精品解析：甘肃省靖远县部分校2027届高三第一次联考数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是不共线的向量，且，，，则（ ） A. ，，三点共线 B. ，，三点共线 C. ，，三点共线 D. ，，三点共线 6. 把4名同学均分成，两个辩论小组，并分别安排各组的第一、二辩手，则不同的方案数为（ ） A. 12 B. 24 C. 16 D. 32 7. 若函数无极值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆的圆心在直线上，圆被轴截得的弦长为8，且与圆：内切，则圆的半径为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，满足，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线：的焦点为，抛物线：的焦点为，上的动点位于第一象限，，则（ ） A. B. 的准线方程为 C. 的最小值为 D. 当在上时， 11. 在中，，的角平分线交于点，为的重心，点在线段上，且，，则（ ） A. B. 是等腰三角形 C. 是钝角三角形 D. 的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若（）是奇函数，则_________． 13. 若椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形的面积为，则四边形周长的最小值为________． 14. 如图，将边长为的正六边形纸片的六个角各切去一个全等的四边形（阴影部分），再沿虚线折起，做成一个无盖正六棱柱形容器，且该容器的12个顶点均在球的球面上，当球的表面积取得最小值时，该正六棱柱形容器的高为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某车间对3组零部件进行可靠性测试，每组零部件中有2个同款元件，每个元件正常工作的概率为．若一组零部件内至少有一个元件正常工作，则该组通过测试，否则该组零部件没有通过测试，则需要对该组零部件重新调试，且每组零部件调试的费用为40元． （1）求一组零部件通过测试的概率； （2）记这3组零部件重新调试的费用为元，求． 16. 如图，在直四棱柱中，，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为4． （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，过点且斜率不为0的直线与的右支交于，两点，且，求的斜率． 18. 已知等差数列的前项和为，，，且． （1）求的通项公式． （2）已知数列的前项和为． ①求； ②证明：． 19. 已知函数的定义域为，若对任意，都有，且（为常数），则称是互倒函数，为的互倒系数． （1）判断函数是否是互倒函数，并说明理由． （2）已知互倒函数的互倒系数为，求的值． （3）已知定义在上的互倒函数的互倒系数为1．对任意，，都有，当时，，在的值域为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的概念，复数的虚部为，即可求出该复数虚部. 【详解】复数为的虚部为. 2. 样本数据的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】数据的中位数为. 3. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据导数的几何意义求出斜率，再根据点斜式方程求出切线方程即可. 【详解】由题可知，，则当时，，， 所以切线方程为，即. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 5. 已知，是不共线的向量，且，，，则（ ） A. ，，三点共线 B. ，，三点共线 C. ，，三点共线 D. ，，三点共线 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，设，则，此时不存在， 故，，三点不共线，故A错误； 对于B，设，则，此时不存在， 故，，三点不共线，故B错误； 对于C，， 设，则，此时不存在， 故，，三点不共线，故C错误； 对于D，， 此时，所以， 因为与有公共点， 所以，，三点共线，故D正确. 6. 把4名同学均分成，两个辩论小组，并分别安排各组的第一、二辩手，则不同的方案数为（ ） A. 12 B. 24 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【详解】分组：从4名同学中选2人分到A组，剩下2人自动进入B组，选法有种. 安排辩手位置：A组的2名同学分配第一、二辩手，有种排列方式； 同理B组的2名同学也有种排列方式. 总方案数为. 7. 若函数无极值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意无变号零点，构造函数，求导得到函数单调性和最小值，从而得到答案. 【详解】， 因为无极值， 所以无变号零点， 令，则， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故有极小值，也为最小值，为， 要想无变号零点，需，解得， 所以的取值范围是. 8. 已知圆的圆心在直线上，圆被轴截得的弦长为8，且与圆：内切，则圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据弦长公式和两点间距离公式列出方程式求解参数，从而求解半径. 【详解】设圆心，圆的半径为，圆心到轴距离， 根据弦长公式可知：， 圆：，圆心，半径，两圆内切可知， 同时，则， 代入得，令， 则， 解得，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】因为，所以且，故B，D选项正确； 因为，，所以，故C选项正确； 因为且，5，故A选项错误. 10. 已知抛物线：的焦点为，抛物线：的焦点为，上的动点位于第一象限，，则（ ） A. B. 的准线方程为 C. 的最小值为 D. 当在上时， 【答案】BC 【解析】 【分析】对A和B，根据条件，利用抛物线的性质，即可求解；对C，根据条件，利用抛物线的定义，即可求解；对D，根据条件，可得，即可求解. 【详解】对于A，抛物线：的焦点为，所以A错误， 对于B，抛物线：的准线方程为，所以B正确， 对于C，因为的准线方程为，过作于，过作于， 由抛物线定义知，又，所以，故C正确； 对于D，因为，由图可知，所以D错误. 11. 在中，，的角平分线交于点，为的重心，点在线段上，且，，则（ ） A. B. 是等腰三角形 C. 是钝角三角形 D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据的角平分线,由面积关系可得 ，为的重心，且，，可得，选项AB可得；根据余弦定理，求底角的余弦值，选项C可证明；根据面积公式，选项D可得. 【详解】 在中，，的角平分线交于点， 设边上的高为， 即： ，则，， 为的重心，为边中点，点在线段上，且， ， 即： 即：，选项B正确； ,选项A正确； 设，则 根据余弦定理 所以是锐角三角形，选项C错误； ，选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若（）是奇函数，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】对于定义域为的函数， 若它是奇函数，则奇函数在处有定义时必有， 因此： ，由余弦函数零点性质得： ， 即， 结合约束条件，仅当时，满足范围， 代入验证得，确为奇函数. 13. 若椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，且四边形的面积为，则四边形周长的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】菱形面积转化为对角线乘积的一半，周长借助勾股定理表示，最后借助基本不等式求最值. 【详解】由题，，且四边形为菱形， 又因为菱形的面积为，所以， 四边形周长为，当时，等号成立， 故四边形的周长的最小值为. 14. 如图，将边长为的正六边形纸片的六个角各切去一个全等的四边形（阴影部分），再沿虚线折起，做成一个无盖正六棱柱形容器，且该容器的12个顶点均在球的球面上，当球的表面积取得最小值时，该正六棱柱形容器的高为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先设正六棱柱的高为，结合原正六边形内角为的几何特征，推导出正六棱柱底面正六边形的外接圆半径为，再利用正六棱柱的对称性得到其外接球半径的平方表达式，将该式整理为关于的二次函数，通过求二次函数的最小值点，最终得到外接球表面积最小时对应的正六棱柱高. 【详解】原正六边形边长为，正六边形内角为. 切去全等四边形后折为无盖正六棱柱，设正六棱柱的高为， 则切去的四边形中，切去的水平段长度为. 由此可得正六棱柱的底面正六边形边长为： ， 正六棱柱的个顶点都在球上，正六棱柱上下底面是全等的正六边形，外接球的球心必然在正六棱柱上下底面中心连线的中点处， 底面正六边形的外接圆半径等于其边长，设球半径为， 由勾股定理得：， 而函数开口向上，对称轴为， 则时，取得最小值， 而球的表面积，则球的表面积取得最小值时，， 则正六棱柱形容器的高为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某车间对3组零部件进行可靠性测试，每组零部件中有2个同款元件，每个元件正常工作的概率为．若一组零部件内至少有一个元件正常工作，则该组通过测试，否则该组零部件没有通过测试，则需要对该组零部件重新调试，且每组零部件调试的费用为40元． （1）求一组零部件通过测试的概率； （2）记这3组零部件重新调试的费用为元，求． 【答案】（1）； （2）30元． 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用对立事件概率公式进行求解； （2）方法一：记这3组零部件重新调试的组数为，利用二项分布期望公式和进行求解； 方法二：得到的可能取值和对应的概率，求出期望 【小问1详解】 设事件“一组零部件需要重新调试”，则， 所以一组零部件通过测试的概率为． 【小问2详解】 方法一：记这3组零部件重新调试的组数为，则， 得， 因为，所以元． 方法二：的可能取值为0，40，80，120． 因为，， ，， 所以元． 16. 如图，在直四棱柱中，，，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接．是四棱柱，，， ∴四边形是平行四边形，． ，分别是，的中点，， ． 平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线，结合平行线的传递性，可得，进而根据线面平行的判定求解即可， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易得，，两两垂直．设，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， ，． 设平面的法向量为， 则 取，则，，是平面的一个法向量． 易得平面的一个法向量为， ∴平面与平面夹角的余弦值为． 17. 已知双曲线：（，）的离心率为，焦距为4． （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，过点且斜率不为0的直线与的右支交于，两点，且，求的斜率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率可得，再由焦距为4，可得，再结合可得，于是可得的方程为； （2）直线与双曲线方程联立得到，由韦达定理，再结合，可得方程，解得斜率为. 【小问1详解】 设的焦距为，由题意得， 可解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 设：，，． 由得， 得 由，得， 则， 得，． 由， 得，得． 当时，，与的右支交于两点， 所以的斜率为． 18. 已知等差数列的前项和为，，，且． （1）求的通项公式． （2）已知数列的前项和为． ①求； ②证明：． 【答案】（1） （2）①； ②证明：设函数，， 得，则是增函数， 所以，即，． 因为，所以． 由，，…，， 得， 得，所以． 【解析】 【分析】（1）根据基本量法求得，于是； （2）①由（1）得，然后利用错位相减法求得； ②构造函数，，通过函数是增函数，得到，，又因为.所以，然后两边同时从1求和至即得到，即，得证. 【小问1详解】 设的公差为．由 得 所以． 【小问2详解】 ①由（1）得，， ， 两式相减得， 得． ②略. 19. 已知函数的定义域为，若对任意，都有，且（为常数），则称是互倒函数，为的互倒系数． （1）判断函数是否是互倒函数，并说明理由． （2）已知互倒函数的互倒系数为，求的值． （3）已知定义在上的互倒函数的互倒系数为1．对任意，，都有，当时，，在的值域为，求的最小值． 【答案】（1）是互倒函数． 理由如下：易得的定义域为，对任意，都有， 且，所以是互倒函数． （2）或4． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据定义代入验证即可求解， （2）根据定义代入，进而结合函数的图像，即可求解， （3）将不等式分两种情况讨论，结合互倒的定义可将问题转化为在上是增函数．进而对进行讨论，进而根据二次函数以及复合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得的定义域为，．对任意，都有， 且，得． 由于时，， 当时，，当时，， 函数，在上的大致图象如图所示． 由图可知，函数与在上的图象有两个交点， 且，，所以或4． 【小问3详解】 由，得或 由互倒函数的互倒系数为1，得，即， 代入以上不等式组，得或 由，得．结合或 得在上是增函数． 当时，在上是增函数． 当时，函数是减函数，且，函数在上单调递减． 根据复合函数的单调性，若要在上是增函数，则，得，所以． 当时，函数是减函数，且，函数在上单调递减． 因为，所以根据复合函数的单调性知在上是增函数． 综上，． 因为在上是增函数，所以，， 所以．故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $