第二章 直线运动的多过程问题、避免相撞类问题 讲义-2026-2027学年高一上学期物理人教版必修第一册

直线运动的多过程问题、避免相撞类问题讲义 直线运动的多过程问题、避免相撞类问题讲义 考点目录 直线运动的多过程问题 避免相撞类问题 考点一 直线运动的多过程问题 【知识点解析】 一、核心本质 物体在运动过程中，因受力变化、接触面变化、运动状态反转等原因，加速度（大小或方向）发生突变，运动分为多个不同的匀变速阶段。各阶段相互独立，前一阶段的末速度 = 后一阶段的初速度，这是衔接各阶段的核心纽带。 二、三大经典模型 1. 启动-匀速-制动模型 · 场景：汽车启动与刹车、传送带传送物体、电梯升降 · 阶段划分：匀加速启动 匀速运行 匀减速制动 · 特点：加速阶段末速度 = 匀速阶段速度 = 减速阶段初速度 2. 受力突变模型 · 场景：物体从光滑斜面滑上粗糙水平面、不同粗糙程度的分段水平面、恒力反向 · 阶段划分：以受力突变的位置（如斜面底端、接触面分界点）为界，分为前后两段，加速度不同 · 特点：突变瞬间速度大小不变，加速度突变 3. 往返直线模型 · 场景：竖直上抛运动、物体在反向恒力作用下的往返运动 · 阶段划分：以速度为 的最高点/转折点为界，分为向前匀减速、反向匀加速两个阶段 · 特点：转折点速度为 ，加速度大小方向不变（竖直上抛）或突变（恒力反向） 三、三种解题方法 方法 适用场景 核心操作 优势 分段法 所有多过程问题，尤其需要求中间物理量 对每个阶段分别列运动学公式，通过衔接速度联立 过程清晰，不易出错，普适性强 全程法 只关心初末状态，不涉及中间过程 对全程应用运动学矢量公式，加速度按阶段分段代入 计算简便，步骤少 图像法 多阶段对比、最值分析、多物体运动 画出速度-时间图像，斜率表加速度，面积表位移 直观形象，快速判断临界 四、标准解题步骤 1. 划阶段：找到加速度突变点（速度为 、接触面边界、受力变化点），将运动拆分为若干个匀变速阶段； 1. 定方向：选取正方向，明确各阶段加速度、速度、位移的正负； 1. 找衔接：确定相邻阶段的公共速度（前一段末速度 = 后一段初速度）； 1. 列方程：对每个阶段选择对应运动学公式（知三求一），联立求解； 1. 验合理：刹车、往返类问题，先验证停车时间/折返时间，避免超阶段代入。 【例题分析】 例1．（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）中国人民解放军一次低空跳伞演练中，假设伞兵离开悬停在224m高空的飞机后从静止开始竖直向下做加速度大小为的匀加速运动，一段时间后打开降落伞，打开伞后伞兵以大小为的加速度竖直向下做匀减速运动，伞兵落地时速度恰好为。求： (1)伞兵打开伞时的速度大小； (2)伞兵运动的时间； (3)若伞兵匀加速和匀减速两阶段加速度大小可通过动力装置可调，且两大小之和为，伞兵落地速度为零。求伞兵匀加速阶段加速度取多大时匀加速的平均速度最大，最大多大？ 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）伞兵运动分为匀加速下落、匀减速下落两个阶段，取向下为正方向，设两阶段位移分别为、，总高度。由匀变速直线运动速度与位移的关系，在匀加速阶段 可得 在匀减速阶段 可得 总位移满足 联立解得 （2）根据匀变速直线运动速度与时间的关系，在匀加速阶段有 解得 在匀减速阶段有 解得 总时间 （3）设匀加速末速度为，匀变速直线运动平均速度等于初末速度的平均值，故 即最大时最大。由匀变速直线运动速度与位移的关系，总位移满足 结合 化简得 根据均值不等式，两数和为定值时，相等时乘积最大，故当时，取最大值，此时 对应最大平均速度 例2．（25-26高一上·河南·阶段检测）ETC是电子不停车收费系统的简称。汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以行驶，如果过ETC通道，需要在收费站中心线前处减速至，以速度匀速行驶通过中心线，再加速至行驶；如果过人工收费通道，需要在收费站中心线处停车，经时间缴费后，再加速至行驶。设汽车加速和减速过程的加速度大小均为求： (1)通过ETC通道的车辆从开始减速到恢复初始速度所经历的时间； (2)若两辆汽车一开始在两个车道并排行驶，一辆通过人工收费通道，另一辆通过ETC通道，到两辆汽车都恢复正常行驶的过程中，二者之间的最大距离； (3)汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约多长时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据对称性可知，通过ETC通道的车辆加速和减速的时间均为 车辆匀速过程的时间为 则通过ETC通道的车辆从开始减速到恢复初始速度所经历的时间为 （2）通过ETC通道的车辆从开始减速到恢复初始速度所通过的位移大小为 通过人工收费通道的汽车减速过程和加速过程所用时间均为 通过人工收费通道的汽车减速过程和加速过程通过的位移大小均为 通过人工收费通道的汽车从开始减速到恢复原来速度所用的总时间为 通过ETC通道的车辆在60s内通过的总位移大小为 则二者之间的最大距离为 （3）通过人工收费通道的汽车从减速到恢复原来速度通过的总位移大小为 在400m内，通过ETC通道的汽车以初速度匀速运动的时间为 则汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约的时间为 例3．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）如图，一竖直圆管，下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一小球，现由静止释放，圆管与小球一起相对静止自由落体，后续圆管会与地面发生多次碰撞，每次圆管与地面碰撞前后速度大小不变、方向相反，且每次碰撞时间极短，在运动过程中，管始终保持竖直。由于管与球之间有摩擦，管每次与地面碰撞后，管的加速度大小为2g，方向竖直向下，球的加速度大小为4g，方向竖直向上，每次达到共速后管与球相对静止一起运动，共同的加速度为重力加速度。已知重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)管第一次与地面接触时的速度大小； (2)管与地面碰撞后，管与球第一次共速时的速度大小； (3)求管第一次落地弹起后，球没有从管中滑出时管上升的最大高度； (4)若管第二次落地弹起上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度应满足的条件。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）根据匀变速直线运动规律可得 解得管第一次与地面接触时的速度为 （2）设经过时间二者共速，共同速度为，对于管则有 对于球则有 联立解得， （3）根据上述分析可知，从反弹到共速，管下端的高度 解得 球第一次没有从管中滑出时管上升的最大高度 则管第一次落地弹起后上升的最大高度为 （4）根据上述分析可知，第一次弹起上升至速度相等过程中，管上升的高度为 此过程小球的位移 设第一次弹起上升至最大高度过程中，小球在管中下降的距离为 同理可得第二次管着地时的速度 设经过时间二者达到共同速度，则有 解得， 从反弹到共速，管下端的高度 解得 此过程小球的位移 弹起上升至最大高度过程中，小球在管中下降的距离为 设圆管长度为L，管第二次落地弹起后上升至最大高度过程中，球不会滑出管外的条件是 【变式训练】 变式1．（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）北京冬奥会后滑雪成为大家争相游玩的体育项目，一群小孩在滑雪初学者的学习场地适应场地训练，他们没有从高处直接往下滑，而是在坡底先适应雪地上的控制力。一个小孩在倾斜雪坡上，先以加速度大小为从雪坡底部由静止开始沿雪坡直线上“奔跑”，时，停止“奔跑”让滑雪板贴着雪坡向上以加速度大小为减速滑行至最高点，最后又以加速度大小为退滑到出发点，完成一次适应性训练。求： (1)小孩向上“奔跑”的位移大小及末速度大小； (2)小孩向上滑行的最远距离； (3)小孩完成一次适应性训练所需要的时间。 【答案】(1)8m，4m/s (2)9m (3)7.5s 【详解】（1）小孩向上“奔跑”时做初速度为零的匀加速直线运动，设该过程的位移大小为，由位移与时间的关系得 设末的速度大小为，由速度与时间的关系得 （2）小孩停止“奔跑”后沿雪坡向上做匀减速直线运动，到达最高点时速度为零。取沿雪坡向上为正方向，设减速过程的位移为，由速度与位移的关系得 解得 设小孩从出发点向上滑行的最远距离为，则 （3）设小孩向上减速滑行的时间为，由速度与时间的关系得 解得 小孩从最高点由静止开始退滑，做匀加速直线运动，退滑到出发点的位移大小为。设退滑时间为，由位移与时间的关系得 解得 设完成一次适应性训练所需的总时间为，则 变式2．（25-26高一上·重庆渝中·阶段检测）2024年6月2日，由长征五号遥八运载火箭送上预定轨道的“嫦娥六号”成功着陆月球背面南极——艾特肯盆地，开启了“挖宝”之旅，为此小巴同学自制水火箭来模拟火箭的运动。可视为质点的水火箭最初静止于地面上，随着上升过程中水的消耗，火箭上升的加速度按如下规律逐渐增加；第n秒内加速度为，即，，…且每一秒内火箭均做匀加速直线运动。水火箭在第6秒末耗尽箭体内的水，然后做竖直上抛运动到达最高点，紧接着火箭自由下落2秒后遥控打开降落伞减速，开伞后最初一段距离内火箭速度v与开伞后下降的距离x之间满足：，其中C为特定常数，火箭运动距离d后以4m/s的速度匀速下降直到落地，降落伞打开前不计空气阻力，，本题可能用到的数学公式：。求： （1）水火箭第6秒末的速度大小； （2）水火箭上升的离地最大高度； （3）常数C的值、运动距离d及水火箭从发射到落回地面所用的时间。 【答案】（1）；（2）；（3）1；40； 【详解】（1）依题意，水火箭第6秒末的速度大小为，，，，， 可得 （2）水火箭第6秒末的位移大小为 其中，，，，， 联立，解得 竖直上抛的高度为 竖直上抛的时间为 水火箭上升的离地最大高度 （3）火箭自由下落2秒后下降的高度和速度分别为， 又由题意，当速度为20m/s时的x=0，解得 火箭运动距离d后以4m/s的速度匀速下降，则有 其中， 解得 打开降落伞过程，有 做出图像，如图 由图像可得，图像的面积等于时间，则该段时间为 水火箭匀速下降时间为 水火箭从发射到落回地面所用的时间为 变式3．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）如图所示，在平直公路上，汽车A向固定的测速仪B做直线运动，设t=0时汽车A与测速仪B相距d1=368m，此时测速仪B发出一个超声波脉冲信号和一个红外线信号，汽车A在接收到红外线信号时正以v0=108km/h的速度运动，司机立即刹车做匀减速直线运动。当汽车A接收到超声波信号时，它与测速仪B的间距为d2=340m，已知超声波的速度v=340m/s。红外线在空中传播的时间忽略不计。求： （1）汽车A的加速度大小为多大？ （2）测速仪B接收到反射回来的超声波信号时，汽车A和测速仪B的间距d3为多大？ （3）测速仪B接收到反射回来的超声波信号时，汽车立即改变其加速度，1.7s后测速仪B又发出一个超声波脉冲信号，在2.5s时该超声波信号恰与汽车A相遇，求汽车A的加速度？    【答案】（1）；（2）；（3），方向为背离B。 【详解】（1）先对速度进行单位换算 超声波在空中运动的时间 汽车在这段时间内匀减速运动的距离 解得 汽车A加速度大小为，方向为背离B； （2）从到，汽车A行驶的距离 解得 （3）时汽车的速度 解得 超声波在空中运动的时间 超声波在空中运动的距离 可知在 汽车匀减速运动的距离为 解得 汽车A加速度大小为，方向为背离B。 考点二 避免相撞类问题 【知识点解析】 一、核心本质 同一直线上两物体同向运动，后方物体速度大于前方时，两者距离持续减小；后方速度小于前方时，距离持续增大。两物体速度相等的时刻，是两者距离最小的临界时刻，也是判断是否相撞的唯一临界点。 · 速度相等时，位移差 初始距离 不会相撞，此时距离最小； · 速度相等时，位移差 初始距离 已经相撞。 二、三大经典避碰模型 设初始时后方物体与前方物体相距 ，后方为物体 1，前方为物体 2。 模型 运动性质 临界条件 结果判断 匀减速追匀速 物体 1 匀减速（），物体 2 匀速 时 位移差 初始距离则不相撞 匀速追匀加速 物体 1 匀速（），物体 2 匀加速 时 速度相等时没撞上则永远不会撞 匀减速追匀加速 物体 1 匀减速，物体 2 匀加速 时 速度相等时为距离最小值点 三、三种解题方法 1. 临界条件法（最通用，优先推荐） 核心：抓住速度相等的临界时刻，比较位移差与初始距离。 步骤： ① 列速度相等方程：，求解临界时间 ； ② 分别计算 内两物体的位移 、； ③ 比较位移差与初始距离： - 若 ：不会相撞，最小距离为 ； - 若 ：会相撞，代入 求相撞时间。 2. 二次函数判别式法 核心：将位置差表示为时间的二次函数，利用判别式判断方程是否有解。 步骤： ① 写出两物体的位置随时间的函数：、； ② 位置差 ，相撞等价于 有正实根； ③ 判别式 ：会相撞；：不会相撞。 3. 相对运动法 核心：以前方物体为参考系，转化为单个物体的相对运动。 步骤： ① 求相对初速度 ，相对加速度 ； ② 当相对速度减为 时，计算相对位移 ； ③ 若 ：不会相撞。 四、标准解题步骤 1. 明确两物体的运动性质、初始速度、初始距离，选取正方向； 1. 确定临界条件：速度相等的时刻； 1. 计算临界时刻的位移，对比初始距离判断是否相撞； 1. 若相撞，求解相撞时间；若不相撞，求解最小距离。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·广东·阶段检测）春节期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，到达收费站窗口处停止线前有一段长度的限速区，该区域限速，甲、乙两辆小轿车在收费站前平直公路上分别以大小为和的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后。甲车在限速区前以大小的恒定加速度刹车，在进入限速区前恰好符合要求，并以该速度匀速通过限速区。甲、乙两车均视为质点且始终未相撞。 (1)求甲车开始刹车时，到限速区前端的距离； (2)若甲车通过限速区后立即以大小的加速度做匀加速直线运动，加速至后以该速度匀速行驶，求甲车从开始刹车到完成加速所用的时间； (3)若从甲车开始刹车起经时间，乙车开始刹车，乙车刹车后以大小的加速度做匀减速直线运动，直到速度达到时匀速行驶，两车在通过限速区前，两车之间的最小距离，求甲车开始刹车时，甲、乙两车之间的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据速度—位移公式有 解得 （2）甲车减速的时间为 甲车匀速的时间为 甲车加速的时间为 总时间为 （3）设经时刻，两车速度相等，则有 解得 此时距离最近，根据位移与时间关系有 解得 例2．（25-26高一上·四川广元·期末）如图所示为车辆行驶过程中常见的变道超车情形。图中A车车长LA=4m，B车车长LB=6m，两车车头相距L=26m时，B车正以vB=10m/s的速度匀速行驶，A车正以vA=15m/s的速度借道超车，此时A车司机发现前方不远处有一辆汽车C正以vC=8m/s的速度迎面匀速驶来，C车车头和B车车头之间相距d=94m，现在A车司机有两个选择，一是放弃超车，驶回与B相同的车道，而后减速行驶；二是加速超车，在B与C相遇之前超过B车，不考虑变道过程的时间和速度的变化。求： (1)经过多长时间B车车头与C车车头相遇而过（结果保留三位有效数字）； (2)若A车选择放弃超车，回到B车所在车道，则A车至少应该以多大的加速度匀减速刹车，才能避免与B车相撞； (3)若A车选择加速超车，计算A车安全超车所用的最长时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）B车头与C车头相遇时满足 解得 （2）若A车选择放弃超车， 回到B车所在车道，当两车速度相同时，A恰好追上B，此时A减速的加速度最小，设此加速度为，根据运动学公式有 A车的位移 B车的位移 两车的位移满足 联立解得， 故A车的最小加速度为 （3）设A车加速超车最长时间为，此情况为B车车头与C车车头刚好交错，且A车车尾恰好超过B车车头，满足 解得 例3．（25-26高一上·陕西安康·期中）汽车甲在平直的高速公路上以速度匀速行驶，发现前方处路面塌陷，经一段反应时间后开始以大小为的加速度急刹车。已知司机正常情况下的反应时间。在凌晨疲劳驾驶的情况下的反应时间为。 (1)正常情况下，汽车甲能否掉进路面塌陷地点？ (2)疲劳驾驶情况下，汽车甲能否掉进路面塌陷地点？若不能，计算汽车甲与路面塌陷地点的最近距离。若能，试计算若要在司机疲劳驾驶情况下汽车甲也不会掉入路面塌陷地点，汽车甲刹车（视为匀减速运动）的最小加速度； (3)若路面无塌陷，汽车甲匀速行驶时，后方的汽车乙以的速度在同车道上行驶，汽车乙的司机看到汽车甲以较小的速度行驶后，由于其疲劳驾驶，经的反应时间后以大小为的加速度刹车，结果恰好未发生事故，则汽车乙的司机发现汽车甲时两车的间距为多少？ 【答案】(1)不会掉进 (2) (3) 【详解】（1）当汽车甲正常行驶时，反应距离和刹车距离为， 代入数据可得正常行驶时汽车甲的位移 可知汽车正常行驶时，能在路面塌陷处的前方停止。 （2）当汽车甲的司机疲劳驾驶时，反应距离为 疲劳驾驶时 可知疲劳驾驶时汽车甲掉进路面塌陷处。汽车甲开始减速时与路面塌陷地点的距离 汽车甲到达路面塌陷地点时恰好停下来，此时汽车的加速度最小，则 解得 （3）汽车乙的司机反应时间内两车的间距缩短 解得 恰好未发生事故，即两车速度相等时恰好未相撞，则 汽车乙的位移 汽车甲的位移 两车的间距 解得 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·浙江衢州·期中）如图1所示为某次交通安全测试的示意图，长＝10m、速度＝36km/h的货车距离人行道＝35m，一列长度为＝4m的行人距离路口＝3m，速度大小＝1m/s。道路宽度＝9m，人行道宽度＝5m，为保障行人安全，规定车辆和行人不能同时出现在人行道上。（答案可以用分数表示） (1)若货车保持匀速行驶，能否按规定通过人行道？（选填“能”或“不能”） (2)若货车立即以恒定加速度减速，求加速度大小需满足的条件； (3)若货车立即以恒定加速度加速，求加速度的最小值； (4)如图2所示为货车侧视图，可视为质点的货箱距车尾＝8m，若货车以（3）问的最小加速度加速通过人行道后立即匀速行驶，分析说明货箱是否会从货车上掉落。已知货箱能达到的最大加速度为3，且货箱与车厢底板发生相对滑动时货箱加速度等于3。 【答案】(1)不能 (2) (3) (4)货箱会掉落 【详解】（1）货车出现在人行道时间 解得 行人出现在人行道时间 解得 故3.5s~5s货车和行人同时出现在人行道上，不符合规定。故若货车保持匀速行驶，不能按规定通过人行道。 （2）行人刚离开人行道时 此时车头恰到人行道 解得 此时，不合题意。 车头到达人行道时恰刹停 解得，故货车加速度 （3）行人刚要进入人行道时 货车车尾刚离开人行道 解得 （4）汽车离开人行道时速度 相对运动时间 货车位移 货箱位移 相对位移，故货箱会掉落。 变式2．（25-26高一上·陕西西安·期中）一辆长途客车正在以的速度匀速行驶。突然，司机看见车的正前方处有一只狗，如图甲所示，司机立即采取制动措施。若从司机看见狗开始计时（），长途客车的速度-时间图像如图乙所示。 (1)求长途客车司机从发现狗至客车停止运动的这段时间内前进的距离； (2)求长途客车制动时的加速度； (3)若狗以的速度与长途客车同向且同时（）奔跑，狗会不会被撞？ 【答案】(1) (2)，加速度方向与初速度方向相反 (3)狗会被撞 【详解】（1）长途客车司机从发现狗至客车停止运动的这段时间内前进的距离等于图像所围的面积 （2）由题图乙得，负号表示长途客车制动时的加速度方向与初速度方向相反 （3）客车减速与狗的速度相等所用的时间为 客车位移为 而狗通过的位移为 因为所以狗会被撞。 变式3．（25-26高一上·安徽·期中）无人驾驶技术日趋成熟，每辆智能车都会经过严格的安全测试才会出厂。现有三辆智能网联汽车组成车队，在封闭的平直安全道路上进行测试。甲车在前以的速度匀速行驶，乙车在甲车后以的速度匀速追赶，丙车保持和乙车相同的速度在乙车后处跟随。当乙车在距离甲车时开始以恒定的加速度减速，直到速度与甲车相同，然后保持跟随。当乙车开始减速时，丙车经过的反应时间后也做匀减速直线运动。已知乙车以108km/h的速度行驶时，以加速度制动，制动距离为。 (1)求乙车制动时加速度的值； (2)当乙车速度降至与甲车相同时，求甲、乙两车间的距离； (3)若乙车开始减速时，丙车经反应时间后以最大制动加速度做匀减速直线运动，则丙车是否会与乙车相撞？若会，求出什么时候相撞；若不会，求丙车至少以多大的恒定加速度进行制动才能避免与乙车相撞。 【答案】(1) (2) (3)不会， 【详解】（1）由题意得， 由 解得 （2）设经时间两车速度相同，由 得 甲车在这段时间运动的距离 乙车在这段时间运动的距离 所以当乙车速度降至与甲车相同时，甲、乙两车间的距离 （3）若丙以加速度制动，经减速时间，速度与乙相同，由： 得 丙车运动的距离 乙车运动的距离 由于，所以乙、丙两车不会相撞。 设丙的加速度至少为，经减速时间，两者共速时恰好不相撞。因为在乙车速度减至和甲车速度相等的时间（）内，即使丙车不减速也撞不上乙车（判断理由：）。所以乙车速度减为后不变，丙车仍在减速。由 得 丙车与乙车速度相等时运动的距离 此时乙车运动的距离 乙丙两车距离满足 由以上几式解得，，符合要求。 2 学科网（北京）股份有限公司 $直线运动的多过程问题、避免相撞类问题讲义 直线运动的多过程问题、避免相撞类问题讲义 考点目录 直线运动的多过程问题 避免相撞类问题 考点一 直线运动的多过程问题 【知识点解析】 一、核心本质 物体在运动过程中，因受力变化、接触面变化、运动状态反转等原因，加速度（大小或方向）发生突变，运动分为多个不同的匀变速阶段。各阶段相互独立，前一阶段的末速度 = 后一阶段的初速度，这是衔接各阶段的核心纽带。 二、三大经典模型 1. 启动-匀速-制动模型 · 场景：汽车启动与刹车、传送带传送物体、电梯升降 · 阶段划分：匀加速启动 匀速运行 匀减速制动 · 特点：加速阶段末速度 = 匀速阶段速度 = 减速阶段初速度 2. 受力突变模型 · 场景：物体从光滑斜面滑上粗糙水平面、不同粗糙程度的分段水平面、恒力反向 · 阶段划分：以受力突变的位置（如斜面底端、接触面分界点）为界，分为前后两段，加速度不同 · 特点：突变瞬间速度大小不变，加速度突变 3. 往返直线模型 · 场景：竖直上抛运动、物体在反向恒力作用下的往返运动 · 阶段划分：以速度为 的最高点/转折点为界，分为向前匀减速、反向匀加速两个阶段 · 特点：转折点速度为 ，加速度大小方向不变（竖直上抛）或突变（恒力反向） 三、三种解题方法 方法 适用场景 核心操作 优势 分段法 所有多过程问题，尤其需要求中间物理量 对每个阶段分别列运动学公式，通过衔接速度联立 过程清晰，不易出错，普适性强 全程法 只关心初末状态，不涉及中间过程 对全程应用运动学矢量公式，加速度按阶段分段代入 计算简便，步骤少 图像法 多阶段对比、最值分析、多物体运动 画出速度-时间图像，斜率表加速度，面积表位移 直观形象，快速判断临界 四、标准解题步骤 1. 划阶段：找到加速度突变点（速度为 、接触面边界、受力变化点），将运动拆分为若干个匀变速阶段； 1. 定方向：选取正方向，明确各阶段加速度、速度、位移的正负； 1. 找衔接：确定相邻阶段的公共速度（前一段末速度 = 后一段初速度）； 1. 列方程：对每个阶段选择对应运动学公式（知三求一），联立求解； 1. 验合理：刹车、往返类问题，先验证停车时间/折返时间，避免超阶段代入。 【例题分析】 例1．（26-27高一上·河北石家庄·阶段检测）中国人民解放军一次低空跳伞演练中，假设伞兵离开悬停在224m高空的飞机后从静止开始竖直向下做加速度大小为的匀加速运动，一段时间后打开降落伞，打开伞后伞兵以大小为的加速度竖直向下做匀减速运动，伞兵落地时速度恰好为。求： (1)伞兵打开伞时的速度大小； (2)伞兵运动的时间； (3)若伞兵匀加速和匀减速两阶段加速度大小可通过动力装置可调，且两大小之和为，伞兵落地速度为零。求伞兵匀加速阶段加速度取多大时匀加速的平均速度最大，最大多大？ 例2．（25-26高一上·河南·阶段检测）ETC是电子不停车收费系统的简称。汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以行驶，如果过ETC通道，需要在收费站中心线前处减速至，以速度匀速行驶通过中心线，再加速至行驶；如果过人工收费通道，需要在收费站中心线处停车，经时间缴费后，再加速至行驶。设汽车加速和减速过程的加速度大小均为求： (1)通过ETC通道的车辆从开始减速到恢复初始速度所经历的时间； (2)若两辆汽车一开始在两个车道并排行驶，一辆通过人工收费通道，另一辆通过ETC通道，到两辆汽车都恢复正常行驶的过程中，二者之间的最大距离； (3)汽车通过ETC通道比通过人工收费通道节约多长时间。 例3．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）如图，一竖直圆管，下端距水平地面的高度为H，顶端塞有一小球，现由静止释放，圆管与小球一起相对静止自由落体，后续圆管会与地面发生多次碰撞，每次圆管与地面碰撞前后速度大小不变、方向相反，且每次碰撞时间极短，在运动过程中，管始终保持竖直。由于管与球之间有摩擦，管每次与地面碰撞后，管的加速度大小为2g，方向竖直向下，球的加速度大小为4g，方向竖直向上，每次达到共速后管与球相对静止一起运动，共同的加速度为重力加速度。已知重力加速度为g，不计空气阻力。 (1)管第一次与地面接触时的速度大小； (2)管与地面碰撞后，管与球第一次共速时的速度大小； (3)求管第一次落地弹起后，球没有从管中滑出时管上升的最大高度； (4)若管第二次落地弹起上升过程中，球仍没有从管中滑出，求圆管长度应满足的条件。 【变式训练】 变式1．（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）北京冬奥会后滑雪成为大家争相游玩的体育项目，一群小孩在滑雪初学者的学习场地适应场地训练，他们没有从高处直接往下滑，而是在坡底先适应雪地上的控制力。一个小孩在倾斜雪坡上，先以加速度大小为从雪坡底部由静止开始沿雪坡直线上“奔跑”，时，停止“奔跑”让滑雪板贴着雪坡向上以加速度大小为减速滑行至最高点，最后又以加速度大小为退滑到出发点，完成一次适应性训练。求： (1)小孩向上“奔跑”的位移大小及末速度大小； (2)小孩向上滑行的最远距离； (3)小孩完成一次适应性训练所需要的时间。 变式2．（25-26高一上·重庆渝中·阶段检测）2024年6月2日，由长征五号遥八运载火箭送上预定轨道的“嫦娥六号”成功着陆月球背面南极——艾特肯盆地，开启了“挖宝”之旅，为此小巴同学自制水火箭来模拟火箭的运动。可视为质点的水火箭最初静止于地面上，随着上升过程中水的消耗，火箭上升的加速度按如下规律逐渐增加；第n秒内加速度为，即，，…且每一秒内火箭均做匀加速直线运动。水火箭在第6秒末耗尽箭体内的水，然后做竖直上抛运动到达最高点，紧接着火箭自由下落2秒后遥控打开降落伞减速，开伞后最初一段距离内火箭速度v与开伞后下降的距离x之间满足：，其中C为特定常数，火箭运动距离d后以4m/s的速度匀速下降直到落地，降落伞打开前不计空气阻力，，本题可能用到的数学公式：。求： （1）水火箭第6秒末的速度大小； （2）水火箭上升的离地最大高度； （3）常数C的值、运动距离d及水火箭从发射到落回地面所用的时间。 变式3．（26-27高一上·江苏南京·阶段检测）如图所示，在平直公路上，汽车A向固定的测速仪B做直线运动，设t=0时汽车A与测速仪B相距d1=368m，此时测速仪B发出一个超声波脉冲信号和一个红外线信号，汽车A在接收到红外线信号时正以v0=108km/h的速度运动，司机立即刹车做匀减速直线运动。当汽车A接收到超声波信号时，它与测速仪B的间距为d2=340m，已知超声波的速度v=340m/s。红外线在空中传播的时间忽略不计。求： （1）汽车A的加速度大小为多大？ （2）测速仪B接收到反射回来的超声波信号时，汽车A和测速仪B的间距d3为多大？ （3）测速仪B接收到反射回来的超声波信号时，汽车立即改变其加速度，1.7s后测速仪B又发出一个超声波脉冲信号，在2.5s时该超声波信号恰与汽车A相遇，求汽车A的加速度？    考点二 避免相撞类问题 【知识点解析】 一、核心本质 同一直线上两物体同向运动，后方物体速度大于前方时，两者距离持续减小；后方速度小于前方时，距离持续增大。两物体速度相等的时刻，是两者距离最小的临界时刻，也是判断是否相撞的唯一临界点。 · 速度相等时，位移差 初始距离 不会相撞，此时距离最小； · 速度相等时，位移差 初始距离 已经相撞。 二、三大经典避碰模型 设初始时后方物体与前方物体相距 ，后方为物体 1，前方为物体 2。 模型 运动性质 临界条件 结果判断 匀减速追匀速 物体 1 匀减速（），物体 2 匀速 时 位移差 初始距离则不相撞 匀速追匀加速 物体 1 匀速（），物体 2 匀加速 时 速度相等时没撞上则永远不会撞 匀减速追匀加速 物体 1 匀减速，物体 2 匀加速 时 速度相等时为距离最小值点 三、三种解题方法 1. 临界条件法（最通用，优先推荐） 核心：抓住速度相等的临界时刻，比较位移差与初始距离。 步骤： ① 列速度相等方程：，求解临界时间 ； ② 分别计算 内两物体的位移 、； ③ 比较位移差与初始距离： - 若 ：不会相撞，最小距离为 ； - 若 ：会相撞，代入 求相撞时间。 2. 二次函数判别式法 核心：将位置差表示为时间的二次函数，利用判别式判断方程是否有解。 步骤： ① 写出两物体的位置随时间的函数：、； ② 位置差 ，相撞等价于 有正实根； ③ 判别式 ：会相撞；：不会相撞。 3. 相对运动法 核心：以前方物体为参考系，转化为单个物体的相对运动。 步骤： ① 求相对初速度 ，相对加速度 ； ② 当相对速度减为 时，计算相对位移 ； ③ 若 ：不会相撞。 四、标准解题步骤 1. 明确两物体的运动性质、初始速度、初始距离，选取正方向； 1. 确定临界条件：速度相等的时刻； 1. 计算临界时刻的位移，对比初始距离判断是否相撞； 1. 若相撞，求解相撞时间；若不相撞，求解最小距离。 【例题分析】 例1．（25-26高一上·广东·阶段检测）春节期间，全国高速公路免费通行，小轿车可以不停车通过收费站，到达收费站窗口处停止线前有一段长度的限速区，该区域限速，甲、乙两辆小轿车在收费站前平直公路上分别以大小为和的速度匀速行驶，甲车在前，乙车在后。甲车在限速区前以大小的恒定加速度刹车，在进入限速区前恰好符合要求，并以该速度匀速通过限速区。甲、乙两车均视为质点且始终未相撞。 (1)求甲车开始刹车时，到限速区前端的距离； (2)若甲车通过限速区后立即以大小的加速度做匀加速直线运动，加速至后以该速度匀速行驶，求甲车从开始刹车到完成加速所用的时间； (3)若从甲车开始刹车起经时间，乙车开始刹车，乙车刹车后以大小的加速度做匀减速直线运动，直到速度达到时匀速行驶，两车在通过限速区前，两车之间的最小距离，求甲车开始刹车时，甲、乙两车之间的距离。 例2．（25-26高一上·四川广元·期末）如图所示为车辆行驶过程中常见的变道超车情形。图中A车车长LA=4m，B车车长LB=6m，两车车头相距L=26m时，B车正以vB=10m/s的速度匀速行驶，A车正以vA=15m/s的速度借道超车，此时A车司机发现前方不远处有一辆汽车C正以vC=8m/s的速度迎面匀速驶来，C车车头和B车车头之间相距d=94m，现在A车司机有两个选择，一是放弃超车，驶回与B相同的车道，而后减速行驶；二是加速超车，在B与C相遇之前超过B车，不考虑变道过程的时间和速度的变化。求： (1)经过多长时间B车车头与C车车头相遇而过（结果保留三位有效数字）； (2)若A车选择放弃超车，回到B车所在车道，则A车至少应该以多大的加速度匀减速刹车，才能避免与B车相撞； (3)若A车选择加速超车，计算A车安全超车所用的最长时间。 例3．（25-26高一上·陕西安康·期中）汽车甲在平直的高速公路上以速度匀速行驶，发现前方处路面塌陷，经一段反应时间后开始以大小为的加速度急刹车。已知司机正常情况下的反应时间。在凌晨疲劳驾驶的情况下的反应时间为。 (1)正常情况下，汽车甲能否掉进路面塌陷地点？ (2)疲劳驾驶情况下，汽车甲能否掉进路面塌陷地点？若不能，计算汽车甲与路面塌陷地点的最近距离。若能，试计算若要在司机疲劳驾驶情况下汽车甲也不会掉入路面塌陷地点，汽车甲刹车（视为匀减速运动）的最小加速度； (3)若路面无塌陷，汽车甲匀速行驶时，后方的汽车乙以的速度在同车道上行驶，汽车乙的司机看到汽车甲以较小的速度行驶后，由于其疲劳驾驶，经的反应时间后以大小为的加速度刹车，结果恰好未发生事故，则汽车乙的司机发现汽车甲时两车的间距为多少？ 【变式训练】 变式1．（25-26高一上·浙江衢州·期中）如图1所示为某次交通安全测试的示意图，长＝10m、速度＝36km/h的货车距离人行道＝35m，一列长度为＝4m的行人距离路口＝3m，速度大小＝1m/s。道路宽度＝9m，人行道宽度＝5m，为保障行人安全，规定车辆和行人不能同时出现在人行道上。（答案可以用分数表示） (1)若货车保持匀速行驶，能否按规定通过人行道？（选填“能”或“不能”） (2)若货车立即以恒定加速度减速，求加速度大小需满足的条件； (3)若货车立即以恒定加速度加速，求加速度的最小值； (4)如图2所示为货车侧视图，可视为质点的货箱距车尾＝8m，若货车以（3）问的最小加速度加速通过人行道后立即匀速行驶，分析说明货箱是否会从货车上掉落。已知货箱能达到的最大加速度为3，且货箱与车厢底板发生相对滑动时货箱加速度等于3。 变式2．（25-26高一上·陕西西安·期中）一辆长途客车正在以的速度匀速行驶。突然，司机看见车的正前方处有一只狗，如图甲所示，司机立即采取制动措施。若从司机看见狗开始计时（），长途客车的速度-时间图像如图乙所示。 (1)求长途客车司机从发现狗至客车停止运动的这段时间内前进的距离； (2)求长途客车制动时的加速度； (3)若狗以的速度与长途客车同向且同时（）奔跑，狗会不会被撞？ 变式3．（25-26高一上·安徽·期中）无人驾驶技术日趋成熟，每辆智能车都会经过严格的安全测试才会出厂。现有三辆智能网联汽车组成车队，在封闭的平直安全道路上进行测试。甲车在前以的速度匀速行驶，乙车在甲车后以的速度匀速追赶，丙车保持和乙车相同的速度在乙车后处跟随。当乙车在距离甲车时开始以恒定的加速度减速，直到速度与甲车相同，然后保持跟随。当乙车开始减速时，丙车经过的反应时间后也做匀减速直线运动。已知乙车以108km/h的速度行驶时，以加速度制动，制动距离为。 (1)求乙车制动时加速度的值； (2)当乙车速度降至与甲车相同时，求甲、乙两车间的距离； (3)若乙车开始减速时，丙车经反应时间后以最大制动加速度做匀减速直线运动，则丙车是否会与乙车相撞？若会，求出什么时候相撞；若不会，求丙车至少以多大的恒定加速度进行制动才能避免与乙车相撞。 2 学科网（北京）股份有限公司 $