一次函数与反比例函数的图像问题、交点问题、实际应用问题专项训练-2026年中考数学一轮复习

一次函数与反比例函数的图像问题、交点问题、实际应用问题专项训练 一次函数与反比例函数的图像问题、交点问题、实际应用问题专项训练 考点目录 一次函数与反比例函数的图像问题 一次函数与反比例函数的交点问题 一次函数与反比例函数的实际应用问题 考点一 一次函数与反比例函数的图像问题 例1．（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：， 分两种情况： （1）当时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合． 故选D 例2．（25-26九年级上·广东清远·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【详解】解：若，反比例函数过一、三象限，一次函数过一、三、四象限； 若，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、四象限． 故选：A． 变式1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：∵一次函数图象经过一、二、三象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴矛盾，排除A． 选项B：∵一次函数图象经过二、三、四象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴矛盾，排除B． 选项C：∵一次函数图象经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在一、三象限， ∴， ∴矛盾，排除C． 选项D：∵一次函数图象经过一、二、四象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴一致，成立． 故选：D． 变式2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与 其中，是常数，)的图象不可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项：一次函数的图像是随的增大而减小， ， 一次函数的图像与轴交于正半轴， ， ， ， 反比例函数在第一、三象限，故A选项正确； B选项：一次函数的图像是随的增大而增大， ， 一次函数的图像与轴交于正半轴， ， ， ， 反比例函数在第二、四象限，故B选项正确； C选项：一次函数的图像是随的增大而增大， ， 一次函数的图像与轴交于正半轴， ， ， ， 反比例函数应在第二、四象限，故C选项错误； D选项：一次函数的图像是随的增大而减小， ， 一次函数的图像与轴交于负半轴， ， ， ， 反比例函数在第二、四象限，故D选项正确； 故选：C． 考点二 一次函数与反比例函数的交点问题 例1．（2026·河南周口·一模）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的交点，且一次函数的图象与坐标轴分别交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)连接，直接写出的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2) (3)8 【详解】（1）解：∵点和点在一次函数的图象上， ∴把点代入，得； 把点代入，得，解得； ∴，． （2）解：把代入，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （3）解：∵点为一次函数的图象与轴的交点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴． ∴的面积为8． 例2．（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)结合图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点， ． 解得，． 反比例函数解析式为． 在一次函数的图象上， 解得 一次函数解析式为：． （2）解：在一次函数中，令，则， ． ． （3）解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 例3．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接和． (1)求m、n的值和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)，，一次函数的表达式为 (2)或 (3) 【详解】（1）解：将点代入，解得， 把代入，得到，解得， ， 将，代入， 得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：一次函数与反比例函数交于点，， 根据一次函数和反比例函数的图象得：当时， 的取值范围是：或； （3）解：设一次函数与轴交于点，与轴交于点，过点作轴于，过点作轴于，如图所示： 对于，当时，，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ，， ， ∵点，， ，， ，， ． 变式1．（25-26九年级下·云南玉溪·开学考试）如图，反比例函数与一次函数的图象在第一象限交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)结合函数图象，当时，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）解：由题意，将代入中，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为，， 将代入中，得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：联立方程组为， 解得或，则， ∴根据图象，当时，的取值范围为：或． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知：反比例函数和一次函数相交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出两个函数的另外一个交点B点的坐标； (3)根据图象，直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：∵点在一次函数图象上， ∴， ∴， ∴点， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：联立方程组， 整理得，， ∴， 解得或， ∴； （3）解：如图， 由图象可知一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：或． 变式3．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为：． （2）解：在一次函数中，令，则， ， ； （3）解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 考点三 一次函数与反比例函数的实际应用问题 例1．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)5 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 例2．（25-26九年级上·山东东营·月考）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)有效，理由见解析 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 例3．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【答案】(1)， (2)本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟 (3)从消毒开始，至少需要学生才能回到教室 【详解】（1）解：由题意知，． （2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系， ∴设， 把点代入中，得，解得， ∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为， ∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， ∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效； ∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系， ∴设反比例函数式为， 把点代入中，得， ∴反比例函数式为， 药物燃烧完成后，当时，， ∴（）， ∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟． （3）∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 把代入中，解得， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室． 变式1．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 变式2．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）复习完“数与代数”的内容后，数学学习小组的同学想用“函数图象”的角度解决下面实际问题． 如图，计划围成一个面积为的矩形花园，花园一边靠墙，另外三边用栅栏围住． 问题1：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？若能围成，请你写出两边的长； 问题2：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？ 【问题探究】 学习小组思路：设为，为．由矩形花园面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，两个函数图象交点的坐标可以同时满足题目中的两个条件． （1）学习小组的同学已经画出了图象，请你根据上面的分析思路，利用画好的图象解决问题1． （2）请类比问题1的解决方法，解决问题2并说明理由． 【拓展应用】 （3）从探究中发现当栅栏总长为时，“能否围成矩形花园的问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在性问题”．其中一次函数的图象可以看成是直线平移得到的．若要围成矩形花园，且和的长均不小于，求a的取值范围． 【答案】（1）能围成矩形花园，，或，；（2）不能围出矩形花园，理由见解析；（3） 【详解】（1）由，得， ∴， ∴， ∴， 解得，． 当时，；当时，． 所以能围成矩形花园，，或，． （2）由，得， ∴， ∴， ∵， 所以方程无解，不能围出矩形花园． （3）由，得，，． 因为和的长均不小于， 当时，，代入得，； 当时，，，代入得，． 要使方程有解，则，且． 解得．所以a的取值范围是． 变式3．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求恒温系统关闭阶段的温度y与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为：，根据题意， 可得方程， ， 直线， 当时，， ∴恒定温度为：； （2）解：由（1）可知： 设关闭阶段的函数解析式为：， 根据题意，可得方程：， ， 函数解析式为：； （3）解：当时，， ， 当时，， ， 在20时～24时4小时之间是气温是低于的， 气温低于的总时间为：， 气温高于的适宜温度是：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一次函数与反比例函数的图像问题、交点问题、实际应用问题专项训练 一次函数与反比例函数的图像问题、交点问题、实际应用问题专项训练 考点目录 一次函数与反比例函数的图像问题 一次函数与反比例函数的交点问题 一次函数与反比例函数的实际应用问题 考点一 一次函数与反比例函数的图像问题 例1．（2026·广西梧州·模拟预测）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 例2．（25-26九年级上·广东清远·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 变式1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B．C． D． 变式2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）在同一平面直角坐标系中，函数与 其中，是常数，)的图象不可能是（    ） A．B． C． D． 考点二 一次函数与反比例函数的交点问题 例1．（2026·河南周口·一模）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的交点，且一次函数的图象与坐标轴分别交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)连接，直接写出的面积． 例2．（25-26九年级上·陕西延安·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)结合图象，请直接写出不等式的解集． 例3．（25-26九年级上·江西赣州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，分别连接和． (1)求m、n的值和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时，x的取值范围； (3)求的面积． 变式1．（25-26九年级下·云南玉溪·开学考试）如图，反比例函数与一次函数的图象在第一象限交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式． (2)结合函数图象，当时，求的取值范围． 变式2．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知：反比例函数和一次函数相交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求出两个函数的另外一个交点B点的坐标； (3)根据图象，直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围 ． 变式3．（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 考点三 一次函数与反比例函数的实际应用问题 例1．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 例2．（25-26九年级上·山东东营·月考）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 例3．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 变式1．（2025·宁夏银川·一模）某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 变式2．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）复习完“数与代数”的内容后，数学学习小组的同学想用“函数图象”的角度解决下面实际问题． 如图，计划围成一个面积为的矩形花园，花园一边靠墙，另外三边用栅栏围住． 问题1：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？若能围成，请你写出两边的长； 问题2：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？ 【问题探究】 学习小组思路：设为，为．由矩形花园面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，两个函数图象交点的坐标可以同时满足题目中的两个条件． （1）学习小组的同学已经画出了图象，请你根据上面的分析思路，利用画好的图象解决问题1． （2）请类比问题1的解决方法，解决问题2并说明理由． 【拓展应用】 （3）从探究中发现当栅栏总长为时，“能否围成矩形花园的问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在性问题”．其中一次函数的图象可以看成是直线平移得到的．若要围成矩形花园，且和的长均不小于，求a的取值范围． 变式3．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)求恒温系统关闭阶段的温度y与时间之间的函数关系式； (3)若大棚内的温度低于不利于新品种水果的生长，问这天内，相对有利于水果生长的时间共多少小时？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $