩形小菜园，共用栅栏. （1）当时，菜园面积最大为　 　； （2）求菜园的最大面积（用含 的代数式表示）； （3）在第（2）问的条件下，存在时，菜园的最大面积之和为，且，直接写出所有满足条件的的值. 20．综合与探究 关于二次函数 数学兴趣小组计划通过以下环节进行研究。 （1） 【特例研究】 当a=1时，二次函数为y1= ▲ ，并在图 1中的平面直角坐标系画出其函数图象； 当a=2时，二次函数为 其图象如图 1所示； 当 时，二次函数为 其图象如图 1所示； （2）观察特例中的图象，并结合学习函数的经验，写出二次函数 的 2条特征。 （3） 【深入探究】 对于二次函数 当a<0， - 2≤x≤2时， y的最大值与最小值的差为 6，求 a的值； （4）将 在-2≤x≤2间的图象记为 G，若图象 G与直线y=x+1有 2个交点，请求出a的取值范围。 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】二次函数的定义 【解析】【解答】解：A、自变量的最高次数是3，错误； B、正确；属于二次函数的一般形式； C、原函数可化为： ，自变量的最高次数是-2，错误； D、自变量的最高次数是1，错误. 故选：B. 【分析】根据二次函数的定义条件对四个选项进行逐一分析即可. 2．【答案】A 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化；二次函数图象的平移变换 【解析】【解答】解：y＝x2＋6x＋7=x2＋6x＋9-2=(x+3)2-2， ∴ 抛物线y＝x2＋6x＋7可由抛物线y＝x2 向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到， 故答案为：A. 【分析】先把抛物线y＝x2＋6x＋7化为顶点式，然后根据“上加下减，左加右减”解答即可. 3．【答案】C 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化 【解析】【解答】解： ， 当 时， 有最大值为 1. 故答案为：C. 【分析】把函数解析式整理成顶点式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答. 4．【答案】C 【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：当x=2.18时，y=-0.51；当x=2.68时，y=0.54， 当y=0时，2.18<x<2.68，只有选项C符合， 故选：C. 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是-0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间. 5．【答案】C 【知识点】一元二次方程的根；二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：由题意可得：a，b是方程x2-2x=0的两个根 对方程变形得x(x-2)=0， 解得x1=0，x2=2， ∴a+b=0+2=2 故答案为：C. 【分析】A，B两点纵坐标均为0，说明a，b是方程x2-2x=0的两个根，解方程得到两个根后，即可计算a+b的值. 6．【答案】C 【知识点】作图-二次函数图象；二次函数与一次函数的图象共存判断 【解析】【解答】解：依据题意，画出二次函数的大致图象如下图所示， 在此基础上，作出直线的图象， 设两个函数图象的交点为， ∵方程的解为或（）， ∴的横坐标为， ∴， 故选：． 【分析】根据题意作出满足题意的草图，将方程视作函数y=x与二次函数的交点，进而分析即可判断大小得出结论. 7．【答案】C 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题 【解析】【解答】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：， ∴，故①错误； ∴解析式为：， 当时，的最大值为， 令，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的， ∴其最大高度为：；故②正确； ∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线， 设B处着地后弹起的抛物线解析式为：， 将点代入该解析式得：， 解得：或（舍去）， ∴该抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点B的坐标为，则点的坐标为， 即弹力球第二次落地点距第一次抛出点的水平距离是，故③正确； 综上，正确的个数为2个． 故答案为：C. 【分析】利用待定系数法求出第一次着地前的抛物线解析式判断①；求出着地点的坐标，求出B处反弹后的最大高度判断②；求出反弹后抛物线的解析式，即可得到点C的坐标判断③解答即可． 8．【答案】D 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用 【解析】【解答】解：①∵抛物线 与 有两个交点， ，正确； ② 抛物线 的对称轴为直线 ，而 时， ， 由图象可知，抛物线的顶点在第二象限， ， ，正确； ③ 抛物线 过点 ，对称轴为直线 ， 抛物线与 轴另一个交点为 ， ，正确； ④ 抛物线的开口向下， ， 对称轴为 ， ， 抛物线 过点 ， ， 将 代入，得 ， ， ，正确； ⑤ 由④可知， ， ， ，正确. 故选： . 【分析】根据当 抛物线与x轴有两个交点可对①进行判断；根据抛物线顶点的纵坐标大于0可对②进行判断；根据抛物线的对称性先求出抛物线与x轴另一个交点为(1， 0)，即x=1时，y=0，可对③进行判断；根据对称轴为直线 得出b=2a，再由抛物线 过点A(-3，0)，得出c=-3a，然后由a<0可对④进行判断； 根据b=2a，c=-3a，可对⑤进行判断. 9．【答案】y轴 【知识点】二次函数y=a（x-h）&#178;+k的图象 【解析】【解答】解：抛物线 是顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为 ，对称轴 ，即为 轴. 故答案为： 轴 . 【分析】因为 可看作抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标即对称轴. 10．【答案】y= (x-2)2+4 【知识点】二次函数图象的平移变换 【解析】【解答】解： 将抛物线 向右平移 2个单位，再向上平移 3个单位，所得抛物线的表达式为： y=（x-2）2+1+3即：y= (x-2)2+4 故答案为：y= (x-2)2+4. 【分析】根据二次函数的平移规律，即可得出抛物线的表达式为 y= (x-2)2+4. 11．【答案】 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用 【解析】【解答】解：∵抛物线 的开口向下，对称轴是直线 ， ∴ 当 时， 随 的增大而减小， 关于称轴是直线 的对称点是 ， ∵， ∴. 故答案为： . 【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可. 12．【答案】225 【知识点】二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：一块矩形土地ABCD由篱笆围着，篱笆的总长为900m， 设AB=xm，则 ∴矩形ABCD的面积为 开口向下， ∴当 时， S取得最大值为33750平方米， 故答案为： 225. 【分析】设AB=xm，求出BC的长度关系，然后求出四边形ABCD的面积关系式，利用二次函数的性质即可求解. 13．【答案】k=0或k＞2 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【解答】解：∵当ax2＋bx＋c≥0，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴上方， ∴此时y＝|ax2＋bx＋c|＝ax2＋bx＋c， ∴此时y＝|ax2＋bx＋c|的图象是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴上方部分的图象． ∵当ax2＋bx＋c＜0时，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象在x轴下方， ∴此时y＝|ax2＋bx＋c|＝－(ax2＋bx＋c)， ∴此时y＝|ax2＋bx＋c|的图象是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图象． ∵y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点纵坐标是－2， ∴函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在x轴下方部分与x轴对称的图象的顶点纵坐标是2， ∴y＝|ax2＋bx＋c|的图象如右图． ∵观察图象可得当k≠0时， 函数图象在直线y＝2的上方时，纵坐标相同的点有两个， 函数图象在直线y＝2上时，纵坐标相同的点有三个， 函数图象在直线y＝2的下方时，纵坐标相同的点有四个， ∴若|ax2＋bx＋c|＝k有两个不相等的实数根， 则函数图象应该在y＝2的上边， 故k＝0或k＞2． 【分析】 先根据题意画出y＝|ax2＋bx＋c|有两个不相等的实数根，可知与y=k的图象有两个交点，然后结合二次函数的图象特征确定k的取值范围. 14．【答案】​​​​​​​ 【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=a（x-h）&#178;+k的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；分类讨论 【解析】【解答】解：设这两个函数的“绝美值”为， ∵二次函数，一次函数， ∴， 由题意可知，，， ∴，即， 令二次函数， ①当时，二次函数的开口向下， ∴存在无数个整数，使得，不符合题意； ②当时， 二次函数的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∵距离对称轴最近的整数是， ∴若仅存在一个整数，使得，则需满足当时，；且当时，， 即， 解得． 故答案为：． 【分析】根据“绝美值”的定义可得不等式仅存在一个整数解的问题，然后分为和两种情况，根据函数的对称性和增减性列不等式组，求出a的取值范围即可． 15．【答案】（1）解：函数是关于的二次函数， ，且， 解得，； （2）解：抛物线有最高点， ， ， 当时，抛物线有最高点， 二次函数的解析式为， 当时，取最大值为2， 最高点的坐标为． 【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质 【解析】【分析】(1)根据二次函数的定义可以求得 的值； (2)根据(1)中 的值可以解答本题. 16．【答案】（1）解：把代入二次函数，得， 解得，， ∴， 把代入一次函数，得， ∴； （2）解：∵， ∴一次函数， 由，解得或， ∴点的坐标为； （3）或 【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用 【解析】【解答】（3）解：由函数图象可知，当时的取值范围为或． 【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可得，再根据待定系数法将点A坐标代入一次函数解析式即可求出答案. （2）联立两函数解析式，解方程组即可求出答案. （3）当二次函数图象在一次函数图象上方时，有，结合函数图象即可求出答案. （1）解：把代入二次函数，得， 解得，， ∴， 把代入一次函数，得， ∴； （2）解：∵， ∴一次函数， 由，解得或， ∴点的坐标为； （3）解：由函数图象可知，当时的取值范围为或． 17．【答案】解：⑴（400﹣10x）； ⑵（30+x﹣20）（400﹣10x）＝6000 整理得：x2﹣30x+200＝0， 因式分解得(x-10)(x-20)=0， 解得：x1＝10，x2＝20， 又∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴x＝10． 答：该泥塑的售价上涨10元/件．； ⑶设月销售利润为W元， W=(30+x-20)(400-10x) =(10+x)(400-10x) =-10x2+300x+4000 =-10(x-15)2+6250 ∵-10<0，抛物线开口向下， ∴x=15时W取得最大值6250． 此时售价为30+15=45元． 答：当售价为45元/件时，月销售利润最高，最高利润6250元． 【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题 【解析】【解答】解：(1)原售价30元时月销400件，售价每上涨1元月销量减10件，上涨x元后，月销售量为400-10x件． 故答案为：（400﹣10x）． 【分析】(1)先找到销量变化规律，上涨x元就减少10x件，用原销量减去减少量得到含x的代数式400-10x； (2)先表示单件利润与总销量，根据总利润6000元列一元二次方程（30+x﹣20）（400﹣10x）＝6000，解得x1＝10，x2＝20，再结合“让利顾客”选取更小的上涨值为10； (3)构造利润二次函数W=（30+x﹣20）（400﹣10x），化成顶点式W=-10（x-15）2+6250，根据二次函数开口方向判断最大值，算出对应售价为45元与最高利润6250元． 18．【答案】（1）证明：因为y＝－x2－(m－1)x＋m＋1，所以Δ＝[－(m－1)]2－4×(－1)×(m＋1)＝m2－2m＋1＋4m＋4＝(m＋1)2＋4，因为(m＋1)2≥0，所以(m＋1)2＋4>0，所以不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个交点． （2）解：因为该函数图象的对称轴是直线x＝2，所以－＝2，所以m＝－3，所以y＝－x2－(－3－1)x＋(－3)＋1＝－x2＋4x－2.所以当x＝0时，y＝－2.所以该函数的图象与y轴的交点坐标为(0，－2)． 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【分析】(1)证明判别式大于0，即可得出结论； (2)首先根据题意得到对称轴为直线 求出m=-3，然后得到 函数解析式，将x=0代入求解即可. 19．【答案】（1）80 （2）解：设菜园垂直于墙的边为，菜园面积为，则.因为，所以，所以当时，有最大值，最大值为，即菜园的最大面积为. （3）解：或或 【知识点】二次函数的最值；二次函数的实际应用-几何问题 【解析】【解答】解：（1）当n=4时，设菜园垂直于墙的边为，菜园面积为， 则y=x(40-5x)=-5(x-4)2+80， ∴当x=4时，菜园面积最大为80m2， 故答案为：80； （3）当时，菜园的最大面积为，当时，菜园的最大面积为. 由题意得， 整理得， 所以. 因为，都是正整数， 所以是16的因数， 所以，，，，， 所以 或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）或或（舍去）. 又因为， 所以 或或 【分析】(1)依据题意，设垂直于墙的边长为x m，当n=4时，平行于墙的边长为(40-5x)m，菜园的面积为y 根据矩形的面积公式列出函数解析式，用函数的性质求出最值； (2)依据题意，设垂直于墙的边长为x m，平行于墙的边长为[40-(n+1)x]m，菜园的面积为 ，根据矩形的面积公式列出函数解析式，用函数的性质求出最值； (3)根据第(2)问表示出n=a和n=b时，菜园面积的最大n=a值，进而列出关于a，b的方程，根据a，b是正整数且 用枚举法求出a，b的值. 20．【答案】（1）解：y1=x2-2x-3， 列表如下： x ... -1 0 1 2 3 ... y ... 0 -3 -4 -3 0 ... 描点法即可得出图象如图所示。 （2）解：①二次函数y=ax2-2ax-3a(a≠0)恒过点(-1， 0)， (3，0) ②二次函数y=ax2-2ax-3a(a≠0)的对称轴为直线x=1。 （3）解：∵a<0， - 2≤x≤2时， ∴当x=-2时， y最大值=a·(-2)2-2a·(-2)-3a=5a， ∵二次函数 的对称轴为直线x=1。 ∴当x=1时， y最小值=a·12-2a·1-3a=-4a， ∴y最大值-最小值=-4a-5a=-9a=6，解得 a=-23。 （4）解：方法 1： 当a<0时， 当x=2时， y=2+1=3，即(2， 3) ， 将(2， 3)代入y=ax2-2ax-3a，解得a=-1。 当x=-2时， y=-2+1=-1，即(-2， - 1)， 将(-2， - 1)代入 解得 当图象 G与直线y=x+1只有 1个交点时，则 整理得 解得 结合图象可得 且 当a>0时，图象G与直线y=x+1只有 1个交点，为(-1， 0)，综上所述， - 1≤a≤15且a≠-14。 方法 2： 联立 整理得 ∴[ax-(3a+1)](x+1)=0， ∴x1=3a+1a=3+1a， x2=-1 ∵二次函数 恒过点(-1， 0)，且满足-2≤x≤2，结合图象可知-2≤x1≤2，即 解得： - 1≤a≤-15。 当图象 G与直线y=x+1只有 1个交点时，则 整理得 解得 综上所述， - 1≤a≤-15且a=-14。 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；列一元一次方程；作图-二次函数图象 【解析】【解答】解：（1）把a=1代入 二次函数 可得出y1=x2-2x-3； 故答案为：y1=x2-2x-3； 【分析】（1）把a=1代入 二次函数 可得出y1=x2-2x-3，再用描点法即可得出函数图象； （2）根据二次函数的性质，写出2条特征即可； （3）根据二次函数的图象与性质，确定y值得最大值与最小值，再列出方程求解即可； （4）分两种情况：当a<0时；当a>0时，结合图像、函数图象上点的坐标特征及一元二次方程根的判断式求解即可。 学科网（北京）股份有限公司 $