精品解析：山东省济南实验初级中学2026-2027学年上学期八年级10月学情自测数学试题

八年级增值评价数学试题 （2026.10） 本试卷满分150分 考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5 mm黑色签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 6的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列表述，能确定具体位置的是（ ） A. 横店电影城1号厅6排 B. 曲靖市罗平县 C. 北纬，东经 D. 南偏西 4. 若点M的坐标为，则点M在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列各图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若是的正比例函数，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 7. 点关于轴对称的点的坐标为，则的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8. 估算的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 12和13之间 9. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其排列顺序为图中“→”所指方向，如，，，，，，根据这个规律，第个点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称为一组“完美方根数对”．如上面是一组“完美方根数对”．下面3个结论： ①是“完美方根数对”； ②数对不可能是“完美方根数对”； ③若，且是“完美方根数对”，则满足条件的共有30组；其中正确的结论有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 计算：___________． 12. 若点A在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点A的坐标为______________． 13. 已知y是x的正比例函数，当时，，那么这个函数的表达式为________． 14. 如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点表示的数是，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为_________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点D的坐标为，点Q是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等腰直角，使得，点E落在第一象限，连接，的最小值为________． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 （1）请画出关于y轴的对称图形； （2）若在内部有一个点，则点P在内部的对应点的坐标是 ； （3）求的面积． 19. 某水果店售卖草莓，每小时销售额固定，每日销售额随售卖时长变化而变化．设售卖时长为小时（自变量），销售额为元（因变量），部分售卖数据如下表： 售卖时长（小时） 销售额（元） （1）根据表格数据，写出与的变量关系式； （2）若当日草莓全部售完用时小时，求当日总销售额； （3）若当日成本为元，求售卖小时的纯利润． 20. 已知的平方根是，的立方根是． （1）求的值； （2）求的平方根． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，，且，满足关系式：． （1）填空： ， ； （2）求三角形的面积； （3）若点为轴上一点，且三角形的面积等于三角形的面积，求点的坐标． 22. 甲、乙两车分别从相距360千米的A，B两地同时出发，相向而行．已知甲车在中途发生故障停下维修1小时，修好后继续按原速前行．甲、乙两车距B地的距离，（单位：千米）与所用时间x（单位：小时）之间的关系如图所示，请根据图象信息解答下列问题： （1）甲、乙两车的速度分别是多少？ （2）当甲车到达B地时，乙车距A地还有多少千米？ （3）求甲、乙两车出发多长时间，两车相距30千米？ 23. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）观察上面解答过程，请写出________； （2）化简； （3）若，请按照小明的方法求出的值． 24. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“美好距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“美好距离”为； 若，则点与点的“美好距离”为． 用符号表示，两点的“美好距离”． （1）已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“美好距离”为2，满足条件的点的坐标是__________（写出1个即可）； ②点与点的“美好距离”的最小值是__________； （2）已知直线过且平行于轴，是直线上的一个动点，如图1，点的坐标是，求出点与点的“美好距离”的最小值是多少？当与的“美好距离”取最小值时，求出点的横坐标的最小值是多少？ 25. 如图1，已知点，点，且满足． （1）求两点的坐标； （2）若点C是第一象限内一点，且，过点A作于点F，求证：； （3）如图2，若点D的坐标为，过点A作，且，连接交x轴于点G，求G点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级增值评价数学试题 （2026.10） 本试卷满分150分 考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5 mm黑色签字笔将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】无限不循环小数是无理数，为判断提供依据．逐一分析每个选项对应的数的类型：因为整数和分数统称为有理数，所以先判断选项是否属于整数或分数范畴．针对含开方运算的选项，判断被开方数是否为完全平方数，如果被开方数不是完全平方数，那么开方结果是无限不循环小数，属于无理数． 【详解】解：我们把无限不循环小数叫做无理数，而整数和分数都属于有理数： 选项A的0是整数，属于有理数； 选项B的是负整数，属于有理数； 选项C的是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 选项D的是分数，属于有理数． 2. 6的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的算术平方根是． 3. 根据下列表述，能确定具体位置的是（ ） A. 横店电影城1号厅6排 B. 曲靖市罗平县 C. 北纬，东经 D. 南偏西 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面内确定一个具体位置需要两个独立的有序数据逐项进行判断． 【详解】解：平面内确定具体位置需要两个有序的唯一数据， A 选项，横店电影城1号厅6排，缺少具体座位号，无法确定具体位置； B 选项，曲靖市罗平县是一个大范围区域，无法确定具体位置； C 选项，北纬，东经，两个数据可以唯一确定具体位置； D 选项，南偏西，缺少距离信息，无法确定具体位置． 4. 若点M的坐标为，则点M在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限． 【详解】解：∵点M的坐标为， ∴点M的横坐标为负，纵坐标为正， ∴点M在第二象限． 5. 下列各图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数的定义：当自变量取一个确定的值时，有唯一一个变量与之对应，则称是的函数，根据函数的定义判断即可． 【详解】解：A选项：由图象可知，当自变量取一个确定的值时，有唯一一个变量与之对应，是的函数，故A选项符合题意； B选项：由图象可知，当自变量取一个确定的值时，可能有两个变量与之对应，不是的函数，故B选项不符合题意； C选项：由图象可知，当自变量取一个确定的值时，可能有两个变量与之对应，不是的函数，故C选项不符合题意； D选项：由图象可知，当自变量取一个确定的值时，可能有多个变量与之对应，不是的函数，故D选项不符合题意． 6. 已知，若是的正比例函数，则的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合正比例函数的定义，从自变量次数、系数两个限制条件入手列式求解. 【详解】解：由题意得且， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴. 7. 点关于轴对称的点的坐标为，则的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征；利用该特征列方程求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵关于y轴对称的点，纵坐标相等，横坐标互为相反数， 又∵点关于y轴对称的点的坐标为， ∴，，解得，， ∴． 故选：D． 8. 估算的值在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 12和13之间 【答案】C 【解析】 【分析】找到与11相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而推导的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标分别为整数的点，其排列顺序为图中“→”所指方向，如，，，，，，根据这个规律，第个点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察图形可知，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为，纵坐标为右下角横坐标的偶数减的点结束，根据此规律解答即可． 【详解】解：根据图形，以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方， 例如：右下角的点的横坐标为，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， 右下角的点的横坐标为时，共有个，， ， 右下角的点的横坐标为时，共有个， ，是奇数， 第个点是， 故选：B． 10. 我们发现：，，，…，，一般地，对于正整数a、b，如果满足，那么称为一组“完美方根数对”．如上面是一组“完美方根数对”．下面3个结论： ①是“完美方根数对”； ②数对不可能是“完美方根数对”； ③若，且是“完美方根数对”，则满足条件的共有30组；其中正确的结论有（ ）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先根据“完美方根数对”的定义推导得出正整数满足，再逐一验证三个结论即可． 【详解】解：根据定义，若是“完美方根数对”，则（为正整数），两边平方得： ，即， ①验证： ，， 是“完美方根数对”，①正确； ②验证： 若是“完美方根数对”， 则，即， 该方程无正整数解，因此不可能是“完美方根数对”，②正确； ③若，是“完美方根数对”： ， ， 又是正整数， ，为正整数，得， ，， 可取，共组，③正确； 综上，三个结论都正确，正确结论个数为． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案． 11. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求算术平方根．先计算平方运算，再求算术平方根，进而即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12. 若点A在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点A的坐标为______________． 【答案】 【解析】 【分析】点到轴的距离是纵坐标的绝对值，到轴的距离是横坐标的绝对值，结合第二象限点的坐标符号特征即可确定点的坐标． 【详解】解：点到轴的距离为，到轴的距离为， 点的纵坐标为，横坐标为， 点在第二象限，第二象限内点的横坐标为负，纵坐标为正， 点的坐标为． 13. 已知y是x的正比例函数，当时，，那么这个函数的表达式为________． 【答案】 【解析】 【分析】先设正比例函数的一般形式，代入已知的，的值求解比例系数，即可得到函数表达式． 【详解】解：设该正比例函数表达式为 （）， 将 ， 代入得 ， 解得 ， 因此这个函数的表达式为． 14. 如图，将有一边重合的两张直角三角形纸片放在数轴上，纸片上的点表示的数是，若以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E（点E位于点A右侧），则点E表示的数为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由勾股定理可得的长，再根据作图得出的长，即可求解． 【详解】解：由图可得，， 在中，， 在中，， ∵以点A为圆心、的长为半径画弧，与数轴交于点E， ∴， ∴点E表示的数为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点D的坐标为，点Q是直线上的一个动点，以为边，在的右侧作等腰直角，使得，点E落在第一象限，连接，的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中动点轨迹的确定、等腰直角三角形的性质及最短路径问题（利用对称点求距离和最小值），解题的关键是通过设动点坐标推导点E的轨迹方程，再利用对称点将的最小值转化为两点间的最短距离． 设，构造全等三角形求；确定E在直线上；作O关于该直线的对称点；计算的长度即为的最小值． 【详解】设点Q的坐标为（因Q在直线上，横纵坐标相等）． ∵点D的坐标为， ∴， 过Q作轴于M，过E作轴于N，则． ∵是等腰直角三角形且， ∴，． 又(的锐角互余)，，则． 又，， ∴， ∴， ， 故E的横坐标为，纵坐标为，即． 由，设，，消去t得，即E在直线上（第一象限部分）． 问题转化为：直线上找一点E，使最小． 作原点关于直线的对称点， [对称点计算：直线的垂线为，交点为，中点为，故]． 则，因此，最小值为的长度．（如下图） 由和，由勾股定理得： ． 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将各二次根式化为最简，再合并同类二次根式； （2）先根据二次根式的乘除法法则计算，再根据二次根式的加减法计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 或 ∴或； 【小问2详解】 解： ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 （1）请画出关于y轴的对称图形； （2）若在内部有一个点，则点P在内部的对应点的坐标是 ； （3）求的面积． 【答案】（1）如图，即为所求； （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据关于轴对称的点的特征即可解答； （3）利用割补法即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据对称的性质可得点P在内部的对应点的坐标是； 【小问3详解】 解：的面积． 19. 某水果店售卖草莓，每小时销售额固定，每日销售额随售卖时长变化而变化．设售卖时长为小时（自变量），销售额为元（因变量），部分售卖数据如下表： 售卖时长（小时） 销售额（元） （1）根据表格数据，写出与的变量关系式； （2）若当日草莓全部售完用时小时，求当日总销售额； （3）若当日成本为元，求售卖小时的纯利润． 【答案】（1） （2）当日总销售额为元 （3）售卖小时的纯利润为元 【解析】 【分析】（1）先观察表格中与的对应数值，总结出和成正比例变化的规律，再设正比例函数解析式，使用待定系数法求出关系式； （2）将代入已经求出的变量关系式，计算对应的销售额； （3）先把代入关系式求出销售额，再用销售额减去固定成本，求出纯利润． 【小问1详解】 解：由表格可知： ， ， ， , 与的比值恒定，与成正比例关系， ∵时长为小时， ∴， 设， 把，代入， ， 解得， ， 【小问2详解】 解：当时，， 答：当日总销售额为元； 【小问3详解】 解：当时，， ， 答：售卖小时的纯利润为元． 20. 已知的平方根是，的立方根是． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1）；； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质求解即可； （2）先求出，再根据平方根的性质求解即可． 【小问1详解】 ∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴，即， 解得：； 【小问2详解】 ∵， ∴的平方根为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，，且，满足关系式：． （1）填空： ， ； （2）求三角形的面积； （3）若点为轴上一点，且三角形的面积等于三角形的面积，求点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据算术平方根和偶次方的非负性即可解答； （2）过点作轴于点，利用割补法即可解答； （3）设点，根据题意列方程即可解答． 【小问1详解】 解：， ，， 解得，； 【小问2详解】 解：根据（1）可得，，， 如图，过点作轴于点， 则， ； 【小问3详解】 解：设点， 则， ， ， 解得或， 点的坐标为或． 22. 甲、乙两车分别从相距360千米的A，B两地同时出发，相向而行．已知甲车在中途发生故障停下维修1小时，修好后继续按原速前行．甲、乙两车距B地的距离，（单位：千米）与所用时间x（单位：小时）之间的关系如图所示，请根据图象信息解答下列问题： （1）甲、乙两车的速度分别是多少？ （2）当甲车到达B地时，乙车距A地还有多少千米？ （3）求甲、乙两车出发多长时间，两车相距30千米？ 【答案】（1）甲车的速度为：（千米/时），乙车的速度为：（千米/时） （2）千米 （3）两车出发小时或小时，相距30千米 【解析】 【分析】（1）根据速度路程时间可求出乙车的速度，再结合题意和图象运用公式即可求出甲车的速度； （2）先求得甲车到达B地的时间，再求解即可； （3）两车相距30千米分为两种情况，即两车相遇前和两车相遇后，分别计算即可解答． 【小问1详解】 解：乙车的速度为：（千米/时）， （小时）， 当乙车行驶3小时时，甲车行驶的路程为： （千米）， 甲车的速度为：（千米/时）； 【小问2详解】 解：甲车到达B地的时间为：小时， 此时乙车距离A地的路程为：（千米）； 【小问3详解】 解：当时，两车相距的路程为（千米）， 所以，甲、乙两车相距30千米有两种情况： ①甲、乙两车相遇前相距30千米：， 解得：； ②甲、乙两车相遇后相距30千米：， 解得：； 综上，两车出发小时或小时，相距30千米． 23. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）观察上面解答过程，请写出________； （2）化简； （3）若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把分母有理化即可； （2）把算式中各部分进行分母有理化，再合并同类二次根式； （3）按照小明的方法，先把分母有理化，可得：，两边同时平方可得：，等式两边同时乘以可得：，然后利用整体代入法求出代数式的值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ， 即， ， ， ， ． 24. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“美好距离”，给出如下定义： 若，则点与点的“美好距离”为； 若，则点与点的“美好距离”为． 用符号表示，两点的“美好距离”． （1）已知点，为轴上的一个动点， ①若点与点的“美好距离”为2，满足条件的点的坐标是__________（写出1个即可）； ②点与点的“美好距离”的最小值是__________； （2）已知直线过且平行于轴，是直线上的一个动点，如图1，点的坐标是，求出点与点的“美好距离”的最小值是多少？当与的“美好距离”取最小值时，求出点的横坐标的最小值是多少？ 【答案】（1）①或（任写一个即可）；② （2）点与点的“美好距离”的最小值是2；点横坐标的最小值是 【解析】 【分析】根据“美好距离”的定义即可求解． 【小问1详解】 解：①设， ， ，， ，且， 由“美好距离”的定义得， 解得， 点的坐标可以是或； ②由①知， 由“美好距离”的定义可得， 当时，，此时， 当时，， 点与点的“美好距离”的最小值是； 【小问2详解】 解：设， ， ，， 由“美好距离”的定义可得， 当时，， 当时，， 点与点的“美好距离”的最小值是2， ，即， 点横坐标的最小值是． 25. 如图1，已知点，点，且满足． （1）求两点的坐标； （2）若点C是第一象限内一点，且，过点A作于点F，求证：； （3）如图2，若点D的坐标为，过点A作，且，连接交x轴于点G，求G点的坐标． 【答案】（1）点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，5） （2） 证明：如图所示，过点B作BE⊥OC于E， ∴∠BEC=∠BEO=90°， ∵A（5，0），B（0，5）， ∴OA=OB=5， ∵AD⊥OC， ∴∠AFO=90°， ∴∠AOF+∠OAF=90°， ∵∠BOE+∠AOF=90°， ∴∠BOE=∠OAF， ∴△BEO≌△OFA（AAS）， ∴BE=OF，OE=AF， ∵∠OCB=45°， ∴∠EBC=45°， ∴∠EBC=∠ECB， ∴BE=CE， ∴OF=CE， ∴OF+EF=CE+EF，即OE=CF， ∴AF=CF； （3）（2，0） 【解析】 【分析】（1）利用非负数的性质求解即可； （2）如图所示，过点B作BE⊥OC于E，先求出OA=OB=5，然后证明△BEO≌△OFA得到BE=OF，OE=AF，再证明BE=CE，得到OF=CE，从而推出OE=CF，则AF=CF； （3）如图所示，过点E作EF⊥x轴于F，先证明△EFA≌△AOD得到AO=EF=OB，AF=OD 再证明△BOG≌△EFG得到OG=FG， 由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点A的坐标为（5，0），点B的坐标为（0，5）； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点E作EF⊥x轴于F， ∴∠EFA=∠EFG=90°， ∴∠FEA+∠FAE=90°， ∵AE⊥AD， ∴∠OAD+∠EAF=90°， ∴∠DAO=∠AEF， 又∵AD=EA，∠EFA=∠AOD， ∴△EFA≌△AOD（AAS） ∴AO=EF=OB，AF=OD ∵∠BOG=∠EFG，∠BGO=∠EGF， ∴△BOG≌△EFG（AAS）， ∴OG=FG， ∵D（0，1）， ∴AF=OD=1， ∴OF=OA-AF=4， ∴OG=FG=2， ∴点G的坐标为（2，0） 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够正确作出辅助线求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $