专题 3.5 平面直角坐标系与几何问题讲义- 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题 3.5 平面直角坐标系与几何问题讲义 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】坐标系中线段长度计算 2 【知识点二】坐标与位置关系（平行、垂直） 2 【知识点三】坐标系图形面积计算（必考） 2 【知识点四】坐标与几何变换（轴对称几何应用） 2 【知识点五】特殊几何点坐标特征 2 【知识点六】中点坐标公式与两点间距离公式（拓展必考） 3 三.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】平行于坐标轴的线段长度（基础计算） 3 【题型 2】坐标系三角形面积计算 4 【题型 3】不规则图形面积（割补法，重难点） 4 【题型 4】坐标与轴对称几何综合（作图+计算） 5 【题型 5】利用面积求参数坐标（中档必考） 6 【题型 6】特殊直线与角平分线坐标问题 7 【题型 7】中点公式与两点距离公式应用（拓展必考） 8 【题型 8】平面直角坐标系与将军饮马问题 9 【题型 9】等腰三角形存在性（分类讨论压轴小题） 11 【题型 10】平面直角坐标系与动点问题 12 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 知识目标：熟练掌握平面直角坐标系中线段长度、图形面积的计算方法；掌握平行、垂直、对称等几何特征在坐标中的体现；学会结合坐标解决三角形、多边形、动点、存在性等基础几何综合问题，构建“数形结合”核心知识体系。 2. 能力目标：能利用坐标公式求线段长、图形面积；能根据坐标判断直线平行、垂直关系；能解决坐标系内轴对称作图、几何图形判定、简单动点与等腰三角形存在性问题，提升几何建模与代数计算结合的解题能力。 3. 素养目标：深化数形结合、转化与分类讨论思想，实现几何图形与坐标代数的双向转化，培养几何直观、逻辑推理和精准运算的数学核心素养，为后续函数几何综合题打基础。 （二）重难点 重点：坐标系中线段长度、三角形及多边形面积计算；坐标与平行、垂直、轴对称几何变换的结合应用；定点、定形几何综合计算。 难点：不规则图形面积割补法应用；等腰三角形、直角三角形坐标存在性问题（分类讨论）；坐标系动点几何问题分析；几何特征与坐标规律的灵活转化。 二.知识梳理与解读 【知识点一】坐标系中线段长度计算 1. 水平线段（平行x轴）：两点、，纵坐标相同，线段长度 。 2. 竖直线段（平行y轴）：两点、，横坐标相同，线段长度 。 3. 点到坐标轴距离：点，到x轴距离，到y轴距离（几何计算高频基础）。 【知识点二】坐标与位置关系（平行、垂直） 1. 平行关系：两点纵坐标相等，直线平行于x轴；两点横坐标相等，直线平行于y轴。 2. 垂直关系：一条直线水平、一条直线竖直，则两条直线互相垂直（八上核心垂直判定）。 【知识点三】坐标系图形面积计算（必考） 1. 规则图形：直角三角形、矩形、直角梯形，直接用底×高计算，底和高优先选取平行坐标轴的线段。 2. 不规则三角形/多边形：采用割补法，将图形补成长方形/正方形，减去周围多余直角三角形面积，快速求解。 【知识点四】坐标与几何变换（轴对称几何应用） 1. 关于x轴对称：横不变、纵变号，图形上下翻折，对应线段、角度不变； 2. 关于y轴对称：纵不变、横变号，图形左右翻折，图形形状、大小完全不变； 3. 轴对称变换不改变图形边长、周长、面积，仅改变位置。 【知识点五】特殊几何点坐标特征 1. 一三象限角平分线：； 2. 二四象限角平分线：； 3. 坐标轴上的点：x轴，y轴。 【知识点六】中点坐标公式与两点间距离公式（拓展必考） 1. 中点坐标公式：已知平面内任意两点、，则线段AB的中点M坐标为： 核心应用：求线段中点、已知中点反求端点坐标、坐标系图形中心坐标求解。 2. 平面内两点间距离公式：已知任意两点、，两点之间线段长度： 特殊适配：可通用所有线段长度计算，包含非水平、非竖直斜线线段，弥补横竖线段公式的局限性，是坐标系几何计算核心拓展公式。 3. 公式特殊验证 水平线段：，代入公式得，与原有公式一致； 竖直线段：，代入公式得，与原有公式一致。 三.题型精析（基础夯实） 【题型 1】平行于坐标轴的线段长度（基础计算） 【例题1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知点和点，若直线轴，则线段的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．7 【变式1】（25-26七年级下·天津宝坻·期中）已知点，，其中x、y满足，则线段的长为________． 【变式2】（25-26七年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，点，，则线段的长度为______．   【变式3】（25-26七年级下·北京·期中）已知线段，轴，若点的坐标为，则点的坐标为______． 【题型 2】坐标系三角形面积计算 【例题2】（25-26八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点是，设为坐标原点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）如图三角形顶点坐标分别是、、，那么它的面积等于______． 【题型 3】不规则图形面积（割补法，重难点） 【例题3】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A．14 B．11 C．10 D．9 【变式1】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，，点B在第一象限，，若，，则四边形的面积为（） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．则四边形的面积是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【题型 4】坐标与轴对称几何综合（作图+计算） 【例题4】（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，在轴上求点，使的值最小． （1）画图并在图中标出点的位置． （2）求的最小值． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026八年级下·湖南益阳·竞赛）若点和关于x轴对称，则点到坐标原点的距离为___________． 【变式3】（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图，已知的顶点分别为、、． （1）作出关于轴对称的图形； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 【题型 5】利用面积求参数坐标（中档必考） 【例题5】（24-25七年级下·广东中山·期末）已知点，，点B在x轴正半轴上，且三角形的面积等于3，则点B的坐标是__________． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式2】（25-26七年级下·广西贺州·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，，在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，则点的坐标为____________． 【题型 6】特殊直线与角平分线坐标问题 【例题6】（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，点在第一象限的角平分线上，点，且轴，点C在y轴上． （1）直接写出m，n的值； （2）若三角形的面积是，求点C的坐标． 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．2或4 【变式2】（25-26七年级下·北京西城·阶段检测）若点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为________． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点” （1）点的“长距”为______； （2）若的长距为7，且点在第三象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【题型 7】中点公式与两点距离公式应用（拓展必考） 【例题7】（25-26七年级下·江西赣州·期末）阅读材料，回答下列问题： 在直角坐标系中，已知平面内、两点坐标，则A、B两点之间的距离等于 例如：已知点，则这两点间的距离． 特别地，如果两点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或． （1）已知，求C、D两点间的距离； （2）已知M、N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为，求M、N两点间的距离； （3）已知一个三角形各顶点的坐标为，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·山西吕梁·期中）如图，直线轴，且直线经过点，点的坐标为，为直线上的一动点，为的中点，点从点出发，沿着直线向轴负方向移动，则在移动过程中，三角形的面积（   ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大再变小 D．不变，面积始终为 【变式2】（26-27八年级下·全国·课后作业）点到x轴的距离是______________，到y轴的距离是______________，到原点的距离是______________． 【变式3】（25-26七年级下·广东汕头·期中）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． （1）观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________． （2）探究迁移 如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________． （3）拓展应用 已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 【题型 8】平面直角坐标系与将军饮马问题 【例题8】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在格点上，请你用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹． （1）求的面积； （2）画出关于直线的对称图形； （3）在上找到一点，使得最小，并直接写出这个最小值是_____． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【变式2】（25-26八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为________． 【变式3】（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为． （1）画出关于轴对称的图形，并写出的顶点坐标； （2）请在轴上找一点，使得的值最小，最小值是多少？ 【题型 9】等腰三角形存在性（分类讨论压轴小题） 【例题9】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，，点在轴上，且． （1）点的坐标为________； （2）在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为9，若存在，请直接写出点的坐标________；若不存在，请说明理由． （3）点在轴上，若以、、三点构成的三角形是等腰三角形，求出点的坐标． 【变式1】（25-26七年级上·山东济南·期末）在直角坐标系中，已知点，在y轴负半轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·江西吉安·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点是轴正半轴上的一个动点，当是等腰三角形时，则点坐标是_____． 【变式3】（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．的边在轴上，两点的坐标分别为、，，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）两点的坐标分别是 ， ； （2）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【题型 10】平面直角坐标系与动点问题 【例题10】（25-26八年级下·河北石家庄·阶段检测）如图，在下图的平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，点B的坐标为，点A在y轴正半轴上，且，点C在x轴的正半轴上，且，点P是x轴上的一个动点． （1）点A坐标为______，点C坐标为______． （2）若的面积为6，求点P的坐标． （3）若点P到直线和y轴的距离相等，则P点坐标为______． 【变式1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【变式2】（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 【变式3】（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，四边形为长方形，以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．已知点A的坐标为，点C的坐标为． （1）求点B的坐标为______； （2）有一动点D从原点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿线段向终点A运动．当直线将长方形的周长分为两部分时，求点D的运动时间t的值； （3）在（2）的条件下，E为坐标轴上一点，若三角形的面积是24，求点E的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.5 平面直角坐标系与几何问题讲义 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】坐标系中线段长度计算 2 【知识点二】坐标与位置关系（平行、垂直） 2 【知识点三】坐标系图形面积计算（必考） 2 【知识点四】坐标与几何变换（轴对称几何应用） 2 【知识点五】特殊几何点坐标特征 2 【知识点六】中点坐标公式与两点间距离公式（拓展必考） 3 三.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】平行于坐标轴的线段长度（基础计算） 3 【题型 2】坐标系三角形面积计算 5 【题型 3】不规则图形面积（割补法，重难点） 6 【题型 4】坐标与轴对称几何综合（作图+计算） 9 【题型 5】利用面积求参数坐标（中档必考） 12 【题型 6】特殊直线与角平分线坐标问题 14 【题型 7】中点公式与两点距离公式应用（拓展必考） 17 【题型 8】平面直角坐标系与将军饮马问题 21 【题型 9】等腰三角形存在性（分类讨论压轴小题） 26 【题型 10】平面直角坐标系与动点问题 32 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 知识目标：熟练掌握平面直角坐标系中线段长度、图形面积的计算方法；掌握平行、垂直、对称等几何特征在坐标中的体现；学会结合坐标解决三角形、多边形、动点、存在性等基础几何综合问题，构建“数形结合”核心知识体系。 2. 能力目标：能利用坐标公式求线段长、图形面积；能根据坐标判断直线平行、垂直关系；能解决坐标系内轴对称作图、几何图形判定、简单动点与等腰三角形存在性问题，提升几何建模与代数计算结合的解题能力。 3. 素养目标：深化数形结合、转化与分类讨论思想，实现几何图形与坐标代数的双向转化，培养几何直观、逻辑推理和精准运算的数学核心素养，为后续函数几何综合题打基础。 （二）重难点 重点：坐标系中线段长度、三角形及多边形面积计算；坐标与平行、垂直、轴对称几何变换的结合应用；定点、定形几何综合计算。 难点：不规则图形面积割补法应用；等腰三角形、直角三角形坐标存在性问题（分类讨论）；坐标系动点几何问题分析；几何特征与坐标规律的灵活转化。 二.知识梳理与解读 【知识点一】坐标系中线段长度计算 1. 水平线段（平行x轴）：两点、，纵坐标相同，线段长度 。 2. 竖直线段（平行y轴）：两点、，横坐标相同，线段长度 。 3. 点到坐标轴距离：点，到x轴距离，到y轴距离（几何计算高频基础）。 【知识点二】坐标与位置关系（平行、垂直） 1. 平行关系：两点纵坐标相等，直线平行于x轴；两点横坐标相等，直线平行于y轴。 2. 垂直关系：一条直线水平、一条直线竖直，则两条直线互相垂直（八上核心垂直判定）。 【知识点三】坐标系图形面积计算（必考） 1. 规则图形：直角三角形、矩形、直角梯形，直接用底×高计算，底和高优先选取平行坐标轴的线段。 2. 不规则三角形/多边形：采用割补法，将图形补成长方形/正方形，减去周围多余直角三角形面积，快速求解。 【知识点四】坐标与几何变换（轴对称几何应用） 1. 关于x轴对称：横不变、纵变号，图形上下翻折，对应线段、角度不变； 2. 关于y轴对称：纵不变、横变号，图形左右翻折，图形形状、大小完全不变； 3. 轴对称变换不改变图形边长、周长、面积，仅改变位置。 【知识点五】特殊几何点坐标特征 1. 一三象限角平分线：； 2. 二四象限角平分线：； 3. 坐标轴上的点：x轴，y轴。 【知识点六】中点坐标公式与两点间距离公式（拓展必考） 1. 中点坐标公式：已知平面内任意两点、，则线段AB的中点M坐标为： 核心应用：求线段中点、已知中点反求端点坐标、坐标系图形中心坐标求解。 2. 平面内两点间距离公式：已知任意两点、，两点之间线段长度： 特殊适配：可通用所有线段长度计算，包含非水平、非竖直斜线线段，弥补横竖线段公式的局限性，是坐标系几何计算核心拓展公式。 3. 公式特殊验证 水平线段：，代入公式得，与原有公式一致； 竖直线段：，代入公式得，与原有公式一致。 三.题型精析（基础夯实） 【题型 1】平行于坐标轴的线段长度（基础计算） 【例题1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知点和点，若直线轴，则线段的长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于y轴的直线上点的坐标特征及两点间距离的计算． 利用平行于y轴的直线上点的横坐标相等求出m的值，再通过纵坐标差的绝对值计算线段长度． 解：∵直线轴 ∴点P与点Q的横坐标相等 ∵点P横坐标为，点Q横坐标为6 ∴ 解得 将代入，得点P的纵坐标为，即 ∴线段的长为 故选：C． 【变式1】（25-26七年级下·天津宝坻·期中）已知点，，其中x、y满足，则线段的长为________． 【答案】6 【分析】根据绝对值和平方的非负性，求出、的值，从而得到点的坐标，即可求出线段的长． 解：， ，， 解得：，， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·云南曲靖·期末）在平面直角坐标系中，点，，则线段的长度为______．   【答案】6 【分析】根据点A和点B纵坐标相同，线段平行于轴，线段长度可通过横坐标差的绝对值计算． 解：∵点，点的纵坐标相等， ∴线段平行于轴， ∴． 【变式3】（25-26七年级下·北京·期中）已知线段，轴，若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】结合轴，得出点的纵坐标相等的性质，需要分情况讨论点的位置，根据线段长度计算点的横坐标即可． 解：轴，点的坐标为， 点的纵坐标为， ， 当点在点左侧时，点的横坐标为，点的坐标为； 当点在点右侧时，点的横坐标为，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【题型 2】坐标系三角形面积计算 【例题2】（25-26八年级下·河北唐山·期中）在平面直角坐标系中，若点关于轴的对称点是，设为坐标原点，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，求出点，连接，根据三角形的面积公式，即可． 解：如图所示， ∵点关于轴的对称点是， ∴点， 连接，，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期中）如图三角形顶点坐标分别是、、，那么它的面积等于______． 【答案】20 【分析】此题主要考查了坐标与图形性质，结合图形求解是解题关键． 根据网格及坐标系求解三角形的面积即可． 解：三角形的面积为：， 故答案为：20． 【题型 3】不规则图形面积（割补法，重难点） 【例题3】（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，则四边形的面积为（    ） A．14 B．11 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，过A作于M，过B作于N，根据A、B、C的坐标可求出，，，，，然后根据求解即可． 解：过A作于M，过B作于N， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴四边形的面积为 ， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，，点B在第一象限，，若，，则四边形的面积为（） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】该题主要考查了勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线； 过B作，根据勾股定理解出再根据等面积法算出从而得出，再根据四边形的面积即可求解； 解：过B作， ，，， ， ， ， ， 则四边形的面积； 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．则四边形的面积是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，如图，过作于，过作于，再利用割补法求解面积即可． 解：如图，过作于，过作于， ∵，，，， ∴，，，，， ∴四边形的面积是． 故选：C 【题型 4】坐标与轴对称几何综合（作图+计算） 【例题4】（25-26八年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，在轴上求点，使的值最小． （1）画图并在图中标出点的位置． （2）求的最小值． 【答案】（1）解：过点A作轴的对称点，连接与轴的交点记为，连接，如图所示： （2） 【分析】（1）理解题意，过点A作轴的对称点，连接与轴的交点记为，连接，此时的值最小； （2）结合网格特征，运用勾股定理进行列式计算，即可作答． 解：（1）略 （2）解：由（1）得， 此时， 即的最小值为． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，若，且点在第四象限，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，易得点和点关于直线对称，即可得出结果. 解：∵的顶点坐标分别为，，， ∴轴， ∵，且点在第四象限， ∴点和点关于直线对称， ∴. 【变式2】（2026八年级下·湖南益阳·竞赛）若点和关于x轴对称，则点到坐标原点的距离为___________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征求出和的值，再利用勾股定理计算点到坐标原点的距离． 解：由关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，得 ， 解得 ，， 即点的坐标为， 点到坐标原点的距离，由勾股定理得 ． 【变式3】（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图，已知的顶点分别为、、． （1）作出关于轴对称的图形； （2）写出点，，的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）如图，即为所求； （2），，；（3）5.5 【分析】（1）作出A、B、C关于轴对称的对应点，然后顺次连接即可； （2）由（1）中点，，的位置写出坐标即可； （3）利用割补法求解． 解：（1）略 （2）略 （3）解：的面积． 【题型 5】利用面积求参数坐标（中档必考） 【例题5】（24-25七年级下·广东中山·期末）已知点，，点B在x轴正半轴上，且三角形的面积等于3，则点B的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形． 先设，根据三角形面积公式计算即可． 解：∵点B在x轴正半轴上， ∴可设， ∵三角形的面积等于3， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃张掖·期中）已知为坐标原点，关于轴对称，点、点，若在x轴上有一个点，满足的面积等于2，则点的坐标为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，图形结合是解题的关键． 根据点坐标，可知点到轴的距离，根据的面积等于2，即可得到点的坐标． 解：如图， ∵点坐标为， ∴点到轴的距离是2， ∵在轴上有一个点，满足的面积等于2， ∴， ∴， ∴点的坐标为或， 故选：B． 【变式2】（25-26七年级下·广西贺州·期末）在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，，在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，则点的坐标为____________． 【答案】或 【分析】作轴于点，作轴于点，把四边形分成两个直角三角形和一个直角梯形，分别计算面积，相加得到四边形的面积，据此求出点的纵坐标． 解：如图，作轴于点，作轴于点，则四边形被分成了直角三角形，直角三角形，直角梯形， ， ， ， ， 或， 点的坐标为或． 【题型 6】特殊直线与角平分线坐标问题 【例题6】（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，点在第一象限的角平分线上，点，且轴，点C在y轴上． （1）直接写出m，n的值； （2）若三角形的面积是，求点C的坐标． 【答案】（1），；（2）或 【分析】（1）根据第一象限的角平分线上点的横、纵坐标相等求出m的值，根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等求出n的值； （2）先求出的值，然后根据三角形面积公式求解即可. （1）解：∵点在第一象限的角平分线上， ∴， ∵，轴，点， ∴； （2）解：设 ∵，， ∴， 由题意得，， 解得，或． ∴点C的坐标或． 【变式1】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点M在两坐标轴的角平分线上，则m的值为（    ） A． B． C．或 D．2或4 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，分点M在第一、三和第二、四象限的角平分线上两种情况，结合角平分线上点的坐标特征求解即可． 解：当点在第一、三象限的角平分线上时， ∴， 解得，， 当点在第二、四象限的角平分线上时， ∴， 解得，， 综上，点M在两坐标轴的角平分线上时，m的值为2或4， 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·北京西城·阶段检测）若点在第二、四象限的角平分线上，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查第二、四象限的角平分线上点的坐标特征：横纵坐标互为相反数，列出关于的一元一次方程，解方程求出的值，再把代入点的坐标中，即可求解． 解：∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴点的横纵坐标互为相反数， 即，解得， 将代入点中，得． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点” （1）点的“长距”为______； （2）若的长距为7，且点在第三象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由． 【答案】（1）6；（2）解：点D是“角平分线点”，理由如下： ∵点的长距为7， ∴点到轴的距离为， 则点到轴的距离， 又∵点在第三象限， ∴ ∴， 解得：， ∴， ∴点D的坐标为， ∴点D到x轴、y轴的距离都是3， ∴点D是“角平分线点”． 【分析】本题主要考查了新定义“长距”和“角平分线点”、点到坐标轴的距离等知识点，理解新定义是解题关键． （1）根据“长距”的定义求解即可； （2）根据“长距”的定义确定，进而可知点D的坐标，然后判断是否为“角平分线点”即可． （1）解：∵， ∴根据“长距”的定义，可得点的“长距”为6． 故答案为：6． （2）略 【题型 7】中点公式与两点距离公式应用（拓展必考） 【例题7】（25-26七年级下·江西赣州·期末）阅读材料，回答下列问题： 在直角坐标系中，已知平面内、两点坐标，则A、B两点之间的距离等于 例如：已知点，则这两点间的距离． 特别地，如果两点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或． （1）已知，求C、D两点间的距离； （2）已知M、N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为，求M、N两点间的距离； （3）已知一个三角形各顶点的坐标为，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）6；（3）解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ， ∴， ∴为等腰三角形． 【分析】（1）根据公式，代入计算即可． （2）判断两点的横坐标相同，计算即可． （3）利用公式计算三边的长，进而判断即可． （1）解：根据给出的公式得， ∴C、D两点间的距离为； （2）解：∵M、N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为， ∴， ∴M、N两点间的距离为6； （3）略 【变式1】（25-26七年级下·山西吕梁·期中）如图，直线轴，且直线经过点，点的坐标为，为直线上的一动点，为的中点，点从点出发，沿着直线向轴负方向移动，则在移动过程中，三角形的面积（   ） A．一直变大 B．一直变小 C．先变大再变小 D．不变，面积始终为 【答案】D 【分析】根据题意，由中点坐标求法得到点的坐标为，即点到轴的距离始终为，在平面直角坐标系中求出三角形的面积即可确定答案． 解：直线轴，且直线经过点，为直线上的一动点， 点的坐标为， 为的中点， 点的坐标为，即点到轴的距离始终为， 、， ，即三角形的面积不变，面积始终为． 【变式2】（26-27八年级下·全国·课后作业）点到x轴的距离是______________，到y轴的距离是______________，到原点的距离是______________． 【答案】 【分析】点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，再结合勾股定理计算点到原点的距离． 解：已知点， ∵点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值， ∴点到轴的距离为， ∵点到轴的距离等于该点横坐标的绝对值， ∴点到轴的距离为， ∵点到原点的距离可构造直角三角形，如图所示： ∵两条直角边长分别为点到轴、轴的距离， ∴由勾股定理计算点到原点的距离为． 【变式3】（25-26七年级下·广东汕头·期中）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． （1）观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________． （2）探究迁移 如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________． （3）拓展应用 已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 【答案】（1）图见解析，，；（2）；（3）点的坐标为或或 【分析】（1）根据要求描点，连线，进而确定中点坐标即可； （2）根据（1）中的两个中点坐标，进行猜想即可； （3）分3种情况，结合中点坐标公式 进行求解即可. （1）解：由题意，描点，连接线段，如下图， 由图可知：线段的中点坐标为，线段的中点坐标为； （2）解：由（1）可知：的中点坐标为，线段的中点坐标为； 猜想：如果有，两点， 则线段的中点坐标是； （3）解：①与中点重合时， ， 此时 ②与中点重合时， ， 此时 ③与中点重合时， ， ， 此时 综上所述，点的坐标为或或． 【题型 8】平面直角坐标系与将军饮马问题 【例题8】（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在格点上，请你用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹． （1）求的面积； （2）画出关于直线的对称图形； （3）在上找到一点，使得最小，并直接写出这个最小值是_____． 【答案】（1）11；（2）如图，即为所作： （3）如图，点P即为所求，，10 【分析】（1）根据割补法求解即可 （2）在格点中找到各顶点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （3）作点A关于直线的对称点，连接交直线于点P，于是运用勾股定理可得解． （1）解：的面积； （2）略 （3）解：略 由作图得：， 所以，，当三点在同一条直线上时，最小，最小值为的长度， 由勾股定理得， 即这个最小值是10． 【变式1】（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查轴对称最短问题．如图，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于P，连接PA，则PA十PB的最小值为的长度． 解：如图，作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于P，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 则的最小值为5， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查对称求最值，等腰直角三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．作关于的对称点，连接交于，连接，则此时的值最小，根据勾股定理求出，即可得出答案． 解：作关于的对称点， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 则为等腰直角三角形， ∵关于的对称点为， ∴也为等腰直角三角形， ∴，， 点在轴上， 且， 连接交于，连接，则此时的值最小， ， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值是． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·江西吉安·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为． （1）画出关于轴对称的图形，并写出的顶点坐标； （2）请在轴上找一点，使得的值最小，最小值是多少？ 【答案】（1）如图，即为所求；    ，， （2）解：如图，点即为所求，    5 【分析】此题考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题的关键． （1）直接利用关于轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用轴对称求最短路线的方法得出答案． 解：（1）先找，，关于轴对称的点，，， 连接，，即可； （2）先找关于轴对称的点，连接，与轴交于点，点即为所求，    连接， 根据对称性可知：， ∴， ∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵， ∴的最小值为． 【题型 9】等腰三角形存在性（分类讨论压轴小题） 【例题9】（24-25八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，，，点在轴上，且． （1）点的坐标为________； （2）在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为9，若存在，请直接写出点的坐标________；若不存在，请说明理由． （3）点在轴上，若以、、三点构成的三角形是等腰三角形，求出点的坐标． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或或或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的计算，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据两点之间的距离求点B的坐标即可，注意分左右两边讨论． （2）以为底，以点P的纵坐标的绝对值为高，利用面积计算公式求高的值即可； （3）设点，根据两点间距离公式求出，，，然后分：；；讨论即可． （1）解：∵，点B在x轴上，且， ∴，， ∴点B的坐标为或， 故答案为：或； （2）解：存在，理由如下： 设点P的坐标为， ∵， ∴， ∴在y轴上存在点或，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为9， 故答案为：或； （3）解：设点， ∵，， ∴，，， 若以、、三点构成的三角形是等腰三角形，则有或或， 当时，， 解得或， ∴Q的坐标为或； 当时，则， 解得或（舍去）， ∴Q的坐标为； 当时，， 解得， ∴Q的坐标为； 综上，∴Q的坐标为或或或． 【变式1】（25-26七年级上·山东济南·期末）在直角坐标系中，已知点，在y轴负半轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点的坐标为，分别求出的值，再分三种情况：①，②和③，建立方程，利用平方根的性质解方程或解一元一次方程即可． 解：由题意，设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ①当时，为等腰三角形， ∴，即， ∴或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； ②当时，为等腰三角形， ∴，即， ∴或（均不符合题意，舍去）； ③当时，为等腰三角形， ∴，即， ∴，不符合题意，舍去； 综上，点的坐标为． 【变式2】（25-26八年级上·江西吉安·期中）在平面直角坐标系中，已知点，若点是轴正半轴上的一个动点，当是等腰三角形时，则点坐标是_____． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的定义和勾股定理的应用．当为等腰三角形时，需分三种情况讨论：、或．分别计算每种情况下点的横坐标，并确保且能构成三角形，即可． 解：设点，且， ∵点，点， ∴，， 当时，， 解得：或（舍去，）， 此时 ； 当时：， 此时； 当时：此时， 解得：， 此时 综上，点坐标为或或． 故答案为：或或 【变式3】（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．的边在轴上，两点的坐标分别为、，，且，点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动，设点运动时间为秒． （1）两点的坐标分别是 ， ； （2）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）点坐标为或或 【分析】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性，勾股定理，等腰三角形定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用算术平方根非负性，偶次幂非负性求出，即可； （）由题意得，然后分当时，当时，当时三种情况分析求解即可． （1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵点从出发，以每秒个单位的速度沿射线匀速运动， ∴，点表示的数为， ∵，， ∴，， ∴， 如图，当时， ∵，， ∴， ∵， ∴，解得：； ∴点表示的数为， ∴点坐标为； 如图，当时， ∴点表示的数为， ∴点坐标为； 如图，当时， ∴， ∴点表示的数为； ∴点坐标为 综上可得：为等腰三角形时，点坐标为或或． 【题型 10】平面直角坐标系与动点问题 【例题10】（25-26八年级下·河北石家庄·阶段检测）如图，在下图的平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边在x轴上，点B的坐标为，点A在y轴正半轴上，且，点C在x轴的正半轴上，且，点P是x轴上的一个动点． （1）点A坐标为______，点C坐标为______． （2）若的面积为6，求点P的坐标． （3）若点P到直线和y轴的距离相等，则P点坐标为______． 【答案】（1）；（2）P的坐标为或．；（3）点P的坐标为：或 【分析】（1）求出，则可得出答案； （2）由的面积求出m，则可求出P的坐标； （3）根据坐标距离结合面积公式得出方程解答． （1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点A在y轴正半轴上， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴点C的坐标为． （2）解：设点P的坐标为， 则， ∵， ∴ ∴或， ∴P的坐标为或． （3）解：设点P的坐标为，则点P到y轴的距离为，； 设点P到直线AC的距离为h， ∵， ∴， ∵点P到直线AC和y轴的距离相等， ∴， 解得：或， ∴点P的坐标为：或． 【变式1】（25-26八年级上·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点，为轴上一动点．连接，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称的性质，关于x轴对称的点的坐标特点，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，得到，当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度，然后得到由对称得，然后利用勾股定理求解即可． 解：如图所示，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴ ∴ ∴当点，P，B三点共线时，有最小值，即的长度 ∵， ∴由对称得，， ∵ ∴ ∴的最小值为． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形中，，动点C从点O出发，沿，当三角形的面积等于三角形一半时，点C的坐标为______． 【答案】或 【分析】由题意可得，，分两种情况：当点在上运动时；当点在上运动时；分别结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 解：∵三角形中，， ∴，， ∵动点C从点O出发，沿，三角形的面积等于三角形一半， ∴当点在上运动时，，， ∴， ∴，即此时点的坐标为； 当点在上运动时，设点到的距离为，则，， ∴， ∴，即点为的中点， ∴此时点的坐标为，即； 综上所述，点C的坐标为或． 【变式3】（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，四边形为长方形，以点O为坐标原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系．已知点A的坐标为，点C的坐标为． （1）求点B的坐标为______； （2）有一动点D从原点O出发，以1个单位长度/秒的速度沿线段向终点A运动．当直线将长方形的周长分为两部分时，求点D的运动时间t的值； （3）在（2）的条件下，E为坐标轴上一点，若三角形的面积是24，求点E的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）点E的坐标为，，或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，灵活运用方程的思想方法是解题的关键． （1）根据长方形的性质和点的坐标的意义确定点坐标； （2）把进行分成和，而后者比前者大，所以，即，然后解方程得到的值； （3）先得到点坐标为，点C为，再分类讨论即可解答． （1）解：∵四边形为长方形， 而点的坐标为，点的坐标为， ∴点坐标为； 故答案为：； （2）解：由题意得：，，，，． ∵直线将长方形的周长分为两部分， ∴， 即， ∴． （3）解：由（2）知点D的坐标为，点C为 ， 当点E在x轴上时，设点E的坐标为． ∵三角形的面积是24， ∴， ∴或20， ∴点E为或． 当点E在y轴上时，设点E的坐标为． ∵三角形的面积是24， ∴， ∴或10， 则E的坐标为或， 由上可得点E的坐标为或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $