空间向量与立体几何：空间动点轨迹问题、空间截面问题专项训练-2027届高三数学一轮复习

2027届高三数学一轮复习专项训练 空间向量与立体几何：空间动点轨迹问题、空间截面问题专项训练 考点目录 空间动点轨迹问题 空间截面问题 考点一 空间动点轨迹问题 例1．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知异面直线、成，其公垂线段为，，长为的线段的两端点分别在直线、上运动，则中点的轨迹为（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 【答案】B 【分析】设的中点为，过作的垂面，则的中点必在平面内，过点分别作，，使得，以点为坐标原点，直线为轴，平面内的角平分线为轴，平面过点且垂直于轴的直线为轴建立空间直角坐标系，设出点、的坐标，并设线段中点的坐标为，再结合以及空间中两点间的距离公式化简可得结果. 【详解】设的中点为，过作的垂面，则的中点必在平面内， 因为异面直线、成，过点分别作，，使得， 以点为坐标原点，直线为轴，平面内的角平分线为轴， 平面过点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，直线、所成角为， 则直线的一个方向向量可以为， 直线的一个方向向量可以为，且、. 由题意可知，存在、，使得， ， 所以，即点， ，即点， 设线段的中点为， 则，所以， 因为， 即，化简得， 故线段的中点的轨迹为椭圆. 例2．（2026·湖南怀化·三模）在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点为， 则，， 因为，所以， 故点在以为球心，为半径的球面上， 所以点的轨迹在正方体的每个面上均是半径为的圆， 则6个圆的总周长为.    例3．（2026·广东深圳·模拟预测·多选）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，点为棱的中点，点为侧面内的一个动点（含边界），则下列说法正确的是（     ） A．直线与直线所成角的正切值为 B．存在点，使得 C．三棱锥的体积的最大值为 D．若，则的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用线线角的向量法求解判断A；利用向量垂直的坐标表示推理判断B；利用点到平面的距离公式求出点到平面距离的最大值判断C；确定点的轨迹并求出长度判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 对于A，，设直线与直线所成的角为， 则，，A正确； 对于B，，，取， 得，即，B正确； 对于C，，设平面的法向量为， 则，取，得，而， 点到平面的距离，当且仅当时取等号， 此时点与点重合，而面积为定值，则三棱锥的体积的最大值 等于三棱锥的体积，C错误； 对于D，由平面，得，， 因此点的轨迹是以为圆心，1为半径，圆心角为的圆弧，长度为，D正确. 例4．（26-27高三上·四川成都·开学考试）在棱长均为2的正三棱锥中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，当平面时，动点的轨迹的长度是______． 【答案】1 【详解】如图所示，取的中点，取的中点，连接，，， 点，点分别为，的中点， 又平面，平面， 平面， 同理点，点分别为，的中点， 又平面，平面， 平面， 又，平面，平面， 平面平面， 又点是侧面上的一个动点， 且平面，平面平面， 点在平面上的轨迹为线段， 又点，点分别为，的中点，， 所以动点的轨迹的长度为1. 例5．（26-27高三上·河北·开学考试）已知是平面内一定点，是平面外一定点，，点到平面的距离为．设平面内的动点到点、点的距离之比为，则点的轨迹的长度为________． 【答案】/ 【分析】过点作平面，以为原点，分别以为轴，轴建立空间直角坐标系，设，利用坐标运算即可得点的轨迹是一个圆. 【详解】如图，过点作平面，交平面于点，连接. 在中，，，则. 以为原点，分别以为轴，轴建立空间直角坐标系.则平面即为平面. 则. 因为点是平面内的动点，所以设. 所以. 因为动点到点、点的距离之比为， 所以，化简得. 所以点的轨迹是圆心为，半径为的圆. 所以点的轨迹的长度为. 例6．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面平面，若为的中点.    (1)求点到平面的距离； (2)设是三角面内一点，且平面，求符合条件的点的轨迹长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：根据面面垂直的性质可知平面，利用等体积法求点到面的距离；解法二：建系，利用空间向量求点到面的距离； （2）取的中点为点的中点为点，根据题意可证平面平面，结合面面平行的性质可知点的轨迹为线段，即可得结果. 【详解】（1）解法一：因为，则， 且平面平面，平面平面平面， 所以平面， 设点到平面的距离为， 因为，即，可得， 又因为，可知，则， 所以， 由题意可得：，，则， 连接，可知，， 所以为等边三角形，则， 所以，即点到平面的距离为； 解法二：由题意可得：，， 则，可得， 因为，且为的中点，则， 且平面平面，平面平面平面， 所以平面， 如图，分别以为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系，    则， 可得， 设为平面的一个法向量，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离. （2）取的中点为点的中点为点， 因为为的中点，所以， 又因为平面平面， 所以平面平面， 且平面，所以平面平面， 且平面，可知平面， 可知点的轨迹为线段，则，所以， 因此点点轨迹长度为.    变式1．（2026·云南昆明·模拟预测）在棱长均为2的正三棱锥中，点M是的中点，点N是侧面上的一个动点，当平面时，线段的长度的最小值是（  ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】分别取，的中点为，，连接，，， 又点M是的中点，所以， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又点N是侧面上的一个动点，且平面， 所以点在平面上的轨迹为线段，在中，可知， 所以当时，的长度最小，即， 所以的最小值为. 变式2．（2026·江苏·模拟预测）已知三棱柱，是棱上的一个动点（不含端点），点在平面上的投影为，则点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆弧 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】B 【分析】通过平面，得到，确定点的运动轨迹为两个球的交线，即可求解. 【详解】 因为点在平面上的投影为， 所以平面， 又平面，所以， 则在以为直径的球上运动，且在以为直径的球上运动， 故在球球的圆弧上运动， 即点的轨迹为圆弧. 变式3．（26-27高三上·广东深圳·开学考试·多选）如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中正确的是（ ） A．平面 B．三棱锥的体积为定值 C．的最小值为 D．若，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】A利用中位线与平行四边形证线线平行，推出线面平行； B由线面平行得到动点到平面的距离不变以及的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值； C沿展开平面，余弦定理算出最小值； D先求正四面体顶点到底面距离，利用球截面小圆半径公式，计算点的轨迹圆的周长． 【详解】对于A，连接， 正方体的对角面为矩形，所以， 又分别为的中点，所以， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面，A正确； 对于B，正方体的对角面为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 所以线段上点到平面的距离为定值， 因为的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，B正确； 对于C，将与沿直线展开到同一平面内，如图所示： 易得，当且仅当为线段与的交点时，等号成立， 由，，得， 在等边中，， 则， 由余弦定理得， 因此的最小值为，C错误； 对于D，四面体是正四面体，棱长， 等边的外接圆半径， 则点到平面的距离， 由，得点的轨迹是以点为球心，为半径的球被平面所截得的圆，且该圆半径， 所以点的轨迹长度为，D正确． 变式4．（2026·山东日照·三模）在棱长为1的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为___． 【答案】 【分析】由题设可得M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的. 【详解】因为，则M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的， 又因为母线 则点M的轨迹所形成图形的面积为：， 变式5．（2026·浙江·二模）已知正四面体的棱长为，点为的重心，点是正四面体表面上的动点，且满足点到点的距离恒为，则点的运动轨迹的总长度为_________. 【答案】 【分析】由于到点的距离恒为的点的运动轨迹是以点为球心，半径为的球面，故点的运动轨迹为正四面体的各个面与球的截线，求出截线长之和即为点的运动轨迹的总长度. 【详解】由于到点的距离恒为的点的运动轨迹是以点为球心，半径为的球面， 故点的运动轨迹为正四面体的各个面与球的截线， 那么分别取的中点，连接， 作垂足分别为，那么 在正四面体中，点为的重心，所以，平面 所以，平面，平面， 所以，平面，又平面, 所以，，又，，平面，平面， 所以，平面，即为点到平面的距离， 在中，,, 所以，球被平面截得的圆的半径, 故点在上运动轨迹如图所示为优弧，, 所以，点在上运动轨迹长度为， 同理可得点在上运动轨迹长度为, 故点在，运动轨迹长度之和为 由于等边三角形内切圆半径为, 故点在上运动轨迹如图所示为三段相等的劣弧，取劣弧,则 , 所以，点在上运动轨迹长度为, 所以，点的运动轨迹的总长度为. 变式6．（25-26高三上·福建福州·期中）如图，四边形与均为菱形，，，.    (1)求证：平面； (2)为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； (3)设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 【答案】(1)证明：因为四边形为菱形，则， 设，连接，则为的中点， 因为，则， 因为，、平面，故平面. (2) (3) 【分析】（1）利用菱形的几何性质可得出，设，利用等腰三角形三线合一的性质可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）连接，推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得与平面所成角正弦值的最大值； （3）设点，根据可得出点的轨迹方程，明确点的轨迹形状，即可得解. 【详解】（1）略 （2）连接，因为四边形为菱形，则， 又因为，则为等边三角形， 因为为的中点，则， 又因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、 、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    因为，四边形为菱形，且，则是边长为的等边三角形， 所以，，，， 同理可得， 所以，、、、、、， 则，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 因为为上的动点，设，其中， 且，， 所以，， 设直线与平面所成角为， 则 ， 当时，取最大值，且最大值为， 因此，与平面所成角正弦值的最大值为. （3）因为为的中点，则， 设点，则，， 因为，即，即， 化简可得， 故动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在四边形内的部分， 即圆心角为的圆弧，故所求轨迹的长度为. 考点二 空间截面问题 例1．（26-27高三上·广东湛江·开学考试）已知长方体的8个顶点均在球的球面上，，，二面角为，过线段的中点作球的截面，则该截面面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据长方体的性质得到为二面角的平面角，可得，进而求得，，可得球的半径为，，分析可得垂直于截面时，截面圆的面积最小，进而求解即可. 【详解】在长方体中，平面， 而平面，所以，又， 所以为二面角的平面角，即， 由，，则，即， 所以球的半径为，易得， 要使截面圆的面积最小，则垂直于截面，此时截面圆的半径为， 则截面面积的最小值为. 例2．（2026·山东日照·二模）已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，由得出相应的结论，即可得出点构成的平面截正四面体所得的截面图形求出图形的周长即可. 【详解】将正四面体补全为正方体，则正方体棱长为4， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 设，则 ， 所以，即点构成的平面截正四面体所得的截面为正方形，边长为， 故截面周长为. 例3．（2026·福建南平·二模·多选）如图，在棱长为1的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放置两个小球，两球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为，则下列结论正确的是（    ）      A．平面截正方体所得截面不可能为五边形 B．平面截正方体所得截面面积的最大值是 C．两球半径之和为定值 D．两球体积之和的最大值是 【答案】ACD 【分析】根据正方体及球的对称性，结合题意，可知两球的球心在正方体的体对角线上，两球的公切点在体对角线上，公切平面与体对角线垂直，由此可判断A；利用特殊截面，求其面积，可判断B；根据A的判断，结合正方体的性质，求出两球半径之和，判断C；用较大球的半径表示两球的体积之和，根据二次函数在给定区间上的最值，求得体积之和的最大值，判断D. 【详解】由题意知，两球球心到各自相切的三个面的距离相等，所以球心到三个面的距离分别等于对应球的半径， 因此两球的球心在正方体的体对角线上，两球的公切点在体对角线上. 因此公切平面与体对角线垂直，根据正方体的对称性可得， 平面截正方体所得截面不可能为五边形，所以A正确.    如图，当截面为时，因为为正三角形，所以其面积为， 所以B错误. 设两个球的半径为，且，则. 因为每个球都与一个顶点出发的三个面相切，此时可看作两个球分别棱长为的正方体的内切球， 所以两球球心到相应顶点的距离为对应正方体的体对角线的一半，即. 所以，所以，故C正确. 由，，得. 两球体积之和， 在上单调递增，所以当时，取得最大值，最大值为， 所以D正确. 例4．（25-26高三下·江苏连云港·阶段检测）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为____ 【答案】 【分析】由题意，可得正方体的内切球球心为正方体中心，内切球半径，法一：连接，相交于点，连接，先证明平面，可得到平面的距离等于点到平面的距离，再利用等体积法求得，进而求出截面圆半径，进而求解即可；法二：建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用点面距离公式求解到平面的距离，进而求出截面圆半径，进而求解即可. 【详解】由题意，正方体的内切球球心为正方体中心，内切球半径. 法一：连接，相交于点，则点为的中点，连接. 可得，因为平面，平面， 所以平面，在上， 则到平面的距离等于点到平面的距离，设为， ，， 由，得，则， 则截面圆半径，所以截面面积； 法二：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 则到平面的距离， 所以截面圆半径，所以截面面积. 例5．（25-26高三上·上海·阶段检测）在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，，点在棱上，若，则平面截正方体，所得截面多边形的周长_________． 【答案】 【分析】连接,设，找出平面与平面的交线，通过证明可知G、H为平面EFG截正方体所得的点，设平面，通过证明可知也为平面EFG截正方体所得的点，最终得到截面，通过简单的几何关系即可求解截面周长． 【详解】    如图，连接,设， 因为E、F分别为AB、BC的中点，所以，所以平面， 因为平面平面，连接GH，所以， 设平面，连接SO，则CG、OS、AH三者平行且相等， 在平面中，，，，， 所以，从而三点共线，即也在平面EFG内，连接，则截面多边形为， 易计算得，，，又根据对称性，截面多边形的周长为． 故答案为：． 变式1．（26-27高三上·河北唐山·阶段检测）正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 【答案】C 【详解】解析  连结并延长交的延长线于H，连结DH， 因为M是的中点，所以直线DH经过点M， 连接MN，则，则等腰梯形， 即为过、M、N三点的正方体的截面， 故选：C. 变式2．（25-26高三下·陕西榆林·阶段检测）已知正方体的棱长为2，平面过直线，且与平面ABCD所成的角为，则当分别取得最大值、最小值时，截正方体的截面面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设平面平面，过点C作于K，连接，得，则即为平面与平面ABCD所成的角，设，则，通过当分别取得最大值、最小值，进而确定截面计算面积即可； 【详解】设平面平面，易知平面ABCD，所以， 过点C作于K，连接，又平面，可得， 则即为平面与平面ABCD所成的角，设，则， 若，则，故，结合面面角的取值范围，可假想， 则取得最大值，此时平面即为平面ACGE，则截面面积为； 易知，所以当时，取得最小值，此时， 则平面，设BF，DH的中点分别为M，N，则平面必过MN， 所以截面面积为，所以截面面积之比为． 故选：A. 变式3．（2026·陕西渭南·三模·多选）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱CD的中点，动点P在侧面内（含边界）运动，则（   ） A．过点E，P的平面截正方体所得截面可能为五边形 B．若三棱锥的体积为，则动点P的轨迹长度为2 C．若P为的中点，则平面 D．若P为棱的中点，则平面AEP截正方体所得截面面积为 【答案】AD 【分析】对于A，结合正方体的特点及图形即可判断；对于B，由三棱锥的体积公式结合题设可得到平面的距离为，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量列方程求出点P的轨迹方程，进而求解判断即可；对于C，建立空间直角坐标系，利用空间向量判断即可；对于D，连接并延长交的延长线于点，连接，可得平面AEP截正方体所得截面为梯形，进而求解判断即可. 【详解】对于A，如图，过点E，P的平面截正方体所得截面可能为五边形，故A正确； 对于B，由于， 则， 所以， 则， 设到平面的距离为， 由，则， 以为原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 则，即， 所以点P的轨迹线段，而， 则动点P的轨迹长度为，故B错误； 对于C，建立同B选项的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以与不垂直， 则与平面不平行，故C错误； 对于D，连接并延长交的延长线于点，连接， 而为的中点，P为的中点，则为与的交点，为的中点， 即， 所以平面AEP截正方体所得截面为梯形， 而，则梯形的高为， 所以梯形的面积为，故D正确. 变式4．（25-26高三上·广西河池·阶段检测）正四面体的棱长为8，为棱的中点，过点作正四面体外接球的截面，则截面面积的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据正四面体的特征可结合三角形的边角关系求解长度，即可根据勾股定理求解球半径，由与截面垂直时截面最小，即可根据勾股定理求解. 【详解】由正四面体的特征可知其外接球的球心在高所在的直线上，设球心为， 则,, , 设外接球的半径为,则, 代入的值可得, 要使过点作正四面体外接球的截面中面积最小，则到球心的距离最大，即与截面垂直时，此时截面最小， 则到球心的距离, 故截面圆的半径为, 因此截面圆的面积为， 故答案为： 变式5．（25-26高三上·浙江杭州·阶段检测）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．过圆锥的两条母线，SC作一个截面，则截面SBC面积的最大值是________． 【答案】8 【分析】由已知得、，进而可得，最后由及，即可得最大值. 【详解】由，即，故， 令且，则，即，所以， 由，而， 所以时，最大. 故答案为：8 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习专项训练 空间向量与立体几何：空间动点轨迹问题、空间截面问题专项训练 考点目录 空间动点轨迹问题 空间截面问题 考点一 空间动点轨迹问题 例1．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知异面直线、成，其公垂线段为，，长为的线段的两端点分别在直线、上运动，则中点的轨迹为（    ） A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线 例2．（2026·湖南怀化·三模）在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·广东深圳·模拟预测·多选）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，点为棱的中点，点为侧面内的一个动点（含边界），则下列说法正确的是（     ） A．直线与直线所成角的正切值为 B．存在点，使得 C．三棱锥的体积的最大值为 D．若，则的轨迹长度为 例4．（26-27高三上·四川成都·开学考试）在棱长均为2的正三棱锥中，点是的中点，点是侧面上的一个动点，当平面时，动点的轨迹的长度是______． 例5．（26-27高三上·河北·开学考试）已知是平面内一定点，是平面外一定点，，点到平面的距离为．设平面内的动点到点、点的距离之比为，则点的轨迹的长度为________． 例6．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面平面，若为的中点.    (1)求点到平面的距离； (2)设是三角面内一点，且平面，求符合条件的点的轨迹长度. 变式1．（2026·云南昆明·模拟预测）在棱长均为2的正三棱锥中，点M是的中点，点N是侧面上的一个动点，当平面时，线段的长度的最小值是（  ） A． B． C． D．1 变式2．（2026·江苏·模拟预测）已知三棱柱，是棱上的一个动点（不含端点），点在平面上的投影为，则点的轨迹为（   ） A．线段 B．圆弧 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分 变式3．（26-27高三上·广东深圳·开学考试·多选）如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中正确的是（ ） A．平面 B．三棱锥的体积为定值 C．的最小值为 D．若，则点的轨迹长度为 变式4．（2026·山东日照·三模）在棱长为1的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为___． 变式5．（2026·浙江·二模）已知正四面体的棱长为，点为的重心，点是正四面体表面上的动点，且满足点到点的距离恒为，则点的运动轨迹的总长度为_________. 变式6．（25-26高三上·福建福州·期中）如图，四边形与均为菱形，，，.    (1)求证：平面； (2)为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值； (3)设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度. 考点二 空间截面问题 例1．（26-27高三上·广东湛江·开学考试）已知长方体的8个顶点均在球的球面上，，，二面角为，过线段的中点作球的截面，则该截面面积的最小值为（     ） A． B． C． D． 例2．（2026·山东日照·二模）已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为（   ） A．4 B．8 C． D． 例3．（2026·福建南平·二模·多选）如图，在棱长为1的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放置两个小球，两球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为，则下列结论正确的是（    ）      A．平面截正方体所得截面不可能为五边形 B．平面截正方体所得截面面积的最大值是 C．两球半径之和为定值 D．两球体积之和的最大值是 例4．（25-26高三下·江苏连云港·阶段检测）已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为____ 例5．（25-26高三上·上海·阶段检测）在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，，点在棱上，若，则平面截正方体，所得截面多边形的周长_________． 变式1．（26-27高三上·河北唐山·阶段检测）正方体中，M，N分别是，的中点，则过，M，N三点的平面截正方体所得的截面形状是（   ） A．平行四边形 B．直角梯形 C．等腰梯形 D．三角形 变式2．（25-26高三下·陕西榆林·阶段检测）已知正方体的棱长为2，平面过直线，且与平面ABCD所成的角为，则当分别取得最大值、最小值时，截正方体的截面面积之比为（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·陕西渭南·三模·多选）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱CD的中点，动点P在侧面内（含边界）运动，则（   ） A．过点E，P的平面截正方体所得截面可能为五边形 B．若三棱锥的体积为，则动点P的轨迹长度为2 C．若P为的中点，则平面 D．若P为棱的中点，则平面AEP截正方体所得截面面积为 变式4．（25-26高三上·广西河池·阶段检测）正四面体的棱长为8，为棱的中点，过点作正四面体外接球的截面，则截面面积的最小值为_____. 变式5．（25-26高三上·浙江杭州·阶段检测）用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形．如图，圆锥底面圆的半径是，轴截面的面积是．过圆锥的两条母线，SC作一个截面，则截面SBC面积的最大值是________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $