第一章 二次函数（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 本卷为九年级上册第一章二次函数单元能力提升卷，通过真题情境与分层设计，考查二次函数定义、图像性质及应用，适配单元复习，培养抽象能力与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、顶点坐标、图像平移|结合水流抛物线（第4题）等真题情境，考查数学眼光| |填空题|6/18|开口方向、最值应用、函数关系|种群数量最值（第12题）体现数学思维的推理意识| |解答题|8/72|函数增减性证明、实际问题建模、动点综合|垂榆枝条模型（第21题）、动点与抛物线综合（第24题），培养模型观念与创新意识|

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 二次函数·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B B B B B C D D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．<m<2 12．三 13．5 14． 15．5 16． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分） 【解析】（1）解：将点代入解析式，得 ，解得； (3分) （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为：， ∵抛物线经过点，，点和点纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为： ∴； (5分) （3）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为：， ∵点， 都在抛物线上，点和点纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为： ∴， ∴抛物线与轴交点为，且关于对称轴对称的点为， 分两种情况讨论： ①若点，都在对称轴右侧的抛物线上， ∵， ∴随增大而增大， ∵， ∴，不等式组无解； ②若点，都在对称轴左侧的抛物线上， 随增大而减小 ∵， ∴ 解得， ∴． 综上，． (8分) 18．（8分） 【解析】（1）解：①当时， 当时，函数y有最小值． 当时，函数y有最大值． ②是，理由： 由①可知函数图象的对称轴是直线，开口向上． 当时，y随着x的增大而减小， ∴当时， ，当时，． ∴该函数是平衡函数． (3分) （2）解：， ∴函数图象的对称轴是直线，开口向上． ∵， ∴就a的范围可以分下列几种情况： 当时，y随着x的增大而增大． ∴y在处取最小，即在处取最大，即．． ∵ ， ∴满足题意． 当且，即当时， y在处取最小，即y在处取最大． ∵该函数是平衡函数， 解得（不合题意，舍去）． 当且，即当时， y在处取最小，即．y在处取最大，． ∵该函数是平衡函数， 解得（不合题意，舍去） 当时，y随着x的增大而减小． y在处取最大，即在处取最小，．      ∴满足题意． 综上所述，或． (8分) 19．（8分） 【解析】（1）解：把点代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； (2分) （2）解：∵直线及抛物线与轴的交点都是， ∴直线与抛物线的两个交点到轴的距离都是，且其中一个交点坐标为， ∴另一个交点的纵坐标为， 当时，由，得， ∴另一交点坐标为， 把代入得， 解得； (5分) （3）解：由题意可知，抛物线与抛物线围成的封闭区域是以轴为对称轴的轴对称图形， ∴该区域内轴上有三个横、纵坐标均为整数的点，轴的下方和上方各有四个这样的点，且两两关于轴对称，如图所示： 对于抛物线，当时，， 当时，， 由题意得， 解得． (8分) 20．（8分） 【解析】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． ∴，开口向下， 又， 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． (5分) ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令 ， 当时，有最大值，为940． ， ． (8分) 21．（8分） 【解析】（1）解：∵该函数图象经过原点， ∴将代入解析式得， 解得； (2分) （2）解：当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线的解析式为， 将代入得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； (5分) （3）解：在中，当时，， ∴， ∵抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧）， ∴令，则，， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，此时无解， 综上所述，． (8分) 22．（10分） 【解析】（1）解：抛物线经过点和点， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； (2分) （2）解：， 抛物线的顶点为， 抛物线关于x轴对称的抛物线为， 抛物线的顶点为，与轴交点为， ， 把代入可得， 解得， ， 令， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于点， 设，， ， ，， ， ， 解得（负数舍去）， ， ； (6分) （3）解：如图，设的顶点为，过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点， 令， 解得，， 在对称轴左侧， 点的横坐标为， 当时，， 要使函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关， 则点要在函数G的段，点要在函数G的段，如图， 即， 解得； 当时，， 同理，点要在函数G的段，点要在函数G的段，如图， 即， 解得； 综上，或． (10分) 23．（10分） 【解析】（1）解：抛物线：中， 令，则， ， 令，则， 解得，， 在的左侧， ，， 是关于轴对称的抛物线， ，在抛物线上， 设抛物线与轴交于点， ， ， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得， ， 即抛物线的解析式为； (3分) （2）解：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 点是抛物线的一个动点， 设， 轴交于点， ， 则， 当为平行四边形的边时， 则，即， 当时，，解得， 当时，，该方程无解， ， 当时，， 当时，， 或； 当为平行四边形的对角线时， ， 点O是的中点， 轴， ，在y轴同侧， 这种情况不存在， 综上可知，或． (10分) 24．（12） 【解析】（1）解：将点，代入，得， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，即， ∴， 解得或， ∴点的坐标为； (2分) （2）解：①，顶点为， ∵将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象，其顶点恰好是点， ∴平移方式为：向右平移个单位，向下平移个单位， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线，图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴直线越近，函数值越大， ∴越小，越大， 又∵点到轴的距离小于或等于，即， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值； 综上，点的纵坐标的取值范围为； (4分) ②证明：设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 整理，得， 解得或， ∴， 联立直线与抛物线，得， ， 整理，得， 解得或， ∴， ∵轴，轴，点在第二象限， ∴，， ∵矩形的周长，矩形的周长， ∴，为定值， 即为定值； (8分) （3）解：∵抛物线沿直线向右下方平移， ∴等价于向右平移个单位，同时向下平移个单位， ∴平移得到的抛物线为， 将点代入，得， ， 整理，得， 解得或（不符题意，舍去）， ∴，该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ①当，即时，区间在对称轴的左侧， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， ∴， 解得或（与矛盾，舍去）； ②当，即时，区间在对称轴的右侧， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， ∴， 解得或（与矛盾，舍去）； ③当，即时，区间包含， ∴抛物线在顶点处取得最大值，与题意矛盾； 综上所述，的值为或． (12分) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 2．已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（    ）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 【答案】B 【分析】本题考查二次函数在实际销售问题中的最值应用，通过设变量建立利润与销售价格的二次函数关系式，利用二次函数开口向下的性质，求顶点对应的销售价格即为利润最大时的价格． 【详解】解：设销售价格定为元/千克，日销售利润为元， ∵每千克利润为元， 售价较35元上涨了元，每涨元日销量减少15千克，故日销量减少千克， ∴实际日销售量为千克， 则， 展开整理得， ∵二次项系数，函数图象开口向下，存在最大值， ∴当时，取得最大值． 即销售价格应定为40元/千克． 故选：B． 4．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表，且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②；③和3是关于的方程的两个根；④．其中，正确结论的个数是（     ） … 0 1 2 … … … A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先根据表格数据得到c的值和抛物线对称轴，推导出b与a的关系，再结合二次函数对称性和已知条件逐一判断各结论即可． 【详解】解：∵由表格可知，当和时，值都为， ∴，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴公式为， ∴，即， ∵，与异号， ∴，故①错误； 根据抛物线的对称性，和到对称轴的距离相等， ∴函数值相等，即，故②正确； ∵的函数值为，到对称轴的距离为，对称轴另一侧距离对称轴的点为， ∴的函数值也为， ∴和是方程的两个根，故③正确； 把，代入解析式得， ∵当时，， ∴，整理得，解得，故④错误； 综上，正确的结论共2个． 5．已知点、是二次函数图像上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，得到该二次函数图像的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键． 首先根据点A、B是该二次函数图像上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，y随x的增大而减小，可得，据此即可求解． 【详解】解：点、是二次函数图像上的两个点， 该二次函数图像的对称轴为直线，且开口向上， 当时，y随x的增大而减小， 该二次函数图像的对称轴为直线或在其右侧， ， 解得， 故选：B． 6．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次方程根与系数关系可知两根之和为，结合已知根在0.5与之间，可推知另一根在与之间．再取中点缩小范围，确定另一根更接近． 【详解】解：设方程的两个根为，， ，，， 由一元二次方程根与系数关系可知， 已知在0.5与之间， ， 当x在0.5和1之间时， 另一根在与之间， 取， ， 当时，， 在与之间， 到的距离， 到的距离， 到的距离小于到的距离， 与另一根更接近的是． 7．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，需先确定抛物线的对称轴与开口方向，再利用二次函数的增减性或点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上时，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 又∵， ∴， 故选：B． 8．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（     ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：解方程，可得：，， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 该函数没有最大值， 故A选项错误； 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 故B选项错误； ， 故C选项正确； 当时，， 由翻折可知，图象与轴的交点坐标为， 故D选项错误． 9．小雨同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于轴对称的图象，得到新的图象（如图所示）．若点 ，，，，，都在图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则…的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图象可得，函数图象关于点中心对称，结合题意可得，求出，，即可得解． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵将对称轴左侧的图象作关于轴对称， ∴图象关于点中心对称， ∵这20个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴，，……，， ∴， ∵，， ∴当时，，当时，， ∴． 10．已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①；②二次函数和图像关于轴对称；③；所有正确结论的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，中心对称图形的性质，利用对称轴方程可得，即可判定①；由可判定②；设，则点关于点的对称点的坐标为，可得点在二次函数的图像上，即得点和点关于点对称，即可判定③，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数与的图像均过点和坐标原点，为线段的中点， ∴，对称轴为直线， 即， 解得，故①正确； ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴互为相反数， ∴二次函数和图像关于轴对称，故②正确； 如图，点在二次函数的图像上，点在二次函数的图像上，设，则点关于点的对称点的坐标为， 把代入，得， 把代入，得， ∴点在二次函数的图像上， 即点和点关于点对称， ∴，故③正确； 综上，正确的结论为①②③，共个， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，结合题意，可知两个二次函数图象的开口向下，那么，当时，，从而得到，最后解得答案． 【详解】解：由题意可知，两个二次函数图象的开口向下，那么， 解得，； 根据图象，可知当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，； 故答案为：． 12．二次函数中，，，，则其图象不经过第 _____ 象限． 【答案】三 【分析】根据已知的符号，判断二次函数的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置，进而确定图象不经过的象限． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上， ， ∴抛物线经过原点， ∴， 当时，， ∴或， ∴抛物线与轴的另一个交点横坐标为， ∵，， ∴，即另一个交点在轴正半轴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，， ∴，即对称轴在轴右侧， 当时，， ∵，，，，，， ∴，即时，恒为正，不存在且的点， 因此此函数的图象不经过第三象限． 13．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 【答案】5 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再由正方形的性质以及已知条件求出，然后代入抛物线的表达式解方程即可． 【详解】解：， ∴顶点为， ∵四边形为正方形，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，， ∴，关于抛物线的对称轴对称， ∴， 将点代入，则， 整理得，， 解得，（舍）， ∴． 14．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据平移方式“左加右减”可得出抛物线的解析式，再根据点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，即将点代入两个解析式求值即可． 【详解】解：依题意得抛物线为：， ∵为“平衡点”， ∴既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上， ， 解得或， ， ． 15．在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于直线对称，可看作是由L向右平移4个单位长度所得，那么m的值为______． 【答案】 【分析】先求出原抛物线的对称轴，再根据平移的性质得到的对称轴，根据两个抛物线关于直线对称可知，是两条对称轴的中点，由此计算可得的值． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵可看作是由向右平移个单位长度所得， ∴的对称轴为直线， 与关于直线对称， ， 解得． 16．定义：如果二次函数：（，，，为常数）与：（，，，为常数）满足，且图象过相同的两个点，那么称这两个函数，为“友好二次函数”．二次函数：的图象与轴交于，两点，且点在点的左侧，若二次函数是的“友好二次函数”，且的顶点是点． （1），的另一个公共点坐标为_______； （2）若将二次函数的图象向下平移个单位得到，，仍然是“友好二次函数”，则的范围是_______． 【答案】 【分析】（1）根据友好二次函数的定义先确定，再结合顶点为求出的解析式，联立与的方程求公共点即可得解； （2）写出平移后的解析式，利用友好二次函数需要两个不同公共点的条件，通过一元二次方程判别式求解的范围. 【详解】解：（1）对于二次函数，令，解得或， ∵点在点左侧， ∴； 由题意，，， ∴， ∴的顶点为， ∴， ∴， ∵，代入，解得； ∴的解析式为； 联立，消去整理得，解得； 对应公共点，当时，， ∴另一个公共点坐标为； （2）将向下平移个单位得， 的解析式为， ∴，满足友好二次函数的第一个条件， 若为友好二次函数，则两函数有两个不同公共点，联立方程得： ， 整理得， ∴该一元二次方程有两个不相等实数根， ∴， 解得， 又∵， ∴. 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）已知抛物线． (1)若抛物线经过点，求的值． (2)若抛物线经过点，，求的值． (3)若点，，都在抛物线上，且．求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入抛物线的解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （2）先根据抛物线的一般式求出对称轴的表达式，再利用纵坐标相同的两点关于抛物线对称轴对称的性质，得出对称轴为两点横坐标的平均数，建立关于的方程，解方程求出的值； （3）先由、两点纵坐标相同，利用抛物线的对称性求出对称轴，进而得到与的关系式，再确定抛物线与轴的交点坐标及其关于对称轴的对称点坐标，结合抛物线开口向上的增减性，分情况讨论点、的位置，排除无解的情况，根据的条件列出不等式，求解得到的取值范围，最后代入与的关系式，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入解析式，得 ， 解得； （2）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为：， ∵抛物线经过点，，点和点纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为： ∴； （3）解：∵抛物线， ∴抛物线对称轴为：， ∵点， 都在抛物线上，点和点纵坐标相同， ∴抛物线对称轴为： ∴， ∴抛物线与轴交点为，且关于对称轴对称的点为， 分两种情况讨论： ①若点，都在对称轴右侧的抛物线上， ∵， ∴随增大而增大， ∵， ∴，不等式组无解； ②若点，都在对称轴左侧的抛物线上， 随增大而减小 ∵， ∴ 解得， ∴． 综上，． 18．（8分）（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）对于一个函数，当时，函数有最大值与最小值，且最大值与最小值的和为0，则称这个函数为平衡函数．请结合上述定义，探究下列关于函数．的问题． (1)当时， ①求该函数的最值． ②判断该函数是不是平衡函数，并说明理由． (2)若函数是平衡函数，求a的取值范围． 【答案】(1)①该函数的最大值为2，最小值为； ②是，理由： 由①可知函数图象的对称轴是直线，开口向上． 当时，y随着x的增大而减小， ∴当时， ，当时，．      ∴该函数是平衡函数． (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质、最值求解及新定义“平衡函数”的应用，解题的关键是根据对称轴位置分类讨论二次函数在给定区间上的最大值与最小值． （1）①将代入函数解析式，配方后求出区间内的最大值与最小值；②求出区间内的最大值与最小值，验证其和是否为0，判断是否为平衡函数； （2）将函数配方得对称轴为，按、、、分类讨论最值，结合最大值与最小值和为0求出的取值范围． 【详解】（1）解：①当时， 当时，函数y有最小值． 当时，函数y有最大值． ②略 （2）解：， ∴函数图象的对称轴是直线，开口向上． ∵， ∴就a的范围可以分下列几种情况： 当时，y随着x的增大而增大． ∴y在处取最小，即在处取最大，即．． ∵ ， ∴满足题意． 当且，即当时， y在处取最小，即y在处取最大． ∵该函数是平衡函数， 解得（不合题意，舍去）． 当且，即当时， y在处取最小，即．y在处取最大，． ∵该函数是平衡函数， 解得（不合题意，舍去） 当时，y随着x的增大而减小． y在处取最大，即在处取最小，．      ∴满足题意． 综上所述，或． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线过点，求出抛物线的解析式． (2)已知直线与抛物线存在两个交点，若两交点到轴的距离相等，求的值； (3)如图，作与抛物线关于轴对称的抛物线，当抛物线与抛物线围成的封闭区域内（不包括边界）共有个横、纵坐标均为整数的点时，求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称的性质，解不等式组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据待定系数法即可求解； （）直线及抛物线与轴的交点都是，则可知另一交点坐标为，然后代入抛物线解析式即可求解； （）根据题意列出由题意得，然后不等式组即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵直线及抛物线与轴的交点都是， ∴直线与抛物线的两个交点到轴的距离都是，且其中一个交点坐标为， ∴另一个交点的纵坐标为， 当时，由，得， ∴另一交点坐标为， 把代入得， 解得； （3）解：由题意可知，抛物线与抛物线围成的封闭区域是以轴为对称轴的轴对称图形， ∴该区域内轴上有三个横、纵坐标均为整数的点，轴的下方和上方各有四个这样的点，且两两关于轴对称，如图所示： 对于抛物线，当时，， 当时，， 由题意得， 解得． 20．（8分）（2026·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 【答案】(1)（） (2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克；②15 【分析】（1）根据点是描述与关系的抛物线的顶点，则设，将点代入即可求解； （2）①根据二次函数的性质得到当时，取得最大值，此时，求出当时，的值，计算即可求解； ②根据二次函数的性质求出，的最大值，即可得到m的值，令，求出y的最大值，即可得到n的值，计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，点是描述与关系的抛物线的顶点， 设， 点在描述与关系的抛物线上， ，解得， 与的函数关系式为； （2）解：①． ∴，开口向下， 又， 当时，取得最大值，此时． 两种麦田每亩施氮量相同， 当时，， 此时． 答：当低肥力麦田每亩产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克． ②∵，， ∴的最大值为646，的最大值为309． ． 令 ， 当时，有最大值，为940． ， ． 21．（8分）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为（其中k为实数）． (1)当该函数图象经过原点时，求k的值； (2)当时，将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； (3)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当的面积为3时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入解析式计算即可得出结果； （2）当时，，求出点的坐标为，由二次函数图象的平移法则可得新的抛物线的解析式为，将代入，计算即可得出结果； （3）求出，令，则，，由一元二次方程根与系数的关系可得，，求出，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵该函数图象经过原点， ∴将代入解析式得， 解得； （2）解：当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线的解析式为， 将代入得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧）， ∴令，则，， ∴，， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， 当时，解得， 当时，此时无解， 综上所述，． 22．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为B．抛物线关于x轴对称的抛物线为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，点D是抛物线在第四象限上的一点，连接．若，求点D的坐标； (3)当时抛物线与时抛物线组成新的函数G，函数G的图象上有不重合的两点P和Q，点P和点Q的横坐标分别为和，若函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）求得的解析式和直线的解析式，再设点的横坐标为，根据题意列方程即可解答； （3）设的顶点为，过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点，求得的横坐标为，根据题意确定的位置，列不等式组即可解答． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：， 抛物线的顶点为， 抛物线关于x轴对称的抛物线为， 抛物线的顶点为，与轴交点为， ， 把代入可得， 解得， ， 令， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴交于点， 设，， ， ，， ， ， 解得（负数舍去）， ， ； （3）解：如图，设的顶点为，过点作轴的平行线，交对称轴左侧图象于点， 令， 解得，， 在对称轴左侧， 点的横坐标为， 当时，， 要使函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关， 则点要在函数G的段，点要在函数G的段，如图， 即， 解得； 当时，， 同理，点要在函数G的段，点要在函数G的段，如图， 即， 解得； 综上，或． 23．（10分）如图，已知抛物线：与轴交于点，点（在的左侧），与轴交于点．是关于轴对称的抛物线． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线与轴交于点，点是抛物线的一个动点，过点作轴的垂线交所在的直线于点．当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出A，B，C点坐标，由是关于轴对称的抛物线，可知C点关于x轴的对称点和点A，点B在抛物线上，利用待定系数法即可求解； （2）先根据待定系数法求出直线的解析式，设，，则，再分为平行四边形的边、对角线两种情况，利用平行四边形的性质分别计算即可． 【详解】（1）解：抛物线：中， 令，则， ， 令，则， 解得，， 在的左侧， ，， 是关于轴对称的抛物线， ，在抛物线上， 设抛物线与轴交于点， ， ， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得， ， 即抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 点是抛物线的一个动点， 设， 轴交于点， ， 则， 当为平行四边形的边时， 则，即， 当时，，解得， 当时，，该方程无解， ， 当时，， 当时，， 或； 当为平行四边形的对角线时， ， 点O是的中点， 轴， ，在y轴同侧， 这种情况不存在， 综上可知，或． 24．（12分）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．将抛物线沿直线向右下方平移，得到函数的图象，则称函数为函数的“关联函数”． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象，其顶点恰好是点． ①若点在函数的图象上，且到轴的距离小于或等于，求点的纵坐标的取值范围； ②如图，若点在函数的图象上，且在第二象限内，连接并延长，交抛物线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，以，为邻边作矩形，与射线交于点，设矩形与矩形的周长分别为，．求证：为定值； (3)将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象．若函数的图象恰好经过点，当时，的最大值为，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①； ②证明：设直线的解析式为， 将点代入，得， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 整理，得， 解得或， ∴， 联立直线与抛物线，得， ， 整理，得， 解得或， ∴， ∵轴，轴，点在第二象限， ∴，， ∵矩形的周长，矩形的周长， ∴，为定值， 即为定值； (3)或 【分析】（1）使用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出点的坐标即可； （2）①先根据平移规律和顶点坐标求出，利用二次函数的增减性求出的取值范围；②设直线的解析式为，将直线分别与抛物线和抛物线联立，计算得，，从而得到，，求出两个矩形的周长，再作差即可证明； （3）由平移方向可设，代入可得，因此．分为，和三类讨论，结合二次函数的增减性与最值，求出符合要求的的值． 【详解】（1）解：将点，代入，得， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 令，即， ∴， 解得或， ∴点的坐标为； （2）解：①，顶点为， ∵将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象，其顶点恰好是点， ∴平移方式为：向右平移个单位，向下平移个单位， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线，图象开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴直线越近，函数值越大， ∴越小，越大， 又∵点到轴的距离小于或等于，即， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值； 综上，点的纵坐标的取值范围为； ②略； （3）解：∵抛物线沿直线向右下方平移， ∴等价于向右平移个单位，同时向下平移个单位， ∴平移得到的抛物线为， 将点代入，得， ， 整理，得， 解得或（不符题意，舍去）， ∴，该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ①当，即时，区间在对称轴的左侧， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值， ∴， 解得或（与矛盾，舍去）； ②当，即时，区间在对称轴的右侧， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， ∴， 解得或（与矛盾，舍去）； ③当，即时，区间包含， ∴抛物线在顶点处取得最大值，与题意矛盾； 综上所述，的值为或． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）已知是二次函数，则（ ） A．a不为零 B．b不为零 C．c不为零 D．a，b，c均不为零 2．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（ ） 解：∵ …………① ………………② ∴抛物线的顶点坐标为………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 4．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ） A． B． C． D． 5．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（ ） A．18 B． C．9 D． 7．（2026·福建三明·三模）将抛物线 进行平移得抛物线 ，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北衡水·期末）已知二次函数的图象经过点，则下列三名同学的说法中正确的是（    ） 甲：存在实数，使得． 乙：对任意实数，都有． 丙：不存在实数，使得． A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．三人都不正确 9．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）已知两个整式：，，下列说法： ①当时，所得的结果不含一次项； ②若，则或； ③当时，如果关于的方程有解，那么； ④当时，对任意的实数，都有恒成立． 其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·广西崇左·期末）是一个开口向下的二次函数，那么__． 12．（25-26九年级上·江西上饶·期末）在适宜环境中，某实验种群的数量（单位：只）与培养时间（单位：天）满足二次函数关系（受环境承载力限制，后期呈负增长趋势）．该种群数量达到最大值时的培养时间为___________天． 13．已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 14．（2026·广西·一模）如图，是抛物线与的公共顶点，过点的直线与抛物线，的另一个交点分别为，，若，则的值是____________． 15．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 16．点在二次函数（为常数）的图象上， ．当时，二次函数的最大值与最小值的差为______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）定义：关于自变量的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为“增函数”，当，时，都有，称该函数为“减函数”． 【例题】证明：函数 （x是任意实数）是“减函数”， 证明：设，则， 因为，所以， 所以， 所以，因此该函数是“减函数”． (1)根据定义可以判断函数（x是任意实数）是“______函数”（填“增”或者“减”）； (2)根据例题，请判断函数在自变量时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由． 18．（8分）如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的值 (3)若点，在此抛物线上，比较与的大小． 19．（8分）如图，直线与抛物线交于两点（点在点的左侧）． (1)求两点的坐标； (2)记抛物线的顶点为A，求的面积． 20．（8分）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 21．（8分）（25-26九年级上·陕西榆林·期末）垂榆的枝条柔软细长，因其对有害气体具有较强的抗性，被广泛用于城市街道、小区等场所，某小区空地处的一棵垂榆中某一枝的形状呈如图所示的抛物线形，已知这支垂榆在距离树干的水平距离为时，达到最高点，枝条的末端B到树干底部的水平距离，以地面所在直线为x轴，树干所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．（注：树干近似看作直线，且与地面垂直，无风，枝条不动） (1)求这支垂榆所在抛物线的函数表达式； (2)身高的小明站在距离树干多少米时，头顶刚好碰到这支垂榆？ 22．（10分）二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 23．（10分）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． (1)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 24．（12）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 二次函数·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（ ） A． B． C． D． 2．已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D．当或时， 3．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（ ）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 4．二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如表，且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①；②；③和3是关于的方程的两个根；④．其中，正确结论的个数是（ ） … 0 1 2 … … … A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知点、是二次函数图像上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（2026·江西·中考真题）如图，观察函数的图象，可以发现方程在0，1之间有根．取0，1的平均数0.5，当时，，进一步可知这个根在0.5和1之间，则与方程另一根更接近的是（ ） A． B． C． D． 7．若为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 8．将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（ ） A．当时，函数有最大值 B．当时，随的增大而增大 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．图象与轴的交点坐标为 9．小雨同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于轴对称的图象，得到新的图象（如图所示）．若点 ，，，，，都在图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则…的值是（ ） A． B． C． D． 10．已知二次函数与的图像均过点和坐标原点，这两个函数在时形成的封闭图像如图所示，为线段的中点，过点且与轴不重合的直线与封闭图像交于，两点．给出下列结论： ①；②二次函数和图像关于轴对称；③；所有正确结论的个数是（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 12．二次函数中，，，，则其图象不经过第 _____ 象限． 13．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，关于的二次函数的图像为抛物线，直线与抛物线交于，两点，过抛物线的顶点作轴的平行线，过，分别作的垂线，垂足为，．若四边形为正方形，则_________． 14．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线向右平移m（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则m的值为______． 15．在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于直线对称，可看作是由L向右平移4个单位长度所得，那么m的值为______． 16．定义：如果二次函数：（，，，为常数）与：（，，，为常数）满足，且图象过相同的两个点，那么称这两个函数，为“友好二次函数”．二次函数：的图象与轴交于，两点，且点在点的左侧，若二次函数是的“友好二次函数”，且的顶点是点． （1），的另一个公共点坐标为_______； （2）若将二次函数的图象向下平移个单位得到，，仍然是“友好二次函数”，则的范围是_______． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分）已知抛物线． (1)若抛物线经过点，求的值． (2)若抛物线经过点，，求的值． (3)若点，，都在抛物线上，且．求的取值范围． 18．（8分）（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）对于一个函数，当时，函数有最大值与最小值，且最大值与最小值的和为0，则称这个函数为平衡函数．请结合上述定义，探究下列关于函数．的问题． (1)当时， ①求该函数的最值． ②判断该函数是不是平衡函数，并说明理由． (2)若函数是平衡函数，求a的取值范围． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线过点，求出抛物线的解析式． (2)已知直线与抛物线存在两个交点，若两交点到轴的距离相等，求的值； (3)如图，作与抛物线关于轴对称的抛物线，当抛物线与抛物线围成的封闭区域内（不包括边界）共有个横、纵坐标均为整数的点时，求出的取值范围． 20．（8分）（2026·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量（千克）与每亩施氮量（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中．设中肥力麦田每亩的产量为（千克），低肥力麦田每亩的产量为（千克）．已知点，，均在描述与关系的抛物线上，且点是这条抛物线的顶点． (1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式； (2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量与的函数关系式为． ①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差； ②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为千克．经判断小于，请直接写出与的差． 21．（8分）在平面直角坐标系中，已知二次函数的表达式为（其中k为实数）． (1)当该函数图象经过原点时，求k的值； (2)当时，将该抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，两抛物线交于y轴上的点M，求h的值； (3)设抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为C，当的面积为3时，求k的值． 22．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴的另一个交点为B．抛物线关于x轴对称的抛物线为． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图②，点D是抛物线在第四象限上的一点，连接．若，求点D的坐标； (3)当时抛物线与时抛物线组成新的函数G，函数G的图象上有不重合的两点P和Q，点P和点Q的横坐标分别为和，若函数G的图象上点P和点Q之间部分（包括点P和点Q）的最大值和最小值均与t的取值无关，求t的取值范围． 23．（10分）如图，已知抛物线：与轴交于点，点（在的左侧），与轴交于点．是关于轴对称的抛物线． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线与轴交于点，点是抛物线的一个动点，过点作轴的垂线交所在的直线于点．当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标． 24．（12分）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．将抛物线沿直线向右下方平移，得到函数的图象，则称函数为函数的“关联函数”． (1)求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标； (2)将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象，其顶点恰好是点． ①若点在函数的图象上，且到轴的距离小于或等于，求点的纵坐标的取值范围； ②如图，若点在函数的图象上，且在第二象限内，连接并延长，交抛物线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，，以，为邻边作矩形，与射线交于点，设矩形与矩形的周长分别为，．求证：为定值； (3)将抛物线沿直线向右下方平移一定单位长度后，得到“关联函数”的图象．若函数的图象恰好经过点，当时，的最大值为，直接写出的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $