精品解析：黑龙江依安县第三中学2026-2027学年上学期10月阶段检测八年级数学试卷

2026-2027学年度上学期月考 八年级数学试卷 一、选择题 1. 下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，分别对A、B、C、D各选项的线段进行判断即可得答案． 【详解】解：A、∵， ∴不能组成三角形，故A错误． B、∵， ∴不能组成三角形，故B错误． C、∵， ∴不能组成三角形，故C错误． D、∵， ∴能组成三角形，故D正确． 2. 下列说法正确的有（ ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点； ③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】区分三角形的角平分线与角的平分线，明确不同类型三角形高的位置，结合相关性质逐一判断各说法即可． 【详解】解：①∵三角形的角平分线是线段，不是射线，∴该说法错误.； ②∵三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于同一点，∴该说法正确.； ③∵钝角三角形有两条高在三角形外部，∴该说法错误； ④∵三角形中线分得的两个三角形等底同高，∴面积相等，该说法正确.． 综上，正确的说法共2个． 3. 与的位置如图所示，点、、在同一条直线上，点在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得，，进而根据三角形的内角和定理求出，最后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】解：，，， ，， ， 平分， ． 4. 如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形判定方法“”即可求解． 【详解】解：∵，， ∴用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是． 5. 已知下图是两个全等三角形，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得到与第一个三角形度数未知的第三个内角相等，再根据三角形内角和定理得到． 【详解】解：∵这两个三角形全等， ∴与第一个三角形度数未知的第三个内角相等，即边之间的夹角， 即． 6. 如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据，，分别是，，的中点，得到，，，继而得到，解答即可． 【详解】解：由，，分别是，，的中点， 得到，，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 7. 如图，是的高线，与相交于点F．若，且的面积为12，则的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用证明，得，再根据三角形面积可得的长，从而可得答案． 【详解】解：是的高线，与相交于点F． ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，且的面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 小明把一副，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质．根据三角形的外角的性质结合角的和与差，计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ，， ， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（ ）． A. B. 1 C. 或 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到点P到达点B的时间为，，然后分两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得，点P到达点B的时间为，， 当时，，， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为1或． 10. 如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（ ） A. ③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意证明，得到，，，可判断①，证明得到，，可判断②③，根据全等三角形的性质可得，，可判断④． 【详解】解：在中，为中线， ， ，， ， ， ， ，，，故①正确； ，，， ， ，即，， ，，故③正确； ， ，故②正确； ，， ，， ， ，故④正确； 综上，正确结论的序号有①②③④， 二、填空题 11. 如图，、．请你添加一个条件________，使得． 【答案】（答案不唯一，如或等）． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定添加条件即可． 【详解】解：， ． ， ，即． 若添加， 在和中， ， ． 若添加， 在和中， ， ． 若添加， 在和中， ， ． 12. 如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】延长到，使得，连接，．由“”可证，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． 是边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 13. 如图，的度数为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据三角形的内角和可得，，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 14. 如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为________． 【答案】22 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义可得这个等腰三角形的三边长分别为，再利用三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的腰长和底边分别为9和4， ∴它的周长为． 15. 在中，，是的高，，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：①当在的内部时，②当在的外部时，根据角的和差求解即可． 【详解】解：①如图，当在的内部时， ∵，， ∴； ②如图，当在的外部时， ∵，， ∴； 综上，或． 16. 如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得的度数，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理即可求出的度数，同样的方法求出的度数，然后归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， 同理可得 ， 归纳类推得，其中n为正整数， ∴． 三、解答题 17. 已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项即可． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，得；，得；，得， ∴原式 ． 18. 已知，分别是的其中两边的长，且，满足关系式． （1）求，的值． （2）若是等腰三角形，请计算的周长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质，求得的值； （2）根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得，， ，． 【小问2详解】 解：是等腰三角形，有两种情况： ①当是腰时，有、、三边，不能构成三角形，故此种情况不成立． ②当是腰时，有、、三边，能构成三角形，故此种情况成立，则． 等腰的周长为． 19. 如图，已知是的角平分线，是的边上的高，与交于点，，，求和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先利用角平分线定义求出，再由高的定义得到直角，求出，最后利用三角形内角和定理求． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是边上的高， ， 即， 在中，， ， 在中，根据三角形内角和为， 则， ． 20. 如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 证明：， （___________） ， ____________________ 即：____________________ 在和中， （_____________） （_____________） ． 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；；；；；全等三角形的对应角相等． 【解析】 【分析】根据平行线的判定与性质，结合全等三角形的判定方法证明即可． 【详解】略． 21. 如图，已知，分别是的边上的高和中线，若，，，． （1）求的长度； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用直角三角形两种面积表示方法进行变形，计算斜边上的高； （2）由中线得到的长，结合高，用面积公式求的面积． 【小问1详解】 解：，是边上的高， ， ， 故． 【小问2详解】 解：∵是边的中线，， ， 由（1）可知， ， 的面积是． 22. 如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可证得结论； （2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴． 23. 如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且，相交于点． （1）找出图中所有与相等的角，并证明； （2）求证：． 【答案】（1） 与相等的角为，，，，． 证明：∵，为线段的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴，； （2） 证明：∵， ∴， 由（1）可知，， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，，结合，根据“直角三角形两锐角互余”可证明；根据，可知，进而证明；根据“两直线平行，内错角相等”，可证明，； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 【答案】（1）， （2） （3）证明：过点D作于点M，过点E作于点N， 由（1）可知，当，，，时， ， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即点G是的中点．   【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到对应边相等； （2）根据全等三角形的判定得到、，从而得到对应边相等，进而根据三角形面积公式和梯形面积公式得到、、、、，最后根据面积之间的和差关系求出图中实线所围成的图形的面积； （3）过点D作于点M，过点E作于点N，由（1）得到、，根据全等三角形的性质得到，再根据全等三角形的判定得到，最后利用全等三角形的性质得到，从而得到结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴，； 【小问2详解】 解：过点E作于点P，过点B作于点G，过点D作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理，， ∴，， ∴， ∴， ， ， ， ， ∴， 答：图中实线所围成的图形的面积为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度上学期月考 八年级数学试卷 一、选择题 1. 下列长度的三条线段（单位：cm），能组成三角形的是（     ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的有（ ） ①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，且交于一点； ③三角形的三条高都在三角形内部；④三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 与的位置如图所示，点、、在同一条直线上，点在边上，且平分，若，，，则的度数是________． 4. 如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知下图是两个全等三角形，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. 24 D. 32 7. 如图，是的高线，与相交于点F．若，且的面积为12，则的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 8. 小明把一副，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于 （ ） A. B. C. D. 9. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（ ）． A. B. 1 C. 或 D. 1或 10. 如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（ ） A. ③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题 11. 如图，、．请你添加一个条件________，使得． 12. 如图，在中，是边的中点，，，，则的取值范围是___________ 13. 如图，的度数为_____________． 14. 如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为________． 15. 在中，，是的高，，则__________． 16. 如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________． 三、解答题 17. 已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简． 18. 已知，分别是的其中两边的长，且，满足关系式． （1）求，的值． （2）若是等腰三角形，请计算的周长． 19. 如图，已知是的角平分线，是的边上的高，与交于点，，，求和的度数． 20. 如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 证明：， （___________） ， ____________________ 即：____________________ 在和中， （_____________） （_____________） ． 21. 如图，已知，分别是的边上的高和中线，若，，，． （1）求的长度； （2）求的面积． 22. 如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 如图，在中，，为边上的点，且，为线段的中点，过点作，过点作，且，相交于点． （1）找出图中所有与相等的角，并证明； （2）求证：． 24. 通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）【模型呈现】如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）[模型应用]如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）[深入探究]如图3，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $