精品解析：辽宁省鞍山市岫岩满族自治县2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试卷

八年级（上）十月学情调查 数学 （考试时间：90分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的任意两边之和大于第三边 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 2. 如图，的边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 3. 如图，，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，则这两个滑梯与地面的夹角与的度数和是（ ） A. B. C. D. 8. 数学活动课上，小明在正方形网格中一笔画成了一个“字图”，如图所示的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，分别平分和，且相交于点F，，交于点E，于点G．则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，已知，D为的平分线上一点，连接；如图2，已知，D，E为的平分线上两点，连接；如图3，已知，D，E，F为的平分线上三点，连接；…，依此规律，第n个图形中全等三角形有（ ）对 A. n B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，以为边的三角形的个数是_______． 12. 如图中和中，，添加一个条件，使，可以添加的条件是____________． 13. 在中，是边上的高，，，为的角平分线，则的度数为______________． 14. 如图，在中，点P，M在坐标轴上，，，，，则点M的坐标是________ 15. 如图，在中，为中线，过点作于点，过点作于点.延长至点，使得，连接．下列结论中正确的是______．（填写序号即可） ①；②；③；④． 三、解答题（共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 如图，小明想用浅色灯带与深色灯带分别装饰三角形圣诞树的顶部和底部． （1）你知道小明所用的哪条灯带更长吗？说明理由； （2）小明共用了长的灯带，且已知三角形三边长为三个连续的自然数，你能帮小明求出三角形每条边的长度吗？ 17. 如图，表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向是南偏东，在M的南偏东方向上有一点A，测量员在上取一点B，测得的方向为南偏东，求： （1）在B点看的走向是西偏北多少度？ （2）从点A处观测M、B两处时的视角的大小． 18. 如图，在中，是边上的中线． （1）尺规作图：过点作交的延长线于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）找出图中一定与相等的线段，并说明理由． 19. 已知，如图，为的高，E为上一点，交于F，且有，，求证： （1）； （2）． 20. 已知，点A，B分别在射线，上移动（不与点O重合），平分，平分，（或其反向延长线）与交于点C． （1）如图①，若，试猜想的度数，并直接写出结果； （2）如图②，若，问：当点A，B在射线，上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由． 21. 如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： （1）如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到___________（填“”“”或“”）； （2）如图③，三角形薄板的三条中线，，相交于点，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； （3）结合（2）中的结论，试猜想，，的值，并说明理由． 22. 如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求度数； （2）与全等吗？请说明理由； （3）请判断、与之间的数量关系，并说明理由． 23. 某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； （2）组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（上）十月学情调查 数学 （考试时间：90分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的任意两边之和大于第三边 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可得到答案． 【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性； 故选：D． 2. 如图，的边上的高是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形高的定义，理解并能准确区分三角形的高是解题的关键； 根据三角形高的定义解答即可． 【详解】解：∵过三角形的一个顶点引对边的垂线，这个点与垂足的连线段叫三角形的高， ∴中的边上的高是线段， 故选：B． 3. 如图，，且，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质得到，，可知，则，根据对顶角相等得到，进而得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 故选：C 4. 根据下列条件，不能画出唯一确定的的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的几种判定定理是解题关键，根据选项中所给的条件，逐条判断是否满足全等三角形的判定定理即可． 【详解】解：A、符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的，故该选项不符合题意； B、符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的，故该选项不符合题意； C、不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的，故该选项符合题意； D、符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据全等三角形的知识很快就画出了一个书上完全一样的三角形，小明画图的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形可知两角及夹边分别相等即可判断． 【详解】解：小明画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，即． 6. 如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理；先求得的值，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，有两个长度相等的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，则这两个滑梯与地面的夹角与的度数和是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先证明，推出，通过，得到，从而得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， 在和中， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 8. 数学活动课上，小明在正方形网格中一笔画成了一个“字图”，如图所示的图形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角．根据在和在正方形网格中的位置可以证明，根据全等三角形对应角相等可证，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可以得到． 【详解】解：如下图所示， 在和中 ， ， ， 又是的外角， ， ． 故选：B． 9. 如图，在中，，，分别平分和，且相交于点F，，交于点E，于点G．则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义、平行线的性质、垂直的性质以及三角形内角和与外角的性质，解题的关键是利用相关性质推导各角之间的数量关系，进而判断选项的正确性． 根据角平分线定义得到角的倍数关系，结合平行线性质（同位角、同旁内角）、垂直性质（直角）及三角形内角和与外角定理，逐一分析各选项中角的关系是否成立． 【详解】解：已知在中，，故． ∵平分，平分， ， ． 选项∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵平分， ∴， ∴ ，A正确． 选项∵，， ∴（一条直线垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条），即． ∴． 在中，， ∴． ∵平分， ∴， ∴，B正确． 选项C：在中， ． ∵与是对顶角， ∴，C错误． 选项是的外角，则． ， ，D正确． 故选：C． 10. 如图1，已知，D为的平分线上一点，连接；如图2，已知，D，E为的平分线上两点，连接；如图3，已知，D，E，F为的平分线上三点，连接；…，依此规律，第n个图形中全等三角形有（ ）对 A. n B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，图形规律，根据全等三角形的判定得到全等三角形的数量，找出规律即可求解． 【详解】解：图1中，， ∴，共有1对，即； ∴，，则， 图2中，同理，， ∵， ∴， ∵， ∴，共3对，即， 同理，图3中，，，，共有对，即 ， ∴第n个图形中全等三角形有对， 故选：C ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，以为边的三角形的个数是_______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的认识．根据三角形的概念、结合图形写出以为边的三角形． 【详解】解：以为边的三角形的有，一共有4个． 故答案为：4． 12. 如图中和中，，添加一个条件，使，可以添加的条件是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据全等三角形的判定方法结合图形添加条件即可． 【详解】解：∵，， 添加，根据得到； 添加，根据得到； 故答案为：或． 13. 在中，是边上的高，，，为的角平分线，则的度数为______________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，角平分线的定义，理解高，角平分线的定义，掌握角的和差计算是关键．根据高，角平分线的定义，数形结合，分类讨论即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 如图所示，    ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或 ． 14. 如图，在中，点P，M在坐标轴上，，，，，则点M的坐标是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明．过点P作x轴的平行线，过点M作于点A，过点N作于点B，根据，，得出，，证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：过点P作x轴的平行线，过点M作于点A，过点N作于点B，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，在中，为中线，过点作于点，过点作于点.延长至点，使得，连接．下列结论中正确的是______．（填写序号即可） ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，证明，即可判定①；证明，得到，进而可得，即可判定②；由全等三角形的性质得，，即得，即可判定③；由可得，进而得到，即得，即可判定④，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵为的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵与不一定相等，故②不正确； ∵，， ∴，， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 即，故④正确； 综上，结论中正确的是①③④， 故答案为：①③④． 三、解答题（共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 如图，小明想用浅色灯带与深色灯带分别装饰三角形圣诞树的顶部和底部． （1）你知道小明所用的哪条灯带更长吗？说明理由； （2）小明共用了长的灯带，且已知三角形三边长为三个连续的自然数，你能帮小明求出三角形每条边的长度吗？ 【答案】（1） 解：浅色灯带长． 理由：浅色灯带装饰三角形的两条边，深色灯带装饰第三条边． 根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边． 根据三角形两边之和大于第三边，可得浅色灯带长． （2）三角形每条边的长度分别为，， 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系和一元一次方程的应用，解题的关键是（1）利用“三角形两边之和大于第三边”比较灯带长度；（2）设出连续自然数表示的三边长，根据周长列方程求解． （1）根据三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边，判断浅色灯带与深色灯带的长度关系； （2）设中间边长为，用含的式子表示另外两边，根据周长为列方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设中间的边长为，由题意得， ，解得， ，， 故三角形每条边的长度分别为80，81，82． 17. 如图，表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向是南偏东，在M的南偏东方向上有一点A，测量员在上取一点B，测得的方向为南偏东，求： （1）在B点看的走向是西偏北多少度？ （2）从点A处观测M、B两处时的视角的大小． 【答案】（1）在B点看的方向是西偏北方向；（2）视角的大小是 【解析】 【分析】（1）在点M及点B处作方位角，根据平行线的性质求解即可； （2）先求出∠AMB及∠ABN的度数，再根据三角形外角的性质求解． 【详解】：（1）如图，∵∠DMB=30°， ∴∠MBF=30°， ∴∠EBM=90°-∠MBF=60°， ∴在B点看的方向是西偏北方向． （2）∵的方向是南偏东，的方向是南偏东， ∴， 又的方向是南偏东， ∴， ∴， 答：视角的大小是． 【点睛】此题考查方位角的计算，方位角的确定方法，三角形外角的性质，正确理解方位角及表示方法是解题的关键． 18. 如图，在中，是边上的中线． （1）尺规作图：过点作交的延长线于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）找出图中一定与相等的线段，并说明理由． 【答案】（1） 解：如图所示，线段即为所求； （2） 解：，理由如下： ∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）延长，在的延长线上截取，连接， 可证，即得，故得； （）证明即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知，如图，为的高，E为上一点，交于F，且有，，求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵为的高， ∴． 在和中， ， ∴． （2） 证明：∵， ∴，即． ∵在中，， ∴在中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余． （1）通过“”证明即可． （2）因为，易得，结合，由锐角互余的三角形是直角三角形，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知，点A，B分别在射线，上移动（不与点O重合），平分，平分，（或其反向延长线）与交于点C． （1）如图①，若，试猜想的度数，并直接写出结果； （2）如图②，若，问：当点A，B在射线，上运动的过程中，的度数是否改变？若不改变，求出其值（用含的式子表示）；若改变，请说明理由． 【答案】（1） （2）不变， 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．通过知识的综合运用，帮助探究出点A、B运动过程中的度数变化规律． （1）根据题意，研究当时，点A、B运动过程中的度数是否变化．核心思路是利用角平分线性质转化角的关系，结合三角形内角和定理推导． （2）本题需探究当且平分时，点A、B运动过程中的度数是否变化．核心思路是通过角平分线性质和邻补角关系，建立与的直接联系． 【小问1详解】 解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵平分，平分， ∴， ． ∵， ∴ ， ∴． 21. 如图①，用一根细绳从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现三角形薄板正好保持水平，数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究．请你帮助他们完成下列问题： （1）如图②，小组成员在三角形薄板上画出中线，可以得到___________（填“”“”或“”）； （2）如图③，三角形薄板的三条中线，，相交于点，试判断三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积之间的数量关系，并说明理由； （3）结合（2）中的结论，试猜想，，的值，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：三角形薄板被三条中线所分成的六个小三角形的面积相等， 理由如下： 是的一条中线， 是的中线， ， 同理可得，，， ，，， ， ， 同理可得，， . （3） 解：，，， 理由如下： 由（2）可知，， ， 的边上的高与的边上的高相同， ， 同理可得，，. 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线平分面积． （1）中线将三角形分成两个等底同高的三角形，故面积相等． （2）利用（1）中结论可判断面积相等，面积相等，面积相等，再推导后即可证出六个小三角形面积均相等． （3）利用（2）中结论证明，可推导，用相同方法证明另外两个结论即可． 【小问1详解】 解：和的底分别为，高为点到线段的距离，所以两个三角形等底同高，所以面积相等． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点． （1）求度数； （2）与全等吗？请说明理由； （3）请判断、与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解： 理由：由可知：， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ； （3） 解：， 理由：延长交于， 平分， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案； （2）根据（1）中结论得到，利用定理证明≌； （3）延长交于，分别证明、，根据全等三角形的性质证明结论． 【小问1详解】 解：， ， 、是的角平分线， ，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． （1）如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； （2）组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】（1） （2） （1）中的结论成立，理由如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3） 证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【小问1详解】 解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $