精品解析：山东济南市莱芜区文源学校2025-2026学年上学期八年级数学12月学习成果展示

2025-2026学年度第一学期12月八年级数学学科学习成果展示题 一、选择题（共10小题） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、=，不是最简二次根式，不符合题意； D、=，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 2. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴A不正确； ∵对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴B不正确； ∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角， ∴C不正确； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键． 3. 用配方法解方程时，将其配方成的形式，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．先移项，再配方得出，得出，求出，，再代入求出答案即可． 【详解】解：， 移项，得， 配方，得， 所以， 所以，， ∴． 故选：C． 4. 如图，在平行四边形中，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形得到，，，再由平行线的性质得到，但是对角线不一定互相垂直，即可判断． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 故B、C、D正确，不符合题意，A不一定成立，符合题意， 故选：A． 5. 如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形的对角线互相平分是解题关键．由矩形的性质可得，，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，， ， 故选：A． 6. 如图，在等边中，点、分别在边、上，且，，，则的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明是解答本题的关键． 通过证明，可得，可求的长． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ，且， ， ， ， ， 故选：A． 7. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 8. 如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，若，四边形的面积是100，则四边形的面积是（ ） A. 4 B. 16 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，比例的性质，相似多边形的性质， 掌握性质，能根据性质求出相似比是解题的关键． 先根据位似的性质得到，四边形与四边形相似，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可； 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心， ， 四边形与四边形相似， ， ， ， ， 解得； 故选：B． 9. 如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，则（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 4：9 D. 1：4 【答案】D 【解析】 【分析】证明，利用相似三角形的面积比等于像是比的平方即可得到答案． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 10. 如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】证明，可判定①正确； 连接交于点O,Q，点M，点G关于直线对称，故的最小值是点P与点Q重合时，取得，且为,故的最小值是，故②错误；先证明，得，可证，故③ 正确；根据，故④正确．本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， 故①正确； 连接交于点O,Q， ∵正方形，且, ∴， ∵垂直平分， ∴点M，点G关于直线对称， 故的最小值是点P与点Q重合时，取得，且为, 故的最小值是， 故②错误； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故③ 正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， 故④正确． 故选D． 二、填空题（共5小题） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】此题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握其定义． 二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，分式有意义的条件是分母不为零，综合两个条件求解． 【详解】根据二次根式有意义的条件，被开方数， 解得； 根据分式有意义的条件，分母，即． 因此，的取值范围是且． 故答案为：且． 12. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此设出方程的另一个根，再利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为4， 故答案为；4． 13. 如图，在宽为、长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分铺上草坪．要使草坪的面积为，则道路的宽为_____m． 【答案】2 【解析】 【分析】设道路的宽为，则把纵向路平移到最左侧、横向路平移到最下方后， 整个草坪可看作一个长为、宽为的矩形． 再利用长和宽得到面积的表达式，求出x的长度. 【详解】解：设道路的宽为, 由题意得:． 整理，得，解得，（舍去）． 故道路的宽为． 故答案为:2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，利用长度和面积的关系列出表达式是解题的关键. 14. 两个相似三角形面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是_______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，理解“相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比”是解题关键．根据面积比，可得相似比为，周长比也为，然后分为较小三角形的周长和为较大三角形的周长两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：设相似比为，则面积比为， 解得（负值舍去），即周长比也为， 若为较小三角形的周长， 则另一个三角形的周长为， 若为较大三角形的周长， 则另一个三角形的周长为， 综上所述，另一个三角形的周长是或． 15. 如图，在中，是的中点，且，则的面积为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握相似三角形、勾股定理的逆定理和平行四边形中图形的面积关系是解题的关键．根据平行四边形的性质及相似三角形和勾股定理求解．先证明是直角三角形，再求解的面积，进一步求出平行四边形的面积． 【详解】解：如图，设，交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ， ， ，，， ，，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， 是的中点， ， 故答案为：8． 三、解答题（共10小题） 16. 计算．． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 先使用完全平方公式展开平方，然后按照二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 17. 计算．； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂公式，负整数指数幂公式，绝对值的意义，二次根式的化简，熟练掌握公式是解题的关键． 根据零指数幂公式，负整数指数幂公式，绝对值的意义，二次根式的化简计算即可． 【详解】解： ． 18. 嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：……① ，，，…………………② …………③ 方程无实数根．……………④ （1）嘉嘉解方程的方法是___________，他的求解过程从第_______步开始出现错误； （2）请你写出这个方程正确的解题步骤． 【答案】（1）公式法，②； （2） 依题意，， ，，， ， ， ，． 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法的解题步骤是解决本题的关键． （1）根据嘉嘉的解题过程可知，他采用的方法是公式法，因为表示系数时错误，从第②步开始出现错误； （2）利用公式法，先求出，再求出方程的根即可． 【小问1详解】 解：依题意，嘉嘉解方程的方法是公式法， 则求解过程中，，，他的表示系数时错误， ∴从第②步开始出现错误， 故答案为：公式法，②； 【小问2详解】 略 19. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：∵是一元二次方程， ∴， 无论取何实数，总有，， ∴方程总有两个不相等的实数根． （2），另一根为 【解析】 【分析】（1）根据进行判断； （2）把代入方程即可求得，然后解这个方程即可； 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根；还有方程根的意义等； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入方程， 有， 整理，得． 解得， 此时方程可化为． 解此方程，得，． ∴方程的另一根为． 20. 如图，点分别是的边上的点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）由补角性质可得，进而即可求证； （）由得，进而根据相似三角形的性质解答即可求解； 本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ∴， ∴． 21. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：是的垂直平分线， ，； ∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， （）， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）96 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形的周长是40， ∴， 设、， 则有，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理可得：， ∴． 22. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出一元二次方程，并正确计算． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价m元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为x， 由题意得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价m元， 由题意得， 解得，， ∵每千克涨价不能超过8元， ∴。 ∴不合题意，舍去。 又∵要尽快减少库存，即销售量要尽可能大， 当时，销售量为千克，符合题意。 ∴。 即该商场要保证水果每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价5元． 23. 如图，在正方形中，对角线交于点O，E、F分别在上，，连接的延长线交于点G． （1）垂直吗？说明理由； （2）若正方形的边长为，，求的长． 【答案】（1） ． 理由如下： 四边形是正方形， ． 在和中， ， ， ∵， ， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明和利用等角代换解题． （1）推导出，证明，得到，继而推导出，则，即可解答； （2）先求出，推导出， 进而证明，得到，求出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ， ， ∴， 即 或（不符合题意，舍去）， ∵ ， 在中，． ， ， ， ， ． 24. 阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： （1）当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； （2）若，且x，m，n均为正整数，求x的值； （3）①填空：______； ②化简：． 【答案】（1）， （2）或 （3）① ② 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用． （1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可； （2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可； （3）①根据完全平方公式进行求解即可； ②根据完全平方公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∴，， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 此时，； 当时，； 此时，； ∴或； 【小问3详解】 解：①； ② ． 25. 问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明． （1）尝试证明：请参照小慧的思路，利用图2证明； （2）基础训练：如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的E点处．若，，求的长； （3）拓展升华：如图4，中，，，，的中垂线交延长线于点，当时，求的长． 【答案】（1） 证明：， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） （3）6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，，再根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先根据折叠的性质可得，，再根据（1）的结论可得，从而可得，然后利用勾股定理求出，由此即可得； （3）先根据（1）的结论可得，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处， ∴，， 由（1）可知，， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：∵，即是的角平分线， ∴由（1）可得：， ∵，，， ∴， ∴， ∵的中垂线交延长线于， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期12月八年级数学学科学习成果展示题 一、选择题（共10小题） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 3. 用配方法解方程时，将其配方成的形式，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 2 4. 如图，在平行四边形中，下列结论不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 11 6. 如图，在等边中，点、分别在边、上，且，，，则的边长为（ ） A. B. C. D. 7. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，若，四边形的面积是100，则四边形的面积是（ ） A. 4 B. 16 C. D. 9. 如图，四边形为平行四边形，，，相交于点．设和的面积分别为，，则（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 4：9 D. 1：4 10. 如图，正方形的边长为4，点分别在边上，且平分，连接，分别交于点是线段上的一个动点，过点作，垂足为，连接．有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③④ C. ①③ D. ①③④ 二、填空题（共5小题） 11. 若分式有意义，则x的取值范围是_________． 12. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为______． 13. 如图，在宽为、长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分铺上草坪．要使草坪的面积为，则道路的宽为_____m． 14. 两个相似三角形面积比是，其中一个三角形的周长为，则另一个三角形的周长是_______． 15. 如图，在中，是的中点，且，则的面积为________． 三、解答题（共10小题） 16. 计算．． 17. 计算．； 18. 嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：……① ，，，…………………② …………③ 方程无实数根．……………④ （1）嘉嘉解方程的方法是___________，他的求解过程从第_______步开始出现错误； （2）请你写出这个方程正确的解题步骤． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为，求k的值及方程的另一个根． 20. 如图，点分别是的边上的点，． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 22. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 23. 如图，在正方形中，对角线交于点O，E、F分别在上，，连接的延长线交于点G． （1）垂直吗？说明理由； （2）若正方形的边长为，，求的长． 24. 阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： （1）当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； （2）若，且x，m，n均为正整数，求x的值； （3）①填空：______； ②化简：． 25. 问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证．小慧的证明思路是：如图2，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明． （1）尝试证明：请参照小慧的思路，利用图2证明； （2）基础训练：如图3，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的E点处．若，，求的长； （3）拓展升华：如图4，中，，，，的中垂线交延长线于点，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $