暑假几何提升专题讲义 第三讲 一线三等角模型2026-2027学年北师大版八年级数学上册

暑 假 提 升 专 题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第三讲 全等三角形 —— 一线三等角模型 第3讲 讲 一线三等角模型 一、知识讲解 一线三垂直模型 如右图已知：∠ D=∠ E=∠ BCA=90，BC=BA； 求证：△BCD≌△CAE. ∵∠D+∠ DCB+∠ B=180°，∠BCA+∠ DCB+∠ ACE=180°，且∠ D=∠BCA. ∴∠ B=∠ ACE. 又 ∵∠ D=∠ E，BC=BA. ∴△BCD≌△CAE. 常见的三垂直模型: 一线三等角模型 “一线三等角”是一个常见的全等模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等模型，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角. 三等角的推导过程： 已知：∠ A=∠ B=∠ CPD，AC=PB； 求证：△ACP≌△BPD. ∵∠A+∠ APC+∠ C=180°，∠CPD+∠ APC+∠ DPB=180°，且∠ A=∠CPD. ∴∠ C=∠ DPB. 又∵∠ A=∠ B，AC=PB. ∴△ACP≌△BPD. 常见的一线三等角模型： 二、例题精析 1．如图1，点是线段上一点，，，，， （1）求证：． （2）如果是如图2这个图形，、、有什么数量关系？并证明． 解析： （1）证明 ∵ ∠A+∠APC+∠ACP=180°，∠CPD+∠APC+∠BPD=180°，∠A=∠CPD ∴ ∠ACP=∠BPD 在△ACP 和△BPD 中： ∠A=∠B ∠ACP=∠BPD PC=PD ∴ △ACP ≌ △BPD (AAS) （2）数量关系：AB=BD-AC 证明： 外侧一线三等角，同理可证△ACP ≌ △BPD，得 AP=BD，BP=AC ∵ AB=AP-BP，代入线段等量关系可得 AB=BD-AC 2．如图所示，直线一侧有一个等腰，其中，．直线过顶点，分别过点，作，，垂足分别为点，，的角平分线交于点，交于点，连接，恰好满足．延长，交于点． （1）求证：； （2）求证：． 解析： （1）证明（一线三垂直模型） ∵ BD⊥l，CE⊥l，∴ ∠D=∠AEC=90°，∠DBA+∠BAD=90° ∵ ∠BAC=90°，∴ ∠BAD+∠CAE=90°，可得∠DBA=∠CAE 在△ABD、△CAE 中： ∠D=∠AEC ∠DBA=∠CAE AB=AC ∴ △ABD ≌ △CAE (AAS) （2）证明 1. AB=AN，△ABN 为等腰三角形，∠ABN=∠ANB； 2. BN 平分∠ABC，因此∠ABN=∠CBN，等量代换得∠ANB=∠CBN； 3. 等角对等边，FB=FN； 4. AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，可推导 AB=BF； 5. 结合 AB=AN，得 AN=BF，又 FB=FN，最终可证 BN=FN。 3如图（1），已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、．证明：． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，、、三点都在直线上，并且有．请直接写出线段、和之间的数量关系． （3）拓展与应用：如图（3），、是、、三点所在直线上的两动点、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接、，若，试证明． 解析： (1) 证明（三垂直模型） ∵ BD⊥l，CE⊥l，∴ ∠D=∠AEC=90° ∠DBA+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAE=90°，∴ ∠DBA=∠CAE △ABD ≌ △CAE (AAS)，可得 BD=AE，AD=CE ∵ DE=AD+AE，代入得 DE=BD+CE (2) 数量关系：DE=BD+CE 通用一线三等角模型，同理证明△ABD ≌ △CAE，BD=AE，AD=CE，DE=AD+AE=BD+CE。 (3) 证明 1. 由一线三等角可证△ABD ≌ △CAE，BD=AE； 2. △ABF、△ACF 均为等边三角形，AF=AB，∠FAB=60°； 3. 角度推导可得∠DBF=∠EAF； 4. 在△DBF、△EAF 中：BD=AE，∠DBF=∠EAF，BF=AF； ∴ △DBF ≌ △EAF (SAS)，对应边 DF=EF。 4．在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图（1）的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕点旋转到图（2）的位置时，求证：； （3）当直线绕点旋转到图（3）的位置时，请直接写出，，之间的等量关系． 解析： (1)证明： ∠D=∠AEC=90°，∠DBA+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAE=90°，∴ ∠DBA=∠CAE ∠D=∠AEC ∠DBA=∠CAE AB=AC ∴ △ABD ≌ △CAE (AAS) (1)证明： 由全等得 BD=AE，AD=CE，DE=AD+AE，因此 DE=BD+CE (2) 证明： 同理可证△ABD ≌ △CAE，BD=AE，AD=CE DE=AE-AD，代入线段等量关系，得 DE=BD-CE (3) 等量关系 DE=CE-BD 课后作业 1．一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题．求证：； 解析： 证明： ∵ ∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90° ∴ ∠CAD=∠BCE △ADC ≌ △CEB (AAS)，AD=CE，DC=BE ∵ DE=DC+CE，∴ DE=AD+BE 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，若DE＝10，BD＝3，求CE的长． 解析： 1. 一线三等角证△ABD ≌ △CAE (AAS)，AD=CE，AE=BD=3； 2. DE=AD+AE，AD=DE-AE=10-3=7； 3. 因此 CE=7。 3．在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时， 求证：①； ②； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． 解析： (1) 证明 ① ∠D=∠AEC=90°，∠ABD=∠CAE，AB=AC，△ABD ≌ △CAE (AAS)； ② 全等得 BD=AE，AD=CE，DE=AD+AE=BD+CE。 (2) 结论判断 ① △ABD ≌ △CAE 仍然成立，证明过程同上； ② DE=BD+CE 不成立，新线段关系为 DE=BD-CE； 理由：此时 DE=AE-AD，AE=BD，AD=CE，代入可得 DE=BD-CE。 6 学科网（北京）股份有限公司 $暑假提升专题 2026年升初二暑期课程讲义 提升专题 第三讲全等三角形一一线三等角模型 第3讲 一线三等角模型 1 暑假提升专题 一、知识讲解 一线三垂直模型 如右图已知：∠D=LE=LBCA90,BC-BA; 求证：△BCD≌△CAE. ∠D+∠DCB+∠B=180°，∠BCA+∠DCB+∠ACE=180°，且∠D=LBCA ∠B=∠ACE. ⊙ 又∠D=LE,BC=BA △BCD≌△CAE: D E 常见的三垂直模型： A B E E △ABE≌△BCD AABES△BCD△ABEY△ECD (1) (2) (3) 2 暑假提升专题 一线三等角模型 “一线三等角”是一个常见的全等模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线 上构成的全等模型，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角. 三等角的推导过程： 已知：∠A=LB=LCPD,AC=PB; 求证：△ACP≌△BPD :LA+∠APC+LC-180°，∠CPD+∠APC+∠DPB=180°，且∠A=∠CPD. ·∠C=∠DPB. 又·∠A=∠B,AC=PB. △ACP≌△BPD. 常见的一线三等角模型： 锐角 直角 钝角 3 暑假提升专题 二、例题精析 1.如图1，点A是线段DE上一点，∠BAC=90°，AB=AC,BD⊥DE,CE⊥DE, (1)求证：DE=BD+CE (2)如果是如图2这个图形，BD、CE、DE有什么数量关系？并证明. D B 图1 图2 2.如图所示，直线MN一侧有一个等腰RtAABC,其中∠ACB=90°，CA=CB.直线 MN过顶点C,分别过点A,B作AE⊥MN,BF1MN,垂足分别为点E,F, ∠CAB的角平分线AG交BC于点O,交MN于点G，,连接BG,恰好满足AG1BG.延 长AC,BG交于点D (1)求证：CE=BF: (2)求证：AC+CO=AB 4 暑假提升专题 3如图(1)，已知：在△MBC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线 m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE (2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在 直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=120°.请直接写出线段BD、DE和CE之间的 数量关系 (3)拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、 A、E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角 形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试证明FD=FE. B B B A E m D A Em D A E m 图1 图2 图3 5 暑假提升专题 4.在△MBC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时， 求证：①AADC兰ACEB: ②DE=AD+BE; (2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，求证：DE=AD-BE: (3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时，请直接写出DE,AD,BE之间的等量 关系 M M D D E B B D (1 (2) (3) 6 暑假提升专题 课后作业 1.一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两根柱子之间，如图 所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题.求证：△MDC兰△CEB: B 2.如图，在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC= ∠BAC=,若DE=10,BD=3,求CE的长. 7 暑假提升专题 B D A E m 3.在△MBC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时， 求证：①AMDC兰△CEB； ②DE=AD+BE; (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出 证明：若不成立，说明理由. MD D 图1 图2