精品解析：江西赣州市信丰县工业园学校2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年九年级第一阶段数学练习 一、选择题（本大题6小题，每题3分，共18分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断一元二次方程需同时满足三个条件：仅含一个未知数、未知数最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：A选项，仅含未知数，最高次数为2，是整式方程，符合要求． B选项，含有两个未知数，不符合． C选项，含有分式，不是整式方程，不符合． D选项，未明确，当时无二次项，不符合．故答案为A． 2. 关于x的方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方程的根和解一元二次方程，理解方程的根代入方程能使方程左右两边相等以及利用直接开平方法解一元二次方程是解题关键． 本题直接将方程的根代入方程后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得：， ∴   故选： C． 3. 若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程没有实数根”是解题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 解得：． 故选：C． 4. 已知m，n是方程的两个实数根，则（ ） A. 1 B. 10 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义求得，根据根与系数的关系求得，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴． ∴． 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意可知：且， 且 6. 如图，中，，一动点P从C出发沿着边以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．当t为几秒时，的面积是面积的（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3或1.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用动点问题，根据题意列出方程是解题的关键． 根据题意，求得的长，进而求得，根据的面积是面积的，列出方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：， ， 依题意，， ． 的面积是面积的， ， 解得． 答：当s时，的面积是面积的． 故选B． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 方程的根为________． 【答案】或 【解析】 【详解】解： 解得或． 8. 关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和的等式，代入已知根即可求解另一个根． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数， 根据根与系数的关系可得：， 将代入等式得：， 解得：． 9. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据方程有两个不相等的实数根确定的取值范围，再利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式求解，最后舍去不符合范围的解得到结果. 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，，， ， 解得， 方程的两根为，， ，， ， ， ∴ ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得： ，， ， 不符合题意，舍去， . 10. 如图，小球悬浮于液体中（即），若，小球质量为，重力加速度，则的值为________．（注：） 【答案】或1 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程，再化简求解即可． 【详解】由题意可知， 整理得， 解得或． 故答案为：或1． 11. 数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少_________人？” 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这群人共有x人，则共摘了个石榴，根据“如果平均分配，每个人可以得到10个石榴”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设这群人共有x人，则共摘了个石榴， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴这群人共有19人． 故答案为：19． 12. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“美丽三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边上存在点，使得为“美丽三角形”，则点的坐标为：________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的条件、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 先说明“美丽三角形”是直角三角形，然后分为斜边和直角边两种情况，分别运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，是的中线，且为“美丽三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴“智慧三角形”是直角三角形． 如图：当为斜边时， 设点， ∵， ∴，， ， ∵为“美丽三角形”，即直角三角形， 当时， ∴， ∴，解得：或， ∴点的坐标为或； 如图：当为直角边，时，， ∴，解得：； ∴ 如图：当为直角边，时，点P不在边上，不符合题意． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题5小题，每题6分，共30分） 13. 选择合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 解得，． 14. 选择合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【小问1详解】 解： 解得或； 【小问2详解】 解： 解得或． 15. 关于x的方程有一个根是，求另一个根及m的值． 【答案】另一根是， 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的根求参数的值，准确的计算是解决本题的关键． 将代入方程求出m的值，进而求解方程即可得到另一个根． 【详解】解：将代入， 解得， ∴ 解得，， ∴另一根是，． 16. 2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； 【答案】 这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为 【解析】 【分析】设年平均增长率为，根据2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元，列出方程求解，并取符合实际的值即可． 【详解】解：设年平均增长率为， 根据题意得，， 解得 或 （舍去）． 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个实数根为2，求的值． 【答案】（1） 证明：由可知： ， ∴一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解，解题的关键是掌握以上知识． （1）求出，然后问题可求证； （2）由的一个实数根为2，可得，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的一个实数根为2， ∴， 解得，； ∴m的值为或． 四、解答题（本大题3小题，每题8分，共24分） 18. 如图，在长，宽的矩形地面内修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下部分铺上草坪，要使草坪的面积达到，道路的宽应为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设道路的宽为，则余下的部分可合成为长，宽为的矩形，根据草坪的面积达到（即余下的部分的面积为），可列出关于x的一元二次方程，解之取符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽为，则余下的部分可合成长为，宽为的矩形，则： ， 解得：，（舍） 答：道路的宽应为． 19. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根， （1）求k的取值范围； （2）该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，然后解该不等式即可求得k的取值范围； （2）利用根与系数的关系得，，然后将其代入列出关于k的方程，通过解方程来求k的值． 【小问1详解】 解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，，． ， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ∵ ， 解得， ， ． 20. 如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米． （1）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； （2）矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由． 【答案】（1）栅栏的长为10米；（2）矩形围栏面积不可能达到240平方米． 【解析】 【分析】（1）先表示出AB的长，再根据矩形围栏ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （2）根据矩形围栏ABCD面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=-31＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米． 【详解】解：（1）依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米； （2）不可能，理由如下： 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏面积不可能达到240平方米． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”． 五、解答题（本大题2小题，每题9分，共18分） 21. 已知关于x的方程，是方程的一个根． （1）求a的值及方程的另一个根； （2）一个三角形的三边长都是此方程的根，求该三角形的周长． 【答案】（1），另一个根为； （2）或或. 【解析】 【分析】（1）把代入方程，求出的值，解方程求出另一个根即可； （2）分4种情况，根据三角形的三边关系确定三角形的三条边长，进而求出三角形的周长即可． 【小问1详解】 解：把代入方程，得，解得， ∴方程化为， ∴， 解得，， 故方程的另一个根为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，方程的两个根为，， ∴当三角形的三边长均为1时，三角形的周长为； 当三角形的三边长均为3时，三角形的周长为； 当三角形的三边长为1，1，3时，，无法构成三角形，不符合题意； 当三角形的三边长为1，3，3时，，能构成三角形，三角形的周长为； 综上：该三角形的周长为或或． 22. 某超市销售一种进价为元/件的商品，经市场调查发现：当售价为元/件时，平均每天可售出件；售价每降低1元，平均每天可多售出件． （1）设每件商品降价x元，则平均每天的销售量是______件，每件商品的利润是______元；（用含x的代数式表示） （2）超市要想平均每天销售这种商品的利润达到元，且让顾客得到更多实惠，每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）， （2）每件商品应降价5元 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，营销问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． （1）设每件商品降价x元，用x表示出平均每天的销售量与每件商品的利润； （2）利用总利润=每件商品的利润日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要让顾客得到更多实惠，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设每件商品降价x元，则平均每天的销售量是件，每件商品的利润是元． 故答案为：，； 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要让顾客得到更多实惠， 答：每件商品应降价5元． 六、解答题（本大题1小题，共12分） 23. 某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） （1）请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； （2）若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； （3）若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 【答案】（1） （2） 元或元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据表中所示规律求出售价为元时的日销量即为的值； （2）设该日此种商品每件的售价是元，列一元二次方程求解即可； （3）分别列出表示日销量是件和件时的日利润，根据日利润相等可得等式为整理得到、的关系即可． 【小问1详解】 解：由规律可知销售价格每增加元，日销量减少件， ； 【小问2详解】 解：设该日此种商品每件的售价是元，则每日的销售量为件， 根据题意可得：， 整理可得：， 解得：，， 答：每件商品售价是元或元时，该种商品的总利润为元； 【小问3详解】 解：商品每件的售价是元，由每日的销售量为件， 当销量为件时，可得：， 该商品的售价是元/件， 同理可得：当销量为件时，该商品的售价是元/件， 根据题意可得：， 整理得：， ， ， 即， 答：当时，销售该商品的日利润相同． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年九年级第一阶段数学练习 一、选择题（本大题6小题，每题3分，共18分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 3. 若一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知m，n是方程的两个实数根，则（ ） A. 1 B. 10 C. D. 5. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 如图，中，，一动点P从C出发沿着边以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．当t为几秒时，的面积是面积的（ ） A. 1.5 B. 2 C. 3或1.5 D. 3 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 方程的根为________． 8. 关于的一元二次方程的其中一个根是，则另一个根______． 9. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为_____． 10. 如图，小球悬浮于液体中（即），若，小球质量为，重力加速度，则的值为________．（注：） 11. 数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少_________人？” 12. 定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“美丽三角形”．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，，点，在边上存在点，使得为“美丽三角形”，则点的坐标为：________． 三、解答题（本大题5小题，每题6分，共30分） 13. 选择合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 14. 选择合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 15. 关于x的方程有一个根是，求另一个根及m的值． 16. 2026年央视春晚舞台上的人形机器人节目，引发了国际媒体对中国机器人产业发展的关注．某市机器人产业2023年总产值约为256亿元，2025年总产值约为400亿元．求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率； 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个实数根为2，求的值． 四、解答题（本大题3小题，每题8分，共24分） 18. 如图，在长，宽的矩形地面内修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下部分铺上草坪，要使草坪的面积达到，道路的宽应为多少？ 19. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根， （1）求k的取值范围； （2）该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值． 20. 如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x米． （1）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； （2）矩形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能，请说明理由． 五、解答题（本大题2小题，每题9分，共18分） 21. 已知关于x的方程，是方程的一个根． （1）求a的值及方程的另一个根； （2）一个三角形的三边长都是此方程的根，求该三角形的周长． 22. 某超市销售一种进价为元/件的商品，经市场调查发现：当售价为元/件时，平均每天可售出件；售价每降低1元，平均每天可多售出件． （1）设每件商品降价x元，则平均每天的销售量是______件，每件商品的利润是______元；（用含x的代数式表示） （2）超市要想平均每天销售这种商品的利润达到元，且让顾客得到更多实惠，每件商品应降价多少元？ 六、解答题（本大题1小题，共12分） 23. 某商场以进价元/件购进某种新商品，在月份试销售阶段发现，在售价不低于元/件的情况下每件销售价格（元）与商品的日销售量（件）始终存在下表中的数量关系： 每件销售价格（元） 日销售量（件） （1）请你观察上面表格中数据的变化规律，填写表中的值为______； （2）若某日该种商品的总利润为元，求该日此种商品每件的售价； （3）若售货员小李发现销售该种商品件与件的日利润相同，且，请求出与所满足的关系式．（要求：用含的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $