2.1 认识无理数（第 1 课时）教学设计 2026-2027 学年北师大版数学八年级上册

2.1 认识无理数（第1课时）教学设计 （2026—2027学年北师大版数学八年级上册 第二章 实数） 一、课程基本信息 项目 内容 课题 2.1 认识无理数（第1课时） 学科 数学 年级 八年级上册 教材版本 北师大版（2024新版） 章节 第二章 实数 → 2.1 认识无理数（第1课时） 课型 新授课 课时安排 1课时（45分钟） 授课对象 八年级学生 二、教材分析 “认识无理数”是北师大版八年级上册第二章《实数》的起始内容，是学生在学习了有理数和勾股定理之后，数系的第一次重要扩充。从知识体系来看，学生此前认识的数主要是有理数（整数和分数），本节课通过拼图活动和勾股定理的应用，让学生发现客观世界中还存在着不是有理数的数，从而引入无理数的概念，为后续学习平方根、立方根、实数等内容奠定基础。 教材编排以“活动探究”为核心：先通过两个边长为1的小正方形拼大正方形的操作活动，引导学生发现a²=2中的a既不是整数也不是分数；再借助勾股定理，让学生进一步发现b²=5中的b也不是有理数；最后通过计算器估算，让学生直观感受这些数是无限不循环小数，从而建立无理数的初步概念。 本节课是数系扩充的关键一课，不仅承担着引入新概念的任务，更重要的是让学生经历“发现问题—产生认知冲突—探究解决—建立新概念”的完整过程，培养学生的探究精神和理性思维。 三、学情分析 （一）已有知识基础 八年级学生已经系统学习了有理数的概念和分类，掌握了勾股定理的基本应用，具备了一定的动手操作能力和逻辑推理能力。这些知识和能力为本节课的拼图探究、勾股定理应用和判断有理数等活动奠定了基础。 （二）认知难点分析 学生的主要困难在于：一是思维定势的突破，学生长期以来接触的数都是有理数，很难想象“还有不是有理数的数”；二是抽象概念的建立，无理数是无限不循环小数，这个特点非常抽象，学生难以直观理解；三是判断说理，学生知道a不是整数、不是分数，但要用严谨的语言说出理由存在困难。 （三）学习特点 八年级学生好奇心强，喜欢动手操作和探究活动，对直观、具体的事物更容易理解。教学中应充分利用拼图活动和计算器估算，让学生在“做数学”的过程中感受无理数的存在，而不是被动接受概念。 四、素养目标 （一）抽象能力与数感 1. 通过拼图活动和勾股定理应用，经历“发现新数—判断不是有理数—建立无理数概念”的抽象过程，感受数系扩充的必要性。 2. 能判断一个数是否为有理数（通过是否为整数或分数进行说理），发展数感和抽象概括能力。 （二）运算能力与推理意识 1. 经历用计算器逐步估算a²=2中a的近似值的过程，体会无限逼近的数学思想，发展运算能力和估算意识。 2. 在判断“a不是整数”“a不是分数”的说理过程中，培养逻辑推理能力和严谨的表达习惯。 （三）几何直观与应用意识 1. 通过拼图操作和图形观察，借助几何直观理解无理数的存在，体会数形结合的思想方法。 2. 能运用勾股定理找出长度不是有理数的线段，感受数学与现实生活的密切联系，发展应用意识。 五、教学重难点 教学重点：通过拼图活动感受无理数产生的实际背景，能判断一个数是否为有理数，初步建立无理数的概念。 教学难点：理解无理数是无限不循环小数的特点；能对“一个数不是有理数”进行有条理的说理。 六、教学准备 1. 多媒体课件（PPT），包含拼图动画、例题演示、课堂练习题。 2. 学具准备：每两人一组，准备两个边长为1的正方形纸片、剪刀。 3. 计算器（学生自备或教师统一发放）。 七、教学过程 教学环节与时间 教师活动 学生活动 设计意图 环节一 复习回顾 导入新课 （约5分钟） 【复习提问】 1. 什么是有理数？ 2. 有理数可以怎样分类？ 预设回答： 整数和分数统称有理数。 整数：正整数、0、负整数 分数：正分数、负分数 【提出问题】 我们学过的数都是有理数，那有没有不是有理数的数呢？今天我们就来一起探究。 回忆有理数的概念和分类，集体回答问题。 思考教师提出的新问题，产生探究兴趣。 温故知新，通过复习有理数概念为后续对比学习做铺垫。设置认知冲突，激发学生探究“新数”的欲望。 环节二 拼图活动 探究新知 （约15分钟） 【活动1：拼一拼】 出示两个边长为1的小正方形。 任务：剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形。 巡视指导，组织学生展示不同拼法。 【问题串引导】 （1）设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ 引导：大正方形面积=两个小正方形面积之和=2 ∴ a² = 2 （2）a可能是整数吗？说说你的理由。 引导：1²=1，2²=4， ∵ 1 < a² < 4，∴ 1 < a < 2 ∴ a不是整数 （3）a可能是分数吗？ 引导：两个相同最简分数相乘，积还是分数， 而a²=2是整数， ∴ a不是分数 【归纳】a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数。 图1 两个边长为1的小正方形拼成大正方形 两人一组动手拼图，尝试不同剪拼方法。 观察拼成的大正方形，思考边长a满足的条件。 讨论交流： 从大小范围判断a不是整数； 从分数乘积特点判断a不是分数。 记录结论：a不是有理数。 通过动手操作，让学生亲身经历“发现新数”的过程。问题串层层递进，引导学生从感性体验上升到理性思考，理解为什么a不是有理数。培养动手能力和逻辑推理能力。 环节三 做一做 再探新数 （约10分钟） 【活动2：做一做】 出示直角三角形：两条直角边分别为1和2。 问题： （1）以斜边为边的正方形面积是多少？ 引导：由勾股定理，斜边² = 1²+2² = 5 ∴ 正方形面积 = 5 （2）设正方形边长为b，b满足什么条件？ ∴ b² = 5 （3）b是有理数吗？ 引导：2²=4，3²=9 ∵ 4 < b² < 9，∴ 2 < b < 3 ∴ b不是整数； 两个相同分数相乘还是分数，b²=5是整数 ∴ b不是分数 ∴ b也不是有理数 【小结】a²=2，b²=5，这样的数确实存在，但都不是有理数。 图2 以直角三角形斜边为边的正方形 观察图形，运用勾股定理计算斜边的平方。 类比前面判断a不是有理数的方法，自己尝试判断b是不是有理数。 小组交流，分享判断思路。 通过第二个实例（勾股定理应用），让学生进一步感受客观世界中确实存在不是有理数的数。类比迁移，培养学生用已有方法解决新问题的能力。 环节四 估算探索 认识特征 （约8分钟） 【活动3：估一估】 问题：面积为2的正方形边长a究竟是多少？ 引导用计算器逐步估算： 1 < a < 2 1.4 < a < 1.5（1.4²=1.96，1.5²=2.25） 1.41 < a < 1.42（1.41²=1.9881，1.42²=2.0164） 1.414 < a < 1.415 1.4142 < a < 1.4143 …… 【思考】还能继续算下去吗？a会不会是有限小数？ 【归纳】 a = 1.41421356…，是无限不循环小数。 b = 2.23606797…，也是无限不循环小数。 【引出概念】 无限不循环小数叫做无理数。 （如π=3.14159265…也是无理数） 用计算器逐步计算，填写估算表格。 观察发现：a的位数可以无限延伸，而且没有循环规律。 理解无理数的特点：无限、不循环。 通过计算器估算，让学生直观感受无理数“无限不循环”的特点。体会无限逼近的数学思想。从具体实例抽象出无理数的概念，符合从特殊到一般的认知规律。 环节五 例题精讲 巩固新知 （约5分钟） 【例1】等边三角形ABC边长为2，高为h。 h可能是整数吗？可能是分数吗？ 分析： 等边三角形三线合一，BD=DC=1 在Rt△ABD中，由勾股定理： h² = AB² - BD² = 2² - 1² = 3 判断： ∵ 1²=1，2²=4， ∴ 1 < h < 2，h不是整数 ∵ 两个相同分数相乘还是分数， 而h²=3是整数， ∴ h不是分数 ∴ h不是有理数 【课堂练习】 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. π D. 0 2. 面积为8的正方形，边长是有理数吗？ 3. 长和宽分别为4和3的长方形，对角线长是有理数吗？ 【参考答案】例1：h²=3，h既不是整数也不是分数，不是有理数 课堂练习： 1. C（π是无限不循环小数） 2. 不是有理数。边长²=8，2²=4，3²=9，2<边长<3，不是整数；分数乘积还是分数，8是整数，不是分数。 3. 对角线²=4²+3²=25，对角线=5，是有理数（整数）。 图3 等边三角形ABC，边长为2，高为h 跟随教师分析思路，理解例题的解题步骤。 独立完成课堂练习，同桌互相检查。 通过例题规范解题思路，让学生掌握“用勾股定理求边长平方→判断是否为整数/分数→得出是否为有理数”的判断方法。课堂练习及时巩固。 环节六 课堂小结 布置作业 （约2分钟） 【课堂小结】 引导回顾： 1. 今天我们发现了什么新数？ 2. 什么样的数不是有理数？ 3. 无理数有什么特点？ 【布置作业】 必做题：教材习题2.1 第1、2题 选做题： 1. 举两个无理数的例子。 2. 边长为的正方形，面积是多少？它是有理数吗？ 学生自主总结本节课所学内容。 记录作业。 梳理知识体系，加深印象。分层作业满足不同学生需求。 八、板书设计 2.1 认识无理数（第1课时） 一、回顾：有理数 = 整数 + 分数 二、探究活动 活动1：拼图 → a²=2，a既不是整数也不是分数 活动2：勾股定理 → b²=5，b也不是有理数 三、估算发现 a = 1.41421356…（无限不循环小数） b = 2.23606797…（无限不循环小数） 四、无理数定义： 无限不循环小数叫做无理数 举例：π = 3.14159265… 九、作业设计说明 本课时作业采用分层设计：必做题面向全体学生，巩固本节课核心知识（判断一个数是否为有理数）；选做题面向学有余力的学生，引导学生主动寻找无理数的例子，深化对无理数概念的理解。作业量适中，注重思维训练而非机械重复。 十、教学反思 1. 本节课以拼图活动为核心，让学生在动手操作中发现“新数”，符合学生的认知特点。教学中应给学生充分的动手时间，不要急于给出结论，让学生真正经历探究过程。 2. 判断“a不是分数”是本节课的难点。学生理解起来有困难，教学中要通过具体例子（如2 = ，2 = ）让学生直观感受“两个相同分数相乘还是分数”，而不是抽象地讲道理。 3. 计算器估算环节要让学生亲自动手，感受位数不断增加、但永远算不到头的过程，这样才能真正理解“无限不循环”的含义。如果只是教师演示，学生体会会不深。 4. 本节课是数系扩充的起始课，要注意把握好度：第1课时重点是感受无理数的存在和初步认识，不要在第1课时就深入讲无理数的分类、实数的完整分类等内容，避免超纲。 5. 应关注学生的思维误区：学生容易误认为“带根号的数就是无理数”，本节课虽然不要求深入，但可以适当渗透反例（如√4=2是有理数），为后续学习埋下伏笔。 学科网（北京）股份有限公司 $