精品解析：广东省江门市第二中学2026届高三上学期12月月考数学试题

江门二中2025-2026学年第一学期12月考试高三年级 数学试题 命题人：伍松启 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 的实部为（ ） A. B. C. 1 D. 5 2. 设全集，集合，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 4 C. 5 D. 8 3. “一元二次方程有实数根”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 7. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6，3a4，－a5成等差数列，则＝（ ） A. 3 B. 9 C. 10 D. 13 8. 若实数满足，则的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 10. 过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 11. 已知的面积为，若，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若直线是曲线的切线，则_____. 13. 若一个等比数列的各项均为正数，且前6项和为4，前12项和为260，则该等比数列的公比为_____. 14. 若函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 16. 数列中，． （1）证明：是等差数列； （2）设，求． 17. 如图所示的四棱锥中，平面，，. （1）证明：平面平面； （2），，，上一点是的外心，求直线与直线所成角的余弦值. 18. 记的内角、、的对边分别为、、.已知. （1）证明：； （2）若，，求的面积. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门二中2025-2026学年第一学期12月考试高三年级 数学试题 命题人：伍松启 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 的实部为（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】借助复数运算法则计算后即可得. 【详解】，其实部为. 故选：B. 2. 设全集，集合，则中元素个数为（ ） A. 0 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先求全集中的元素，再求集合中的补集，进而求出元素个数. 【详解】因为，所以， 又因为集合，所以，，所以的元素个数为4. 故选：B. 3. “一元二次方程有实数根”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充要条件的判断结合一元二次方程的根的情况可判断. 【详解】若一元二次方程有实数根，则； 当时，为一元二次方程，且时，有两个实数根. 故选：C. 4. 若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正切函数的对称中心的结论列式求解即可. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是. 故选：A 5. 设是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据偶函数及周期性得出，再应用分段函数解析式计算求解. 【详解】因为是定义在上且周期为2的偶函数， 则，又因为当时，， 所以. 故选：D. 6. 帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A. 轻风 B. 微风 C. 和风 D. 劲风 【答案】A 【解析】 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ， ∴由表得，真风风速为轻风， 故选：A. 7. 已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6，3a4，－a5成等差数列，则＝（ ） A. 3 B. 9 C. 10 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可得6a4＝a4(q2－q)，解得q＝3，所求＝，将q＝3代入，可得结果. 【详解】设等比数列{an}的公比为q，因为a6，3a4，－a5成等差数列， 所以6a4＝a6－a5，所以6a4＝a4(q2－q).由题意得a4>0，q>0. 所以q2－q－6＝0，解得q＝3，所以＝＝1＋q2＝10. 故选：C 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的性质的应用，属于基础题. 8. 若实数满足，则的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过化简可得，，，利用数形结合思想，将题意转化为函数，，的图象与直线的交点纵坐标，由图象即可得结果. 【详解】设，所以，， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数，，的图象， 方程的根分别是函数，，的图象与直线的交点纵坐标， 如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，， 故选：ACD． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BD 【解析】 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 10. 过轴上一点作曲线的切线，若这样的切线不存在，则整数的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先设曲线上一点，根据导数的几何意义，求曲线在该点处的切线方程，再由切线过点，得到关于的方程，由该方程无解求的取值范围，即可进行判断. 【详解】设曲线上一点， 因为，所以. 所以曲线在处切线的斜率为. 所以曲线在处切线方程为. 由切线过点，得， 整理得：. 由该方程无解，得， 即，解得. 故选：BC 11. 已知的面积为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由二倍角公式结合题设可判断选项正误；对于C，由A分析可得，结合余弦定理可得，然后利用反证法可得，，据此可判断选项正误；对于BD，由C分析可得，然后由可得，，据此可判断选项正误． 【详解】对于A，由二倍角公式， ， 则，故A正确； 对于C，由A分析可得，下证. 因，则. 则，. 从而，由正弦定理边角互化可得. 若，则. 注意到，，则， 又三角形中至多1个钝角，则，均为锐角. 又，正弦函数在上单调递增， 则，. 从而，这与矛盾. 故.从而，,,， . 则，易得，不妨设，则. 从而，故C错误. 对于BD，因，则， 从而，则， 则，. 从而，故B错误，D正确. 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若直线是曲线的切线，则_____. 【答案】3 【解析】 【分析】先根据切线斜率为3，结合导数的几何意义，求出切点横坐标，再根据切点在直线上，求出切点纵坐标，再根据切点在曲线上求的值. 【详解】因为，所以. 由， 由，所以切点为. 由. 故答案为：3 13. 若一个等比数列的各项均为正数，且前6项和为4，前12项和为260，则该等比数列的公比为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】设等比数列为，公比为q，前n项和为，由题可得，据此可得答案. 【详解】设等比数列为，公比为q，前n项和为，则，. 则，又 从而，又数列的各项均为正数，则. 故答案为：2 14. 若函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】化简解析式，求得的取值范围，根据三角函数对称轴和对称中心的知识列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由题意，函数， 因为，可得， 要使得函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心， 则满足，解得，所以的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若的面积为，求c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可； （2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16. 数列中，． （1）证明：是等差数列； （2）设，求． 【答案】（1） 证明：由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 所以 17. 如图所示的四棱锥中，平面，，. （1）证明：平面平面； （2），，，上一点是的外心，求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1）证明: 平面，平面，平面， ，． ，，且平面， 平面． 平面， 平面平面． （2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，设点坐标，利用求得点坐标，进而写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知：，，， 以为原点，直线、、方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 则有，，，，， 由上一点是的外心，设，由题意， ， 解得，即． 从而，． 设直线与直线所成角为． 则， 即直线与直线所成角的余弦值为． 18. 记的内角、、的对边分别为、、.已知. （1）证明：； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）因为，则， 即， 由正弦定理可得 ， 因此，. （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换结合正弦定理化简可证得结论成立； （2）利用平面向量数量积的定义可得出，结合余弦定理以及可求得、的值，由此可求得的面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，由正弦定理可得， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，，可得， 即，所以，，则，， 所以，，则为锐角，且， 因此，. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若存在两个极值点，证明：． 【答案】 （1）若，在单调递减. （ii）若，在单调递减，在单调递增. （2）［方法一］：【通性通法】消元 由（1）知，存在两个极值点当且仅当. 由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于 ， 所以等价于. 设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，，所以，即. ［方法二］：【通性通法】消元 由（1）知且是方程的两根，不妨设，即．此时． 欲证不等式成立，只需证． 因为，所以，只需证． 令， 所以，在区间内单调递减，且，所以，即证． ［方法三］：硬算 因为， 所以有两个相异的正根（不妨设）． 则且即． 所以． 而，，所以． 设，则． 所以在上递减，，问题得证． ［方法四］：【最优解】对数平均不等式的应用 由（1）知，存在两个极值点当且仅当． 由于的两个极值点满足，所以．不妨设，则．由于． 令， ，则， 所以在上单调递减，所以，即， 所以，则， 所以，即． 故． 【解析】 【分析】（1）首先确定函数的定义域，函数求导，再对进行分类讨论，从而确定出导数在相应区间上的符号，即可求得函数的单调区间； （2）方法一：根据存在两个极值点，结合第一问的结论，可以确定，令，得到两个极值点是方程的两个不等的正实根，利用韦达定理将其转换，构造新函数证得结果. 【详解】（1）的定义域为，. （i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减. （ii）若，令得，或. 当时，； 当时，.所以在单调递减，在单调递增. （2）略 【整体点评】（2）方法一：根据消元思想，先找到极值点之间的关系，再消元转化为一个未知元的不等式恒成立问题，属于通性通法； 方法二：同方法一，只是消元字母不一样； 方法三：直接硬算出极值点，然后代入求证，计算稍显复杂； 方法四：根据式子形式利用对数平均不等式放缩，证明简洁，是该题的最优解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $