第1章 二次函数 题型突破 2025-2026学年浙教版九年级数学上册（十二题型）

第1章二次函数题型突破2025-2026学年 浙教版九年级上册（十二题型） 题型一：二次函数的定义 1.下列关于x的函数一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2.二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 3.若函数是二次函数，则的值是 ． 题型二：二次函数的图像和性质 1.抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．轴 2.若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3.已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.已知二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5.关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．开口向上 B．与x轴有一个交点 C．对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而减小 6.二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．二次函数的最小值是 题型三：二次函数的图像与系数的关系 1.二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4.如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5.如图，抛物线的开口向上，经过点和且与y轴交于负半轴．则下列结论：①，②；③；④；其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 题型四：二次函数的平移问题 1.将抛物线y=3x2向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（　　） A. y=3x2﹣2 B. y=3x2 C. y=3（x+2）2 D. y=3x2+2 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A. y=3（x+1）2+2 B. y=3（x+1）2﹣2 C. y=3（x﹣1）2+2 D. y=3（x﹣1）2﹣2 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线顶点坐标是（ ）． A. B. C. D. 4. 把抛物线向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为__________． 5.把二次函数的图象向上平移4个单位，则得到的抛物线解析式为_______． 题型五：二次函数的交点问题 1．抛物线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2.抛物线与轴的一个交点坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3.二次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知抛物线（m是常数）与x轴仅有一个交点，且与y轴交于正半轴，则m的值为（    ） A．－7或1 B．－1 C．－7 D．1 题型六：二次函数的最值与求参数范围问题 1．二次函数y=x2-2x+3的最小值是（　　） A．-2 B．2 C．-1 D．1 2．若，，且，的最小值为m，最大值为n，则（   ） A． B． C． D．2 3.函数的最大值与最小值分别是（   ） A．1和 B．5和 C．4和 D．5和 4．已知关于x的二次函数，当时，y在时取得最大值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值 题型七：一次函数和二次函数图象综合判断 1.一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 2.函数与在同一坐标上的图象大致是（    ） A．B． C． D． 3.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝（2a+c）x在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 题型八：二次函数与不等式 1．如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 2.抛物线如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3.如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 4．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 5．如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．      题型九：二次函数面积问题 1.小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm． （1）设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式； （2）设菜园的面积为Sm2，求S与x的函数关系式，并求出当S＝546时x的值； （3）小明计算出菜园的最大面积是600m2，小明计算的对吗？请说明理由． 2．甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． (1)如图1，当时， ①________米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． (2)如图2，当时，求养鸡场可达到的最大面积． 3.如图，用一段长为的围栏，围成一边靠墙的三块矩形区域种植花卉，墙长为．矩形与矩形的面积相等，矩形与矩形的面积相等．设长为长为，矩形的面积为． (1)直接写出与x，z与之间的函数关系式； (2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？ (3)若需要对矩形和矩形区域进行装修改造，单价分别为64元和40元．受资金投入限制，改造总费用不能超过11520元，请直接写出的取值范围． 题型十：二次函数的利润问题 1.某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售． （1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 2.网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件30元，每天销售（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为元，网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于220件 （1）求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ （3）如果每天的利润不低于3000元，求销售单价（元）的取值范围 3.“骑车戴头盔，放心平安归”．越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行车安全．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨价多少元？ (3)该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 题型十一：生活中的抛物线问题 1.如图，小明参加运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度（米）与水平距离（米）间的函数关系式为，则小明掷铅球的成绩为（    ）米． A．3米 B．4米 C．9米 D．10米 2.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当小球达到最高点时，飞行时间t为（    ） A．2 B．1 C．20 D．5 3.苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 4.一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 题型十二：二次函数与几何综合问题 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论； （3）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标及△ACM的周长． 2.如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式． (2)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． (3)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】 第1章二次函数题型突破2025-2026学年 浙教版九年级上册（十二题型） 题型一：二次函数的定义 1.下列关于x的函数一定为二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2.二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】A 3.若函数是二次函数，则的值是 ． 【答案】4 题型二：二次函数的图像和性质 1.抛物线的对称轴是（   ） A．直线 B．直线 C．轴 D．轴 【答案】D 2.若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3.已知函数，当函数值随的增大而减小时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 4.已知二次函数，当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 5.关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A．开口向上 B．与x轴有一个交点 C．对称轴是直线 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 6.二次函数，自变量x与函数y的对应值如下表： x … 0 … y … 4 0 0 4 … 下列说法正确的是（    ） A．抛物线的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时， D．二次函数的最小值是 【答案】C 题型三：二次函数的图像与系数的关系 1.二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 2.如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 3.抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 4.如图，抛物线的对称轴为直线．下列说法：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④（t为任意实数）．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 5.如图，抛物线的开口向上，经过点和且与y轴交于负半轴．则下列结论：①，②；③；④；其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】 题型四：二次函数的平移问题 1.将抛物线y=3x2向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是（　　） A. y=3x2﹣2 B. y=3x2 C. y=3（x+2）2 D. y=3x2+2 【答案】D 2. 在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（　　） A. y=3（x+1）2+2 B. y=3（x+1）2﹣2 C. y=3（x﹣1）2+2 D. y=3（x﹣1）2﹣2 【答案】C 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线顶点坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 4. 把抛物线向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为__________． 【答案】 5.把二次函数的图象向上平移4个单位，则得到的抛物线解析式为_______． 【答案】## 题型五：二次函数的交点问题 1．抛物线与轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2.抛物线与轴的一个交点坐标为，则此抛物线与轴的另一个交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3.二次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 4．已知抛物线（m是常数）与x轴仅有一个交点，且与y轴交于正半轴，则m的值为（    ） A．－7或1 B．－1 C．－7 D．1 【答案】C 题型六：二次函数的最值与求参数范围问题 1．二次函数y=x2-2x+3的最小值是（　　） A．-2 B．2 C．-1 D．1 【答案】B 2．若，，且，的最小值为m，最大值为n，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 3.函数的最大值与最小值分别是（   ） A．1和 B．5和 C．4和 D．5和 【答案】D 4．已知关于x的二次函数，当时，y在时取得最大值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 5.已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值 【答案】A 题型七：一次函数和二次函数图象综合判断 1.一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2.函数与在同一坐标上的图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 3.二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝（2a+c）x在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 题型八：二次函数与不等式 1．如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 2.抛物线如图所示，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 3.如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 4．如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解是 ． 【答案】 5．如图，一次函数与二次函数的图象相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．      【答案】 题型九：二次函数面积问题 1.小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm． （1）设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式； （2）设菜园的面积为Sm2，求S与x的函数关系式，并求出当S＝546时x的值； （3）小明计算出菜园的最大面积是600m2，小明计算的对吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）小明计算的不对 【解答】解：（1）根据题意知，y＝＝﹣x+40， 故y与x之间的函数关系式为； （2）根据题意得，S＝＝， 当S＝576时，＝546， 解这个方程，得x1＝21，x2＝39， ∵x≤24， ∴当S＝546时，x＝21； （3）小明计算的不对， 理由：∵S＝＝， ∵， ∴当x≤24时，S随x的增大而增大． ∴当x＝24时，S最大，此时S＝576＜600． ∴小明计算的不对． 2．甲同学家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设长为x米． (1)如图1，当时， ①________米（用含x的代数式表示）． ②若围成的养鸡场面积为平方米，求的长． (2)如图2，当时，求养鸡场可达到的最大面积． 【答案】(1)①②米 (2)平方米 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．理解题意列出二次函数并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． ①根据图形和条件确定边长表达式；②根据面积公式列出方程求解并关联题意即可解答； 根据面积公式列出方程求解以及利用二次函数性质求最值． 【详解】（1）解：① ②， 解得，． ， 的长为23米． （2）解：， 养鸡场的面积． ， ． 当时，养鸡场面积可以达到最大值平方米． 3.如图，用一段长为的围栏，围成一边靠墙的三块矩形区域种植花卉，墙长为．矩形与矩形的面积相等，矩形与矩形的面积相等．设长为长为，矩形的面积为． (1)直接写出与x，z与之间的函数关系式； (2)当为何值时，有最大值？最大值是多少？ (3)若需要对矩形和矩形区域进行装修改造，单价分别为64元和40元．受资金投入限制，改造总费用不能超过11520元，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，有最大值，最大值是420 (3) 【详解】（1）∵矩形与矩形的面积相等，矩形与矩形的面积相等，设长为，长为 ∴， ∵用一段长为的围栏 ∴ ∴； ∴矩形的面积； （2）由（1）可得． ，即． 抛物线的开口向下． 对称轴 当时，随的增大而减小． 当时，有最大值，最大值是420． （3）解：矩形的面积为，矩形的面积为， 设改造总费用为w ∵单价分别为64元和40元 ∴ 当时， 整理得， 解得， ∵改造总费用不能超过11520元，且 ∴． 题型十：二次函数的利润问题 1.某商店将成本为每件60元的某商品标价100元出售． （1）为了促销，该商品经过两次降低后每件售价为81元，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； （2）经调查，该商品每降价2元，每月可多售出10件，若该商品按原标价出售，每月可销售100件，那么当销售价为多少元时，可以使该商品的月利润最大？最大的月利润是多少？ 【答案】解：（1）根据题意得：100（1﹣x）2＝81， 解得：x1＝0.1，x2＝1.9， 经检验x2＝1.9不符合题意， ∴x＝0.1＝10%， 答：每次降价百分率为10%； （2）设销售定价为每件m元，每月利润为y元，则 y＝（m﹣60）[100+5×（100﹣m）]＝﹣5（m﹣90）2+4500， ∵a＝﹣5＜0， ∴当m＝90元时，w最大为4500元． 答：（1）下降率为10%；（2）当定价为90元时，w最大为4500元． 2.网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件30元，每天销售（件）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为元，网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于220件 （1）求与之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）； （2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？ （3）如果每天的利润不低于3000元，求销售单价（元）的取值范围 【答案】（1） （2）当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元 （3） 【小问1详解】 解：设， 由图象可知，直线过点， 则：，解得：， ∴； 【小问2详解】 由题意，得：， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元； 【小问3详解】 ∵， ∴当时，， 解得：， ∵每天的利润不低于3000元，抛物线的开口向下， ∴， ∵网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于220件， ∴， ∴， ∴． 3.“骑车戴头盔，放心平安归”．越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行车安全．某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出350个，六月份售出504个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨价多少元？ (3)该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌的每个头盔应涨价5元 (3)该品牌头盔每个涨价元时，月销售利润最大，最大利润是6125元 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔每个应涨价元． 由题意，得， 整理得， 解得，． ∵要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该品牌的每个头盔应涨价5元； （3）解：设该品牌头盔每个涨价元，利润为元． 由题意得， ， ∴当.时，月销售利润最大，最大值为6125． 答：该品牌头盔每个涨价元时，月销售利润最大，最大利润是6125元． 题型十一：生活中的抛物线问题 1.如图，小明参加运动会投掷铅球比赛，已知铅球的行进高度（米）与水平距离（米）间的函数关系式为，则小明掷铅球的成绩为（    ）米． A．3米 B．4米 C．9米 D．10米 【答案】C 2.根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是，当小球达到最高点时，飞行时间t为（    ） A．2 B．1 C．20 D．5 【答案】A 3.苏州自古以桥梁之盛闻名内外，素有东方威尼斯之称．如图是抛物线形拱桥，当拱顶距水面时，水面宽，水面下降，水面宽度增加 ． 【答案】 4.一座隧道的截面由抛物线和长方形组成，长方形的长为8m，宽为2m，隧道的最高点P位于的中央且距地面6m，建立如图所示的坐标系． (1)求抛物线的解析式． (2)一辆货车高4m，宽2m，能否从该隧道内通过，为什么？ (3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？ 【答案】(1) (2)可以通过 (3)可以通过 【详解】（1）解：由题意可知抛物线的顶点坐标， 设抛物线的方程为， 又因为点在抛物线上， 所以有． 所以． 因此抛物线为：． （2）解：令，则有， 解得，， ， ∴货车可以通过； （3）解：由（2）可知 ， ∴货车可以通过． 题型十二：二次函数与几何综合问题 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论； （3）点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标及△ACM的周长． 【答案】（1）解：∵点A（﹣1，0）在抛物线上， ∴×＋b×（﹣1）﹣2＝0， 解得：b＝﹣， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点D的坐标为：（，﹣）； （2）解：当x＝0时y＝﹣2， ∴C（0，﹣2），OC＝2， 当y＝0时，即， 解得：＝﹣1，＝4， ∴B（4，0）， ∴OA＝1，OB＝4， ∴AB＝5， ∵＝25，，， ∴， ∴△ABC是直角三角形； （3）解：如图，连接AM， 点A关于对称轴的对称点为点B，BC交对称轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC＋MA的值最小，最小值为BC的长，即此时△ACM周长最小， 设直线BC解析式为：y＝kx＋d， 代入C（0，﹣2），B（4，0）得：， 解得：， 故直线BC的解析式为：y＝x﹣2， 当x＝时，y＝﹣， ∴M（，﹣）， ∴△ACM最小周长是：AC＋AM＋MC＝AC＋BC＝＋2＝3． 2.如图，关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求二次函数的解析式． (2)有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． (3)在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) 解：把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，得， 解得：， ∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3； (2) 解：如图1，设A运动时间为t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，则DN＝2t， ∴S△MNB（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）2+1， ∴时S△MNB值最大 ∴当M点坐标为（2，0），N点坐标为（2，2）或（2，﹣2）时△MNB面积最大，最大面积是1； (3) 解：令y＝0，则x2﹣4x+3＝0， 解得：x＝1或x＝3， ∴B（3，0）， ∴BC＝3， 点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图2， ①当CP＝CB时，PC＝3， ∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝33 ∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）； ②当BP＝BC时，OP＝OB＝3， ∴P3（0，﹣3）； ③当PB＝PC时， ∵OC＝OB＝3， ∴此时P与O重合， ∴P4（0，0）； 综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，﹣3）或（0，0）． 学科网（北京）股份有限公司 $