精品解析：广东梅州市兴宁市田家炳学校2026-2027学年九年级数学上学期核心素养 试题

九年级数学上册核心素养问答 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A. B. C. D. 4. 如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知方程的一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. −3 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 关于的方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 如图，正方形的对角线与相交于点O，的平分线分别交，于点M，N，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 12. 若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 13. 如图，在中，，，分别为，的中点，点在线段上，，，，则的长是_______． 14. 已知关于的方程．若原方程有两个互为相反数的实数根，则的值是___________． 15. 如图，矩形中，，，点为边的中点，点在边上运动，为的中点，当为等腰三角形时，的长为______． 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程 （1）； （2） 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 18. 已知：如图，把矩形纸片沿折叠后，点与点重合，点落在点的位置上．若． （1）求的度数； （2）求矩形纸片的面积． 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 20. 为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． （1）求每周路程的平均增长率； （2）按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 21. 如图，在正方形中，点是边的中点，连接，． （1）求证：； （2）若正方形的边长为，求的周长． 五、解答题（三）：（本大题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 22. 如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点O，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． （1）填空： ， ．（用含的代数式表示） （2）当五边形的面积等于时，求此时的值． （3）是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上册核心素养问答 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分这一性质做题即可． 【详解】解：矩形的对角线互相平分且相等，不垂直，不平分一组对角；菱形的对角线互相平分且垂直，平分一组对角，对角线不相等；正方形的对角线同时具备矩形和菱形对角线的所有性质， 矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，且是整式方程． 【详解】解：A、只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程，符合一元二次方程定义； B、未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合要求； C、含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D、分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求． 3. 把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开方程左边，再移项合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵ 展开左边得 移项得 合并同类项得． 4. 如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质，等腰三角形性质求解即可． 【详解】解：∵矩形，对角线，相交于点， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 5. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形和等边三角形的性质可得，，，进而求出和的度数，利用等腰三角形性质求出和，最后利用三角形内角和求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵是等边三角形，  ∴，， ∴，， ∴， 同理， 在中，，， ∴， 同理， ∴，， 在中，． 6. 已知方程的一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. −3 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程根的定义，方程的根可使方程左右两边相等将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得， ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式即可判断根的情况． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 8. 如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质，证明是等边三角形，再利用三角形中位线求解即可； 【详解】解：菱形的对角线交于点， ， 是等边三角形， ， 点为的中点， ． 9. 关于的方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】分为和两类讨论，结合根的判别式求出的取值范围． 【详解】解：①当时，该方程为关于的一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴且； ②当时，该方程为关于的一元一次方程， 原方程为，有实数根，符合题意； 综上所述，的取值范围为． 10. 如图，正方形的对角线与相交于点O，的平分线分别交，于点M，N，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点M作于点E，根据正方形的性质可得为等腰直角三角形，从而得到，再由角平分线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作于点E， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 第Ⅱ卷 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ∴或， 解得，， ∵方程的两个根分别是和， ∴． 12. 若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将代入原方程，求出的值，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程（）的解， ， 整理得 ， ． 13. 如图，在中，，，分别为，的中点，点在线段上，，，，则的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线得，继而得到，，然后再利用勾股定理得到，求解即可． 【详解】解：，分别为，的中点， ，， ， ， 为的中点，，， ， ， ， ， ． 14. 已知关于的方程．若原方程有两个互为相反数的实数根，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】原方程有两个实数根，故为一元二次方程，二次项系数不为，由两根互为相反数得两根之和为，利用根与系数的关系求出，再验证判别式大于，即可得到的值． 【详解】解：原方程有两个互为相反数的实数根， 原方程为一元二次方程，即； 设方程的两根为，由两根互为相反数得， 对于一元二次方程，根据根与系数的关系得 ， ． ， ，解得 由， 将代入得，满足方程有两个实数根的条件，符合题意． 15. 如图，矩形中，，，点为边的中点，点在边上运动，为的中点，当为等腰三角形时，的长为______． 【答案】或4或 【解析】 【分析】连接，由点为的中点，点为的中点，得，且，由矩形的性质得，，，则，再分三种情况讨论，，则，求得，则；当时，连接，可证明，则，所以，则四边形是矩形，所以，当时，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 点为的中点，点为的中点， ，且， 四边形是矩形，，， ，，，， 如图1，为等腰三角形，且， ， ， ； 如图2，为等腰三角形，且，连接， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ； 如图3，为等腰三角形，且， ，，且， ， ， ， 综上所述，的长为或4或. 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程 （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ∴，； 【小问2详解】 解： ∴， 17. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，代入求解即可． （2）根据根与系数的关系得出，，代入到，得出关于m的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， 将，，代入， ∴，即， ∴， 解得， 由（1）知， ∴． 18. 已知：如图，把矩形纸片沿折叠后，点与点重合，点落在点的位置上．若． （1）求的度数； （2）求矩形纸片的面积． 【答案】（1）的度数为，的度数为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用矩形对边平行的性质，得到内错角相等，结合折叠前后对应角相等的性质，可推导的度数，再利用平角为的性质计算的度数． （2）先在直角三角形中，结合的度数与的长度，利用直角三角形的边角关系求出和的长度．然后根据折叠的性质得到对应边相等，可知与长度相等，再求出的长度，再根据矩形面积公式计算矩形的面积． 【小问1详解】 解：∵ 四边形是矩形， ∴，， ∴． 根据折叠性质，折叠前后对应角相等， ∴． ∴． 在中，． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴． 由勾股定理得：​． 根据折叠性质，得， ∴． ∴矩形面积​． 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19. 关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于3，求m的取值范围． 【答案】（1）证明：， ， 不论m取何值，方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）利用因式分解法解方程得，，再结合“有一个根小于3”列不等式求解即可． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：， ， ， 则或， 解得：，， 方程有一个根小于3， ， ． 20. 为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． （1）求每周路程的平均增长率； （2）按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】（1）设每周路程的平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可； （2）结合（1）的结论，在第三周的基础上，列式计算即可． 【小问1详解】 解：设每周路程的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：每周路程的平均增长率为． 【小问2详解】 解： （米）， 答：预测第五周王大伯行走的总路程是米． 21. 如图，在正方形中，点是边的中点，连接，． （1）求证：； （2）若正方形的边长为，求的周长． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴ ∵点是边的中点， ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质结合即可证明； （2）先对运用勾股定理求解，然后由全等三角形的性质即可得到的长度，即可求解的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形 ∴ ∵点是边的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的周长． 五、解答题（三）：（本大题共2小题，共27分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 22. 如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点O，且，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵ 四边形是矩形， ∴， ∴，． 在和 中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）因为矩形对边平行，所以可得内错角相等，结合已知，可通过证明 和全等，得到． （2）连接，因为等腰三角形 中，所以根据等腰三角形三线合一可得，结合（1）可知，，根据斜边上的中线等于斜边的一半，则有，进而得到 ．结合，利用直角三角形两锐角互余的性质，可推出的度数．最后结合勾股定理，即可求出的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴ ，即． 设 ，则， ∴ ， 即， ， ∴  ． ∵四边形是矩形，， ∴，， 由得，即是矩形对角线 的中点， ， ∴ ，即． 在中，，即， 解得，即． ∵， ∴， 由勾股定理得：． 23. 如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． （1）填空： ， ．（用含的代数式表示） （2）当五边形的面积等于时，求此时的值． （3）是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 （3）存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 【小问2详解】 解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． 【小问3详解】 解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $