云南省昭通市第一中学2026-2027学年高三上学期10月考试数学试卷

数学评分细则 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B A B D A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 答案 BD ACD ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 0.4 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）设为“从A校高二年级学生抽取1人做对”，则，， （1分） 设为“从B校高二年级学生抽取1人做对”，则，， （2分） 设为“恰有1人做对”，故 ， （4分） 依题可知，可取0，1，2， ，，， 故的分布列如下表： X 0 1 2 P 0.06 0.38 0.56 故． （7分） （2）设D为“A校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为A校掌握这个知识点，则有100%的概率做对该题目， 未掌握该概念的学生作答正确的概率为40%， 故，即，故， （9分） 同理有，，故， 故． （13分） 16．（本小题满分15分） 解：（1）设数列的公差为，的公比为， 由，，，可得，解得， （3分） 所以，． （6分） （2）因为，所以单调递增， （7分） 因为， ， 得， ， 所以， （12分） 因为，，所以， （14分） 故满足的最大正整数为6． （15分） 17．（本小题满分15分） （1）证明：如图2，连接，， 因为底面是边长为的正方形， 所以， 又因为，， 所以，所以． 又因为点为线段中点，所以， （3分） 在中，，，， 所以，则，则． （5分） 又，平面，平面， 所以平面． （7分） （2）解：由题知正方形中，平面，所以建系如图3所示， 则，，，，，则， ，， 设面的法向量为，面的法向量为， 则，取，则， ，取，则． 设二面角大小为， 则，从而， 所以二面角的正弦值为． （15分） 18．（本小题满分17分） 解：（1）对于双曲线：，，，则， 将点，代入得，解得， 所以双曲线的方程为． （4分） （2）当直线斜率为0时，舍去； 当直线斜率不为0时，设直线方程为，，， 联立，整理得，， ， ，， （6分） 从而，解得或， 故直线的斜率为或． （9分） （3）当直线斜率为0时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为0时，设直线l方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，，如图4， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， （14分） 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，m的取值范围为． （17分） 19．（本小题满分17分） （1）解：当时，， ，，令，得， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 所以在上单调递增． （4分） （2）解：解法一：因为，，令，得， 即． 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数． 又因为，当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图5： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点． 综上，时，的零点个数为0； 时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2． （9分） 解法二：因为，，， 设，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，的极小值为． ①当，即时，恒成立，此时的零点个数为0． ②当，即时，的零点个数为1． ③当，即时，的极小值，，， 令，，所以单调递减， 所以，即， 有， 所以， 所以在区间和上各有一个零点，即的零点个数为2． 综上，时，的零点个数为0； 时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2． （3）证明：①当时，， 令，， 因为，，所以，而，即，，， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增，所以； ②当时，令，，所以单调递增， 所以，即． 又因为， 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以． 所以，即． 综上可得，． （17分） 学科网（北京）股份有限公司 $数学答题卡 班级 姓 名 考场号 座位号 注意事项 填 正确填涂 准考证号 L答题前，考生先将自己的姓名、准考证 号、考场号、座位号填写清楚。 2选择题使用团铅笔填涂，非选择恶使用 错误填涂 黑色碳素笔书写，超出答题区域无效。 000100m 000]00 3保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 母中 工卫工卫工 2 2四20 222222 2 3 331 333333 3 0④0④4I④④I ④ 55]515515]575]5]51 贴条形码区 66]6]6]6]6]6]6] 6 (正面朝上，请贴在虚线框内) 88 8888888 8 999999999 缺考 标记 单项选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B]C][D] 5AIB©D 2 [A][B]C][D 6 [A][B]C]D 3 [A][B C][D] 7 [A][B]C][D] 4四B可 8 A BC]D 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9 [A][B]C [D] 10 A [BC网D 11 [A][B C [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13. 14. 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题（共77分） 15.（本小题满分13分) 解：（1) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.（本小题满分15分) 解：（1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■■口■国口■■■口口 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(本小题满分15分) D C (1) 中 C 0 (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数，，则 A． B．5 C． D．3 3．设为抛物线：的焦点，点A在C上，点，若，则 A．2 B． C． D．4 4．在中，角，，的对边分别为，，．若，且，则的值为 A． B． C． D． 5．已知数列满足，，且，，记为的前项和，则 A．59 B．60 C．61 D．62 6．设函数满足，且在区间上恰有2个零点，则的值是 A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则 A． B．3 C．0 D． 8．在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为椭圆C上一点，，点P关于原点O的对称点为Q，则 A．椭圆C的离心率为 B． C．直线的斜率为 D． 10．已知函数（，，）的图象如图1所示，下列说法正确的是 A．函数的一个对称中心是 B．是偶函数 C．函数在的单调递增区间为 D．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位长度，可得到函数的图象 11．如图2，在矩形中，，，B为的中点，现分别沿，将，翻折，使点E，F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥，则 A．三棱锥的体积为 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的表面积是 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知随机变量，，若，，则________． 13．在平面四边形中，，，，，，则的面积是________． 14．设点，，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是________． 四、解答题（共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 在一次学业水平测试中，有一道填空题考查核心概念，，两所中学的高二年级学生都参加了测试．为分析学生对该概念的掌握情况，随机抽取了，两校高二年级各300名学生的答题数据，其中校学生作答正确的人数为240，校学生作答正确的人数为210．假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率． （1）从，两校高二年级学生中各随机抽取1名，设为这2名学生中该题作答正确的人数，估计的概率及的数学期望； （2）假设：若未掌握该概念，学生作答正确的概率为40%（因题目有一定提示性）；若掌握该概念，校学生作答正确的概率为100%，校学生作答正确的概率为75%．设，两校高二年级学生掌握该概念的概率估计值分别为，，判断，的大小． 16．（本小题满分15分） 已知数列是公差不为0的等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）记数列的前项和为，求满足的最大正整数． 17．（本小题满分15分） 如图3，平行六面体中，底面是边长为的正方形，为与的交点，，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 18．（本小题满分17分） 已知双曲线：（，）的离心率为，且点在双曲线上，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点． （1）求双曲线的方程； （2）若，且，求直线的斜率； （3）若，，分别是双曲线的左、右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围． 19．（本小题满分17分） 已知，． （1）当时，讨论的单调性； （2）讨论的零点个数； （3）当时，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(本小题满分17分) 解：（1) (2) (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.（(本小题满分17分) 解：(1) (2) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■■口■■口■■■口口 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 (3) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 数学-双向细目表 试卷题号 题型 分值 试题难度 学段、板块 主要知识及主要思想方法 A 易 B中 C难 一 1 选择题 5 √     集合 集合的运算 2 5 √     复数 复数的模 3 5 √     圆锥曲线 抛物线的定义，焦半径 4 5 √     解三角形 解三角形与三角恒等变换 5 5 √     数列 周期数列 6 5  √   三角函数 三角函数ω的求解 7 5 √ 函数 函数的周期性、对称性 8 5 √ 平面向量 平面向量取值范围 二 9 6 √     圆锥曲线 椭圆的相关性质 10 6  √   三角函数 三角函数的图象和性质 11 6  √   立体几何 点线面位置关系和球相关问题 三 12 5 √     概率 二项分布，正态分布 13 5 √     解三角形 多三角形问题 14 5 √ 解析几何 圆 四 15 13 √     概率与统计 积事件和全概率公式 16 15 √     数列 数列求和 17 15 √     立体几何 垂直、夹角问题 18 17  √   圆锥曲线 双曲线 19 17    √ 导数 单调性、零点问题证明不等式 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $