精品解析：辽宁鞍山市岫岩县2026—2027学年八年级上学期10月数学学情调查试题

八年级十月学情调查 数学 （考试时间：90分钟；试卷满分：120分） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，图中直角三角形共有　　 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形. 【详解】解：如图，直角三角形有：△ABC、△ABD、△ACD.故选C. 【点睛】本题考查直角三角形的定义.掌握直角三角形的定义是关键，要做到不重不漏. 2. 如图，在中，，，平分，则的度数是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的性质得出，然后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 3. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】三角形三条中线的交点，叫做它的重心，据此解答即可． 【详解】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点，∴点是重心．故选A． 【点睛】本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的重心是三角形中线的交点． 4. 如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理和全等三角形的性质，根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据全等三角形的对应角相等解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 5. 一副三角板按如图所示位置放置，已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 6. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只有符合全等三角形的判定的条件所画的三角形才是唯一的，则根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A．因为，所以不能画出三角形，故本选项不符合题意； B．不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的一个三角形，故本选项不符合题意； C．符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的一个三角形，故本选项符合题意； D．是斜边，C点在以为直径的圆上动，不能画出唯一的一个三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 7. 如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为（ ） A. 14 B. 21 C. 28 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由是的中点可得，由是的中点可得，，从而得到，再由即可得到答案． 【详解】解：是的中点， ， 是的中点， ，， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了与中线有关的三角形面积的计算，利用题中所给的条件，将面积进行转化是解此题的关键． 8. 如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G；③作射线交边于点D，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由作图方法可得是的角平分线，进而根据，求得，再根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：由题意可知：是的角平分线， ， ． ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查作图—角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和定理，掌握基本作图是解题的关键． 9. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据证明，再根据全等三角形的性质得出，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了用证明三角形全等，解题的关键掌握有一条直角和斜边相等的两个直角三角形全等． 10. 如图，在中，，平分交于点，平分 交于点，交于点．①；②若，则；③；④．则上列说法一定正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的性质与判定以及三角形面积公式： ①利用角平分线定义得到，再用三角形内角和为求解即可； ②证明即可； ③是等高但底不一定相同的三角形，直接用三角形面积公式求解； ④在上截取，连接，先证明得到，再证明即可得到结论． 【详解】解：①， ， 平分，平分 ， ， ， ； ②， ， 平分 ， ， ， ， ， ； ③不一定等于，， 不一定和相等； ④在上截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，正确； 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，能根据三角形的三边关系求出第三边a的取值范围是解答的关键． 根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可． 【详解】解：由题意知：，即， 所以整数a可取4、5、6、7、8中的一个． 故答案为：4（答案不唯一）． 12. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】因为是的平分线，且，所以可求出的度数．因为是的平分线，且，所以可求出的度数，进而得到的度数和的度数，即可计算． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴，． ∵是的平分线，， ∴，． 对，， ∴． 对，， ∴． ∴ ． 13. 如图，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用全等的性质得到，即可得到，再由运算解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， 解得：． 14. 如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，若，则的度数为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，通过证明，得到，，之间的关系，再利用已知角度关系求解即可． 【详解】解：在和中， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴． 15. 如图，中，，，，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点，分别为，上一个动点，则的最小值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】过M作于D，在线段上取一点E，使，连接，，根据角平分线得到，，再证明，得到，则，最后根据点P，Q分别为，上一个动点，得到当P在上，Q与E重合时，最小． 【详解】解：过M作于D，在线段上取一点E，使，连接，， ，为的平分线，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， 当P在上时， 点P，Q分别为，上一个动点， 当P在上，Q与E重合时，最小． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点． （1）的三个顶点是什么?三条边是什么? （2）是哪些三角形的边? 【答案】（1）的三个顶点是点，，，三条边是，， （2）是，，，的边 【解析】 【分析】（1）根据三角形的边和顶点解答即可； （2）根据三角形的边解答即可． 【小问1详解】 解：的三个顶点是点，，，三条边是，，； 【小问2详解】 解：是，，，的边． 【点睛】本题考查三角形，解题的关键是掌握三角形的角和边的概念． 17. 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F． （1）求证：∠AEF＝∠AFE； （2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数． 【答案】 （1）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABF＋∠BAD＝∠CBE＋∠C， ∵∠AFE＝∠ABF＋∠BAD，∠AEF＝∠CBE＋∠C， ∴∠AEF＝∠AFE； （2）150° 【解析】 【分析】（1）由角平分线定义得∠ABE＝∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF＝∠AFE； （2）由角平分线定义得∠AFE＝∠GFE，进而得∠AEF＝∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果． 【详解】解：（1）略 （2）∵FE平分∠AFG， ∴∠AFE＝∠GFE， ∵∠AEF＝∠AFE， ∴∠AEF＝∠GFE， ∴FG∥AC， ∵∠C＝30°， ∴∠CGF＝180°−∠C＝150°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形的外角性质，角平分线的定义，关键是综合应用这些性质解决问题． 18. 如题图，已知． （1）请根据“”作，使，其中点D在右侧，且（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）： （2）若，比的2倍小，求的度数． 【答案】（1）如图： （2） 【解析】 【分析】（1）以点B为圆心，任意长度为半径作弧，分别交、于点E、F，再以点C为圆心，相同的半径作弧，交于点G，以点G为圆心，为半径作弧，交另一条弧于点O，连接并延长，再以点C为圆心，为半径作弧，交射线于点D，即可得，，连接，再利用“” ，即可求解； （2）由题意得，根据三角形内角和定理可得，求得，从而可得，由（1）可得，，即可求解． 【小问1详解】 解：以点C为顶点，为的一条边，作，， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：∵比的2倍小， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴． 【点睛】本题考查作图−三角形、全等三角形的判定、三角形内角和定理及解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定和作三角形方法是解题的关键． 19. 如图，点E在的边上，与交于点，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由可得，进而根据判定定理“”即可证明； （）由全等三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， 即， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 是和的外角， ， ． 20. 如图，在中，于点，为上一点，且． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：， ． ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（）证明，得到，进而由得到，即得，即可求证； （）过点作于点，于点，由全等三角形的性质得，进而可得，即得到平分，即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，于点， ， ∴， ． ， ， ∴平分， ． 21. 如图1，在中，当时，我们称，为的“三分线”．其中，是“近三分线”，是“远三分线” （1）【概念理解】如图1，点在上，若，，求的度数； （2）【理解应用】如图2，在中，分别是的“近三分线”和的“近三分线”，若，求的度数； （3）【拓展应用】如图3，在中，分别是的“远三分线”和的“远三分线”，且，直线过点O分别交于点，请求出的度数（用含m的代数式表示）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的计算，三分线的新定义，三角形的内角和定理，掌握相关知识点并理解新定义是解题的关键． （1）根据内角和求出，再利用和三分线的定义，求得，根据三角形内角和，即可求解； （2）利用三分线的定义，可得，即，再利用三角形的内角和，即可求解； （3）利用三分线的定义，可得，再利用三角形内角和，可得，根据图形可知，两式相减，即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：，分别是近三分线和近三分线， ，， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：在中，，， ， 、分别是的远三分线和远三分线， ，， ， 在中，， ， ， ， ． 22. 如图1，中，是直角，，，分别是，的平分线，，相交于点． （1）求证：． （2）请你判断与之间的数量关系，并证明． （3）如图2，中，如果不是直角，，，分别是，的平分线，，相交于点，请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）证明：， ． ，分别是， 的平分线， ，， ，， ； （2）解：， 证明：如图所示，连接，过点作，，垂足分别为、， ． 点是角平分线的交点， 平分， ， 由（1）得， ∴， ∴； （3）解：（2）中所得结论仍然成立， 理由：如图所示，过点作交于点，交于点，连接， ∴ ； 点是角平分线的交点， 平分， ； ， ； 由角平分线的定义可得， ∴ ， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由三角形内角和定理求出．由角平分线的定义可得，，则可证明； （2）连接，过点作，，垂足分别为、，根据题意可得平分，则，证明，即可证明； （3）过点作交于点，交于点，连接，根据题意可得平分，则；可证明，则，证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 【问题提出】 （1）如图①，在中，若，，是边上的中线，求的取值范围． 小明的做法如下：如图①，延长至点，使，连接，则，由此可得的长为 ，由三角形的三边关系可知的取值范围为 ； 【扩展延伸】 （2）如图②，在与中，，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接，证明：； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是某公园的一片玫瑰园，对角线是中间的一条通道，现正值玫瑰盛开的旺季，为方便游客观赏，要沿对角线铺设一条小路，在两条小路的交点处修建一座观景塔(观景塔大小忽略不计)，在边的中点处设置一个出入口，再沿铺设一条小路将游客分流，采购部需要知道与之间的数量关系购买原材料．按照设计要求，，，请你帮采购部探究线段与之间的数量关系．(小路宽度忽略不计) 【答案】（1），； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴ 故答案为：，． （2）略 （3）解：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级十月学情调查 数学 （考试时间：90分钟；试卷满分：120分） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，图中直角三角形共有　　 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，在中，，，平分，则的度数是(　　) A. B. C. D. 3. 如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 4. 如图，，，，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 一副三角板按如图所示位置放置，已知，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为（ ） A. 14 B. 21 C. 28 D. 32 8. 如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于长为半径画弧，分别交，于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G；③作射线交边于点D，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，平分交于点，平分 交于点，交于点．①；②若，则；③；④．则上列说法一定正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若长度分别为3，6，的三条线段能组成一个三角形，则整数的值可以是______．（写出一个即可） 12. 如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则___________． 13. 如图，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是________． 14. 如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，若，则的度数为____． 15. 如图，中，，，，为的平分线，交于点，过点作，垂足为点，交于点，点，分别为，上一个动点，则的最小值为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点． （1）的三个顶点是什么?三条边是什么? （2）是哪些三角形的边? 17. 如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F． （1）求证：∠AEF＝∠AFE； （2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数． 18. 如题图，已知． （1）请根据“”作，使，其中点D在右侧，且（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）： （2）若，比的2倍小，求的度数． 19. 如图，点E在的边上，与交于点，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 如图，在中，于点，为上一点，且． （1）求证：； （2）求的度数． 21. 如图1，在中，当时，我们称，为的“三分线”．其中，是“近三分线”，是“远三分线” （1）【概念理解】如图1，点在上，若，，求的度数； （2）【理解应用】如图2，在中，分别是的“近三分线”和的“近三分线”，若，求的度数； （3）【拓展应用】如图3，在中，分别是的“远三分线”和的“远三分线”，且，直线过点O分别交于点，请求出的度数（用含m的代数式表示）． 22. 如图1，中，是直角，，，分别是，的平分线，，相交于点． （1）求证：． （2）请你判断与之间的数量关系，并证明． （3）如图2，中，如果不是直角，，，分别是，的平分线，，相交于点，请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 23. 【问题提出】 （1）如图①，在中，若，，是边上的中线，求的取值范围． 小明的做法如下：如图①，延长至点，使，连接，则，由此可得的长为 ，由三角形的三边关系可知的取值范围为 ； 【扩展延伸】 （2）如图②，在与中，，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接，证明：； 【问题解决】 （3）如图③，四边形是某公园的一片玫瑰园，对角线是中间的一条通道，现正值玫瑰盛开的旺季，为方便游客观赏，要沿对角线铺设一条小路，在两条小路的交点处修建一座观景塔(观景塔大小忽略不计)，在边的中点处设置一个出入口，再沿铺设一条小路将游客分流，采购部需要知道与之间的数量关系购买原材料．按照设计要求，，，请你帮采购部探究线段与之间的数量关系．(小路宽度忽略不计) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $