专题 2.7 有理数的混合运算（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年苏科版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本初中数学讲义聚焦有理数混合运算核心知识点，系统梳理运算优先级顺序（乘方、乘除、加减，括号由内向外）、简便技巧（凑整、分组、分配律、化除为乘）及必考易错点（乘方底数、符号搬运等），构建从基础法则到应用技巧的学习支架。 资料以分层题型精析（基础无括号到综合压轴）和同步检测（选择、填空、解答）为特色，融入“24点游戏”“程序框图”等实例，培养学生运算能力与应用意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

专题 2.7 有理数的混合运算（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点1】有理数混合运算优先级顺序（核心法则） 1 【知识点2】混合运算简便技巧 1 【知识点3】混合运算必考易错点 2 二.题型精析 2 【题型1】基础无括号混合运算（基础必考） 2 【题型2】含多层括号混合运算（中档核心） 2 【题型3】乘法分配律简便混合运算（高分速算） 3 【题型4】符号与乘方易错专项辨析 3 【题型5】综合压轴混合运算 4 三.同步检测 5 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 5 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 6 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 7 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点1】有理数混合运算优先级顺序（核心法则） 有理数包含加、减、乘、除、乘方的混合运算，严格遵循运算层级，不可跳级计算： 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算（只有加减、只有乘除），从左至右依次运算； 3. 含括号运算：先小括号，再中括号，最后大括号，由内向外逐层计算。 层级总结：乘方最高 > 乘除二级 > 加减最低。 【知识点2】混合运算简便技巧 前期所学有理数巧算四大技巧，完全适用于混合运算，大幅简化计算、规避硬算错误： 1. 凑整凑零：优先合并相反数、互补小数、分数，快速消项； 2. 同型分组：整数、分数、小数、正负项分类结合运算； 3. 乘法分配律：正向拆分、逆向提公因式，解决分数括号复杂运算； 4. 化除为乘：所有除法统一变乘法，先约分后计算。 【知识点3】混合运算必考易错点 1. 乘方底数混淆：，无括号仅对数字乘方，符号单独保留； 2. 符号搬运错误：移动算式中数字时，必须连带前方符号一起移动； 3. 分配律漏项：括号外因数必须与括号内每一项相乘，不可漏乘； 4. 括号变号错误：括号前为负号，去括号后内部所有项全部变号。 二.题型精析 【题型1】基础无括号混合运算（基础必考） 解题技巧：严格按「乘方→乘除→加减」顺序，分步计算，不跳步。 【例题1】（23-24六年级下·上海·期中）计算：． 【变式1】（25-26七年级下·江西景德镇·期末）沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 【变式2】（25-26六年级上·上海长宁·期末）“24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为24（每个数字用且只能用一次，可添加括号），现有，，，四个数字，请写出一个符合条件的算式___________． 【变式3】（2024·广西防城港·一模）计算： 【题型2】含多层括号混合运算（中档核心） 解题技巧：由内向外逐层去括号，每层运算均遵守混合运算顺序。 【例题2】（26-27七年级·上海·小升初衔接）计算： （1） ． （2）； 【变式1】（25-26七年级上·河北衡水·期中）用“■”定义新运算：对于任意有理数，，当时，都有，当时，都有．计算的值为（   ） A．32 B． C．16 D． 【变式2】（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 【变式3】（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． （1） （2） 【题型3】乘法分配律简便混合运算（高分速算） 解题技巧：分数加减括号配整数，优先用分配律展开，避免复杂通分，快速化简。 【例题3】（2024七年级上·江西赣州·竞赛）计算 （1）； （2）． 【变式1】（24-25六年级上·山东烟台·期末）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：_____． 【变式3】（24-25七年级下·山东菏泽·开学考试）计算 （1） （2） 【题型4】符号与乘方易错专项辨析 解题技巧：重点区分有无括号的乘方运算，是混合运算最易丢分点。 【例题4】（24-25七年级上·江苏南京·期末）计算 （1）； （2）． 【变式1】（23-24七年级上·广东梅州·阶段检测）在等式中，▲表示的数是（   ） A．2 B．4 C．2或 D．或4 【变式2】（24-25七年级上·重庆·期末）定义新运算：，例如：，则_______． 【变式3】（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： （1） （2） （3） （4） 【题型5】综合压轴混合运算 解题技巧：先定整体符号，再分层运算，结合凑整、约分、分配律简化全程。 【例题5】（24-25七年级上·天津和平·期中）计算： （1） （2） （3） （4） 【变式1】（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去第2022次输出的结果为___________．    【变式3】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）计算 （1） （2） 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25七年级上·重庆永川·期中）计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 2．（24-25七年级上·广东佛山·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段检测）（　　） A．0 B． C． D． 4．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25六年级上·山东淄博·期中）下面是科学计算器的按键顺序： 0 ． 6 × 5 6 + 2 3 其对应的计算列式为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·广东肇庆·期中），0，，，中，是正数的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 8．（24-25七年级上·广东广州·阶段检测）远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天 A． B． C． D． 9．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）计算：（  ） A．0 B． C．1012 D． 10．（25-26七年级上·全国·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·天津红桥·期末）计算：=___________． 12．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）计算：______． 13．（24-25七年级上·吉林·阶段检测）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为________． 14．（24-25七年级上·北京·期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的值为_______． 15．（23-24七年级上·广东佛山·期末）利用如图所示的图形，可求的值是______； 16．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段检测）若，则______． 17．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）规定：对任意有理数对，都有．例如：有理数对．若有理数对，则有理数对______． 18．（2024七年级·全国·竞赛）计算：______________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）计算： （1） （2） 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； 21．（本小题满分10分）（24-25六年级上·山东东营·期中）计算 （1）； （2）． （3）； （4）． 22．（本小题满分10分）（2025·河北唐山·一模）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“*”表示一个有理数． （1）若输入的数是1，*表示的数为2，求计算结果； （2）若输入的数是，且计算结果为8，求*表示的数； （3）若输入的数是a，*表示的数为b，当计算结果为0时，直接写出a与b之间的数量关系． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·重庆渝中·阶段检测）计算题 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·广东佛山·期末）综合探究 斐波那契数列，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述该数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又与美学和哲学息息相关． （1）初步探究 斐波那契数列第9和10个数分别为：______，______．若用表示斐波那契数列中的第个数，则______（用、表示，其中为正整数）． （2）深入探究 现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形，再分别从左到右依次取2个、3个、4个、5个正方形拼成如图2的长方形，记为①，②，③，④，． （ⅰ）通过计算相应长方形的面积填写下表． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 …… （ⅱ）根据上述表格，发现： ； ； ； 请你写出斐波那契数列前项平方和的规律，并完成证明． 规律：______（用、表示，其中为正整数） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.7 有理数的混合运算（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点1】有理数混合运算优先级顺序（核心法则） 1 【知识点2】混合运算简便技巧 1 【知识点3】混合运算必考易错点 2 二.题型精析 2 【题型1】基础无括号混合运算（基础必考） 2 【题型2】含多层括号混合运算（中档核心） 3 【题型3】乘法分配律简便混合运算（高分速算） 6 【题型4】符号与乘方易错专项辨析 8 【题型5】综合压轴混合运算 10 三.同步检测 14 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 19 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 22 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点1】有理数混合运算优先级顺序（核心法则） 有理数包含加、减、乘、除、乘方的混合运算，严格遵循运算层级，不可跳级计算： 1. 先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2. 同级运算（只有加减、只有乘除），从左至右依次运算； 3. 含括号运算：先小括号，再中括号，最后大括号，由内向外逐层计算。 层级总结：乘方最高 > 乘除二级 > 加减最低。 【知识点2】混合运算简便技巧 前期所学有理数巧算四大技巧，完全适用于混合运算，大幅简化计算、规避硬算错误： 1. 凑整凑零：优先合并相反数、互补小数、分数，快速消项； 2. 同型分组：整数、分数、小数、正负项分类结合运算； 3. 乘法分配律：正向拆分、逆向提公因式，解决分数括号复杂运算； 4. 化除为乘：所有除法统一变乘法，先约分后计算。 【知识点3】混合运算必考易错点 1. 乘方底数混淆：，无括号仅对数字乘方，符号单独保留； 2. 符号搬运错误：移动算式中数字时，必须连带前方符号一起移动； 3. 分配律漏项：括号外因数必须与括号内每一项相乘，不可漏乘； 4. 括号变号错误：括号前为负号，去括号后内部所有项全部变号。 二.题型精析 【题型1】基础无括号混合运算（基础必考） 解题技巧：严格按「乘方→乘除→加减」顺序，分步计算，不跳步。 【例题1】（23-24六年级下·上海·期中）计算：． 【答案】 解： ． 【变式1】（25-26七年级下·江西景德镇·期末）沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 【答案】A 解：输入n的值为3，， 输入n的值为8，，输出y． 【变式2】（25-26六年级上·上海长宁·期末）“24点游戏”是将四个数字进行加、减、乘、除运算，使其结果为24（每个数字用且只能用一次，可添加括号），现有，，，四个数字，请写出一个符合条件的算式___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意列出算式即可． 解： ． 故答案为：． 【变式3】（2024·广西防城港·一模）计算： 【答案】 【分析】先计算乘方和括号内的减法，再计算乘除法，最后计算减法即可得到答案． 解： ． 【题型2】含多层括号混合运算（中档核心） 解题技巧：由内向外逐层去括号，每层运算均遵守混合运算顺序。 【例题2】（26-27七年级·上海·小升初衔接）计算： （1） ． （2）； 【答案】（1）；（2） （1）解： ． （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·河北衡水·期中）用“■”定义新运算：对于任意有理数，，当时，都有，当时，都有．计算的值为（   ） A．32 B． C．16 D． 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意代入数据进行计算即可． 解：由题意可得， ， ∴， 故选：C 【变式2】（2026·黑龙江绥化·三模）计算：_______． 【答案】 解： ． 【变式3】（25-26七年级上·重庆·期中）计算题，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤． （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可； （2）利用含乘方的有理数的混合运算法则计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 【题型3】乘法分配律简便混合运算（高分速算） 解题技巧：分数加减括号配整数，优先用分配律展开，避免复杂通分，快速化简。 【例题3】（2024七年级上·江西赣州·竞赛）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） （1）解：原式． （2）解：原式的倒数为：， ∴原式． 【变式1】（24-25六年级上·山东烟台·期末）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据各个选项中的式子，可以计算出正确的式子或者结果，本题得以解决． 解：A．，计算正确，选项不符合题意； B．，计算正确，选项不符合题意； C．，计算正确，选项不符合题意； D．，计算错误，选项符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·课后作业）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查了分数四则运算的简算，把应用乘法分配律展开，再把、、展开成整数和分数的和，然后整数和整数一起简算，分数和分数一起简算，再结合减法的性质解答，灵活应用乘法分配律、减法性质是解题的关键． 解： ， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·山东菏泽·开学考试）计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） （1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型4】符号与乘方易错专项辨析 解题技巧：重点区分有无括号的乘方运算，是混合运算最易丢分点。 【例题4】（24-25七年级上·江苏南京·期末）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算法则和运算定律进行计算． （1）根据乘法分配律进行简便计算； （2）先算乘方和绝对值的运算，再算加减法即即可． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（23-24七年级上·广东梅州·阶段检测）在等式中，▲表示的数是（   ） A．2 B．4 C．2或 D．或4 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减乘除的运算，解答此题的关键是判断出， 根据题意可得，据此即可求出“▲”处表示的数． 解：由结果为0，可得， 解得． 故选C． 【变式2】（24-25七年级上·重庆·期末）定义新运算：，例如：，则_______． 【答案】24 【分析】本题属于新定义运算题目．考查有理数的混合运算，理解新定义运算法则是解题关键．将原式根据新定义运算规定进行变形整理，从而根据新定义运算规定计算求解． 解：． 故答案为：24． 【变式3】（23-24六年级下·全国·假期作业）计算下列各题： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可； （2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题． （1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 【题型5】综合压轴混合运算 解题技巧：先定整体符号，再分层运算，结合凑整、约分、分配律简化全程。 【例题5】（24-25七年级上·天津和平·期中）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）先算同分母分数，再计算加减法； （2）先算乘法，再去括号，再算同分母分数，再计算加减法； （3）先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （4）根据乘法分配律简便计算． （1）解： 原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ （2）解： 原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ （3）解： 原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ （4）解： 原式＝ 　　＝ 　　＝ 　　＝ 【点拨】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，简化运算过程． 【变式1】（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 解：A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点拨】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·全国·课后作业）程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》，如图所示的程序框图，当输入的值是20时，根据程序计算，第一次输出的结果为10，第二次输出的结果为5……这样下去第2022次输出的结果为___________．    【答案】 【分析】先根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期，据此求解可得． 解：由题意知，第1次输出的结果为10， 第2次输出的结果为5， 第3次输出的结果为， 第4次输出的结果为， 第5次输出的结果为， 第6次输出的结果为， 第7次输出的结果为， 第8次输出的结果为， 第9次输出的结果为， …….. 这列数除前2个数外，每4个数为一个周期， ∵， ∴第2022次输出的结果为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据程序框图计算出前9个数，从而得出这列数除前2个数外，每4个数为一个周期的规律． 【变式3】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查含乘方的有理数混合运算； （1）先算分子的两个括号，同时分母除法变乘法后利用乘法分配律计算，计算出分子分母以后再化简即可； （2）先计算括号内的运算、乘方和绝对值，最后从左到右依次计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（24-25七年级上·重庆永川·期中）计算：的结果是（    ） A．9 B． C． D．36 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，先算乘方，并把除法转化为乘法，再算乘法即可． 解： 故选 D． 2．（24-25七年级上·广东佛山·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题有理数的减法法则、乘法法则、除法法则以及乘方的意义等知识，掌握以上知识是解题的关键．根据有理数的减法法则、乘法法则、除法法则以及乘方的意义逐一判断即可． 解：A． ，故选项A错误； B．，故选项B正确； C．，故选项C错误； D．，故选项D错误； 故选：B． 3．（24-25七年级下·湖南湘西·阶段检测）（　　） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 解： ． 故选：A． 4．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 5．（24-25六年级上·山东淄博·期中）下面是科学计算器的按键顺序： 0 ． 6 × 5 6 + 2 3 其对应的计算列式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用计算器进行计算，根据计算器各键的含义即可得出． 解：按键顺序对应的计算列式为， 故选：B． 6．（24-25七年级上·广东肇庆·期中），0，，，中，是正数的有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了正数的意义，乘方运算，绝对值及相反数的定义，分别化简各数，判断其正负性，统计正数的个数即可． 解：，结果是负数， 0既不是正数也不是负数， ，是负数， ，是正数， ，0既不是正数也不是负数， 是负数． 综上，只有第4个数是正数，共1个． 故选：A． 7．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算．把代入程序中计算，判断结果与的大小，即可． 解：若输入1，则 ， 即输出的结果是． 故选：B 8．（24-25七年级上·广东广州·阶段检测）远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（   ）天 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，再列式计算即可． 解：（天）， 答：孩子自出生后的天数是466天． 故选：B． 9．（25-26七年级上·江苏·阶段检测）计算：（  ） A．0 B． C．1012 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，仔细观察发现求解的简便方法是解题的关键． 首先化简括号内的乘方，然后得到的个数和的个数相等，进而得到前括号的结果为0，进而求解即可． 解： ． 故选：A． 10．（25-26七年级上·全国·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算法则．先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减，有括号的先计算括号内的． 解： ． 故选：D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25七年级下·天津红桥·期末）计算：=___________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 根据有理数的运算法则计算即可． 解：， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·安徽宿州·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 解： ． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·吉林·阶段检测）按照如图所示的操作步骤，若输入的值为，则输出的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据操作步骤列出式子进行计算即可求解． 解：依题意， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·北京·期中）如图是一个简单的数值运算程序，当输入的值为时，则输出的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，先理解运算程序为，把代入进行计算，得，因为得数不符合，故再把代入进行计算，即可作答． 解：依题意，把代入， 得， ∴把代入， 得， 故答案为： 15．（23-24七年级上·广东佛山·期末）利用如图所示的图形，可求的值是______； 【答案】 【分析】本题考查了含乘方的混合运算，将转化为求空白图形的面积和即可得解． 解：令正方形的边长为1，由图可得， ， 故答案为：． 16．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段检测）若，则______． 【答案】2 【分析】根据有理数的混合运算法则，进行计算即可． 解：∵， ∴ ． 故答案为：2． 【点拨】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键． 17．（24-25七年级上·浙江丽水·期末）规定：对任意有理数对，都有．例如：有理数对．若有理数对，则有理数对______． 【答案】62 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题中新定义，正确列出算式是解答的关键．先根据新定义运算法则求得n值，进而可求解． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：62． 18．（2024七年级·全国·竞赛）计算：______________． 【答案】1 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，绝对值的求解，先算乘方，再算乘除，求绝对值，最后再算加减即可求解． 解：原式 ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级下·河南周口·阶段检测）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算、有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先去括号，再计算有理数的加减法即可得； （2）先计算有理数的乘方，再计算乘除法，最后计算减法即可得． （1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）本题考查有理数混合运算，先运用乘法分配律简便计算，同时运算除法，然后进行加减即可解题． （2）熟练掌握有理数混合运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先算括号内的运算”是解题的关键． （1）解： ； （2）解： ． 21．（本小题满分10分）（24-25六年级上·山东东营·期中）计算 （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先计算乘方和括号内减法，再计算乘法和绝对值，最后计算加减法即可； （3）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （4）先将除法化为乘法，并将带分数化为假分数，再计算乘法，最后计算加减法即可． （1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 22．（本小题满分10分）（2025·河北唐山·一模）如图，某数学活动小组编制了一道有理数混合运算题，即输入一个有理数，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果，其中“*”表示一个有理数． （1）若输入的数是1，*表示的数为2，求计算结果； （2）若输入的数是，且计算结果为8，求*表示的数； （3）若输入的数是a，*表示的数为b，当计算结果为0时，直接写出a与b之间的数量关系． 【答案】（1）2；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，一元一次方程的应用，整式的加减的应用． （1）根据题意代入相应的值运算即可； （2）设*表示的数为x，根据题意得出相应的方程求解即可； （3）根据输入数为a，*表示的数为b，当计算结果为0时，求出a，b之间的关系． （1）解：∵*表示2，输入数为1， ∴； （2）解：设*表示的数为x， 根据题意得：， ∴； （3）解：∵输入数为a，*表示的数为b，当计算结果为0时， ∴， 整理得． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·重庆渝中·阶段检测）计算题 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题考查有理数的运算： （1）根据加减运算法则，进行计算即可； （2）带分数化为假分数，利用乘法法则，进行计算即可； （3）利用乘法分配律进行计算即可； （4）先去绝对值，再进行加减运算即可； （5）逆用乘法分配律进行计算即可； （6）根据混合运算法则进行计算即可． （1）解：原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5）原式 （6）原式 24．（本小题满分12分）（24-25七年级上·广东佛山·期末）综合探究 斐波那契数列，意大利数学家莱昂纳多•斐波那契在其著作《计算之书》中用兔子繁衍问题描述该数列，即1，1，2，3，5，8，13，21，，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．这个数列与数学、生活息息相关，既是绘画、建筑和经济等领域的秘钥，又与美学和哲学息息相关． （1）初步探究 斐波那契数列第9和10个数分别为：______，______．若用表示斐波那契数列中的第个数，则______（用、表示，其中为正整数）． （2）深入探究 现以这组数中的各个数作为正方形的边长构造如图1的正方形，再分别从左到右依次取2个、3个、4个、5个正方形拼成如图2的长方形，记为①，②，③，④，． （ⅰ）通过计算相应长方形的面积填写下表． 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 …… （ⅱ）根据上述表格，发现： ； ； ； 请你写出斐波那契数列前项平方和的规律，并完成证明． 规律：______（用、表示，其中为正整数） 【答案】（1）；；（2）（ⅰ）填表如下： 序号 ① ② ③ ④ ⑤ …… 面积 2 6 15 40 104 …… （ⅱ）解：， 证明：记斐波那契数列为：，，，，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【分析】本题主要考查了图形的变化规律、 有理数的混合运算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和这一规律可得即可得解； （2）（ⅰ）根据图形面积即可得解； （ⅱ）根据所给规律总结证明即可． （1）解：斐波那契数列第9个数为，第10个数为；若用表示斐波那契数列中的第个数，则， 故答案为：；； （2）（ⅰ）解：第④个图形的面积为：， 第⑤个图形的边长为， 第⑤个图形的面积为：， （ⅱ）略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 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