专题04平方根与立方根知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版八年级数学上册

专题04平方根与立方根知题通关讲义 知识点01：平方根 1. 算术平方根 定义：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x叫做a的算术平方根。 符号：记作，读作 “根号a”，a称为被开方数。 特殊规定：0 的算术平方根是 0，即=0。 双重非负性（核心考点） ① 被开方数非负：a0，负数没有算术平方根，无意义； ② 算术平方根结果非负：0。 基础公式 2. 平方根 定义：若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫做a的平方根（二次方根）。 符号：，读作 “正负根号a”。 平方根的性质 正数有两个平方根，互为相反数；例：16的平方根是； 0 只有一个平方根，就是 0 本身； 负数没有平方根。 3. 平方根与算术平方根区别与联系 知识点02:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 知识点03：立方根 1. 立方根定义 若x3=a，则x叫做a的立方根（三次方根），记作，读作 “三次根号a”。 2. 立方根核心性质 （1）任意实数都有唯一立方根，正数、0、负数都能开立方； （2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0； （3）重要公式：=-，可把负号提到根号外； （4）恒等式： 3.开立方 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 知识点04:立方根与平方根的区别 知识点05：开平方与开立方的区别. 1. 混淆平方根与算术平方根概念 提醒：正数存在两个互为相反数的平方根；算术平方根仅为正数的非负平方根，具有唯一性、非负性。 2. 误解根号符号的数学含义 提醒：专指非负算术平方根；才表示一个正数的全部平方根。 3. 求解正数平方根，遗漏负平方根 提醒：正数的平方根为一正一负成对出现，不可只书写正根。 4. 忽视平方根的被开方数取值限制 提醒：平方根运算中，被开方数必须为非负数，负数无平方根。 5. 错误化简平方开根式 提醒：=|a|，运算结果恒为非负数，不可直接化简为 a。 6. 出现负的算术平方根结果 提醒：算术平方根的运算结果大于等于0，不存在负值。 7. 混淆平方根与立方根的符号规则 提醒：正数立方根为正，负数立方根为负，0的立方根为0；负数仅有立方根、无平方根。 8. 认为一个数的立方根有两个结果 提醒：任意实数有且仅有唯一一个立方根。 9. 立方根负号变形运算出错 提醒：立方根运算可直接移出负号，满足 =-。 10. 混淆开平方、开立方的结果个数 提醒：正数开平方有两个结果；所有实数开立方，仅有唯一一个结果。 11. 带分数开方未统一分数格式 提醒：带分数需先化为假分数，再进行开平方、开立方运算。 12. 不同根指数根式直接比较被开方数大小 提醒：根指数不同时，无法直接对比被开方数，需统一形式后再比较。 题型 考察方向 难度 题型一 求一个数的算术平方根 ★ 题型二 利用算术平方根的非负性解题 ★★ 题型三 估计算术平方根的取值范围 ★★ 题型四 无理数整数部分的有关计算 ★★ 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 ★★★ 题型六 算术平方根的实际应用 ★★ 题型七 平方根概念理解 ★ 题型八 求一个数的平方根 ★ 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 ★★ 题型十 利用平方根解方程 ★★ 题型十一 立方根概念理解 ★ 题型十二 求一个数的立方根 ★ 题型十三 已知一个数的立方根，求这个数 ★★ 题型十四 与立方根有关的规律探索 ★★★ 题型十五 立方根的实际应用 ★★ 题型十六 算术平方根和立方根的综合应用 ★★★ 题型十七 程序设计与实数运算 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 求一个数的算术平方根 1．计算：___________． 【答案】4 【详解】解：． 2．计算：________． 【答案】 【详解】解：． 3．面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积得到的长，进而得到的长，再用点表示的数加上的长即可得到点表示的数． 【详解】解：∵正方形的面积为7， ∴， ∵以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点， ∴， ∵点表示的数为， ∴点所表示的数为 ． 4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 【答案】 【分析】根据数轴可知，，根据非负数的性质计算即可． 【详解】解：观察数轴可知：，， ∴， ∴ ． 题型二 利用算术平方根的非负性解题 5．若实数a，b满足，则的值是________． 【答案】1 【分析】根据非负数的性质可得，，据此代值计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用非负数的性质求出a，b的值，代入计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴． 7．已知，______，的值为______． 【答案】 【分析】利用非负数的性质求出与的值，代入原式拆项变形，再计算即可求出值． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴ ． 8．已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先利用三角形三边关系化简等式右侧，再根据平方和算术平方根的非负性求出，的值，最后分情况讨论等腰三角形的周长，验证三边关系后得到结果． 【详解】解：，，是三角形的三边长， ，， ，， 等式右侧为：， 可得：， 整理得：， ，， ，， 解得：，， ①当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， ②当腰长为，底边长为时， ，符合三角形三边关系， 三角形的周长为， 综上，等腰三角形的周长为或． 题型三 估计算术平方根的取值范围 9．若n为整数，，则n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】通过找到与50相邻的两个完全平方数，即可确定的范围，进而求出整数的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∵为整数，且满足 ， ∴． 10．与的输出结果最接近的整数是_______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用计算器进行二次根式的运算，解题的关键是掌握计算器的用法． 利用计算器进行二次根式的计算，然后进行求解即可． 【详解】 解：即， 结合计算器计算，得， 故最接近的整数是， 故答案为：． 11．黄金分割数是一个具有特殊美学意义和广泛应用的无理数，它的近似值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 先求得，，进一步计算即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 题型四 无理数整数部分的有关计算 12．设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查与无理数的整数部分有关的计算，二次根式的混合运算，夹逼法求出的范围，进而求出的值，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 13．通过《实数》一章的学习，我们知道，是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，聪明的小玉认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（   ） A．m，n均为有理数 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数在数轴上的表示、无理数的整数部分与小数部分的确定以及数的大小比较．熟练掌握实数在数轴上的表示、无理数的整数部分与小数部分的确定以及数的大小比较是解题的关键． 首先根据点在数轴上的位置确定其整数部分和小数部分，然后再分别对各个选项进行分析判断． 【详解】解：由数轴可知，点在4和5之间。因为其整数部分为，小数部分为，所以， 又因为一个数等于它的整数部分加上小数部分，那么，即是点所表示的数减去4，所以是一个大于0小于1的无理数． A：由前面可知是有理数，是无理数，所以m，n不都是有理数，故该选项错误； B：已知，那么，所以是错误的，故该选项错误； C：因为，，那么，所以，故该选项错误； D：因为，，那么，故该选项正确； 故选：D． 14．已知的一个平方根是5，的立方根是2，c是的整数部分，则的平方根是________． 【答案】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，掌握这些知识点是解题的关键． 根据平方根及立方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定，将其代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】解：的一个平方根是5， ， 解得：． 的立方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ， ， 的平方根为． 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 15．已知，，可得的值大约是（     ） A．22.36 B．70.71 C．223.6 D．707.1 【答案】A 【分析】根据被开方数的小数点向右移动两位，其算术平 方根的小数点就向右移动一位解答即可． 【详解】解：， ∴． 16．有这样一列数他们分别是，，，，，，按照此规律，第个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了数字变化规律，正确得出变化规律是解题的关键． 根据，，，，，，则第个数是，从而求解． 【详解】解：∵，，，，，， ∴第个数是， 故选：． 17．课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，……线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，则_______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求得、、，观察归纳得，即可求解． 【详解】解：∵是直角三角形，，， ∴； ∵是直角三角形，，， ∴； ∵是直角三角形，，， ∴； ⋯， ∴， ∴． 题型六 算术平方根的实际应用 18．2026年1月1日新施行的《中华人民共和国治安管理处罚法》首次将“高空抛物”列为单独的治安违法行为，明确了处罚标准，只要高空抛物危害公共安全，无论是否造成后果都将依法处罚．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响），那么物体从的高空落到地面的时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时， ． 19．如图，由内到外依次为正方形，若的面积为3，的面积为，则的边长可以是整数______．（写出一个答案即可） 【答案】2或3或4 【分析】理解题意得出的边长的取值范围是解题关键．根据题意得出的边长，即可求解． 【详解】解：∵的面积为3，的面积为， ∴的边长为，的边长为， ∴的边长， ∵的边长可以是整数， ∴的边长可以是整数，，． 20．如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线（图中虚线）剪开，得到4个完全一样的直角三角形，将这4个直角三角形拼成一个大正方形，估计这个大正方形的边长应在（     ） A．0和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和1.5之间 D．1.5和2之间 【答案】C 【分析】计算出大正方形的面积，从而得出大正方形的边长，再进一步估算即可． 【详解】解：∵两个小正方形的面积都为1， ∴大正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为， ∵， ∴． 题型七 平方根概念理解 21．的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 的平方根是． 22．若一个正数的平方根是和，则这个正数是_________． 【答案】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出的值，再代入求出一个平方根，进而根据平方根求出这个正数即可． 【详解】解：∵一个正数的平方根是和， ∴， 解得， ∴， ∴这个正数是． 23．下列说法正确的是（） A．的平方根是 B．任何数的平方都是非负数，因而任何数的平方根也是非负数 C．任何一个非负数的平方根都不大于这个数 D．平方根等于本身的数只有0 【答案】D 【分析】本题考查平方根的基本概念．根据平方根的定义，负数没有平方根，平方根包括正负两个值，非负数的平方根可能大于本身，只有的平方根等于本身． 【详解】解：∵负数没有平方根，∴A错误； ∵平方根可以是负数（如的平方根为），∴B错误； ∵非负数的平方根可能大于本身（如的一个平方根为，），∴C错误； ∵平方根等于本身的数只有，∴D正确． 故选：D． 题型八 求一个数的平方根 24．16的平方根是（     ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【详解】解：∵， ∴16的平方根是． 25．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．原式，该项错误； B．原式，该项错误； C．原式，该项错误； D．原式，该项正确． 26．已知实数，满足，则的平方根是______． 【答案】 【分析】本题考查配方，完全平方公式；通过配方将方程转化为两个完全平方和的形式，利用非负性求出m和n的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 27．某正数的平方根是和，则这个数为________． 【答案】4 【分析】根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出的值，再根据平方根的定义计算得到这个正数即可． 【详解】解：由平方根的性质可知，正数的两个平方根互为相反数，因此， 解得， 将代入，得， 因此这个正数为． 28．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．49 B． C． D．4 【答案】A 【分析】一个正数的两个平方根互为相反数，利用该性质列方程求出的值，再计算得到这个正数即可． 【详解】解：∵该正数的两个平方根为和， ，解得． 将代入得其中一个平方根为， 这个正数为． 29．和是某个正数的两个平方根，则这个正数是______． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义． 一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此列出方程求解a的值，再求这个正数． 【详解】解：根据题意，和是一个正数的两个平方根， 所以， 整理得， 解得， 则， 所以这个正数是． 故答案为：． 题型十 利用平方根解方程 30．若，则的值为（　　） A． B．0 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平方根，关键是掌握 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 根据平方根的性质求解即可． 【详解】∵ ∴． 故选：D． 31．已知小数部分是m， 小数部分是n，且，则_________． 【答案】2或0 【分析】本题考查了无理数的有关运算； 根据的取值范围得出，，再根据平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∴， ∴， ∴或0， 故答案为：2或0． 32．已知实数满足，则的值为_____． 【答案】9 【分析】本题考查了平方差公式、利用平方根解方程，熟练掌握利用平方根解方程是解题关键．设，则可得，利用平方根解方程可得或，再根据即可得． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴，即， 解得或， 又∵， ∴， 即， 故答案为：9． 题型十一 立方根概念理解 33．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根的定义．如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作． 根据计算即可． 【详解】， 故答案为：． 34．下列说法正确的是（     ） A．正数有两个互为相反数的立方根 B．负数没有立方根 C．一个数的立方根的符号与这个数的符号相同 D．的立方根是 【答案】C 【详解】解：根据立方根的定义：若，则是的立方根， 任何实数都只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数， A选项，正数只有一个正的立方根，故A错误； B选项，负数有一个负的立方根，故B错误； C选项，正数的立方根为正，负数的立方根为负，的立方根为， 因此一个数的立方根的符号与这个数的符号相同，故C正确； D选项，的立方根只有一个，故D错误． 35．已知与互为相反数，则的值是__________． 【答案】5 【分析】本题考查实数的性质，立方根的性质，先根据两个立方根互为相反数，得到被开方数互为相反数，求出的值，整体代入代数式进行求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴和互为相反数， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 题型十二 求一个数的立方根 36．计算：______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 37．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．2与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：，，，故A，B，C选项中的两数均相等，不是相反数； D选项中，，两数互为相反数. 38．已知a是的整数部分，b是的小数部分，则a的值是_______；的立方根是_______． 【答案】 5 4 【分析】先估算无理数的取值范围，确定其整数部分，再得到其小数部分，将，代入所求代数式计算结果，最后求出结果的立方根，即可解题． 【详解】解： ， ，即， 的整数部分，小数部分 ， 将， 代入得： ， ， 的立方根是． 39．设、为实数，且，则的立方根是______． 【答案】2 【分析】先根据算术平方根的定义求出x、y的值，然后根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，得，， 解得， ∴， ∴， ∴的立方根是． 题型十三 已知一个数的立方根，求这个数 40．若，则（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的概念，熟练掌握立方根的概念是解决本题的关键． 根据立方根的概念，若三次根号下的数等于1，则该数为1的三次方，由此可解． 【详解】解：∵， ∴ 故选：A ． 41．已知某个正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，则的算术平方根是（   ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数可以求得a的值，根据b的立方根是，可以求得b的值，从而可以求得的算术平方根． 【详解】解：∵某个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∵b的立方根是， ∴， ∴， ∴的算术平方根是2． 故选：B． 42．已知，且与互为相反数，则y的值为______． 【答案】4或或5 【分析】根据题意可得，根据立方根是它本身的数有和0得到或或，据此求出x的值，进而求出的值，根据题意可得到，即，据此建立方程求解即可． 【详解】解：， ， 或或， 或或， 或或． 与互为相反数， ， ， 或或， 或或 ． 题型十四 与立方根有关的规律探索 43．我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为59319的个位上的数是9，在0到9的整数中，只有9的立方的个位上的数是9； 第三步：确定十位数字，划去59319后面的三位319得到59，因为，．而，所以的十位上的数字是3． 综合以上可得， 根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴只需先求的立方根； 第一步，确定位数： ∵ ， ，且 ， ∴，即是两位数； 第二步，确定个位数字： ∵的个位数字是，中只有的立方的个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步，确定十位数字： 划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 44．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是59319，求这个正整数．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚迅速求出立方根的过程如下： ①由，可以确定是两位数； ②由可知，的十位上的数字是3； ③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，所以确定的个位上的数字是9，所以． 请你根据上述步骤求出74088的立方根是___． 【答案】42 【分析】本题考查立方根，理解题干中的解题方法是解题的关键．根据题干中求立方根的方法和步骤，推理出相应的结果即可． 【详解】解：设74088的立方根是， ， ∴可以确定是两位数， ， ∴的十位数字是4， ∵至9的立方中，个位数字为8的只有2的立方， ∴确定的个位数字是2，即． 故答案为：42 ． 45．我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴排除选项、， 接下来求的立方根： 第一步：确定位数，∵，，且 ， ∴，即是两位数； 第二步：确定个位数字，∵的个位数字是，只有的立方个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步：确定十位数字，划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 题型十五 立方根的实际应用 46．如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的应用，先求出一个小立方体的体积，再求出棱长即可． 【详解】解：一个小正方体的体积为：， 所以，小立方体的棱长为， 故选：B． 47．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 48．如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的应用，设一种球形容器的半径为，另一种球形容器的半径为，根据球的体积计算公式分别计算出和，然后相减即可得出答案． 【详解】解：设一种球形容器的半径为，则，解得： 另一种球形容器的半径为，则，解得： 则这两种容器的半径差为：， 故选：A 题型十六 算术平方根和立方根的综合应用 49．下列计算，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用立方根以及算术平方根的定义计算得出答案． 【详解】A、正确，不符合题意； B、正确，不符合题意； C、计算错误，符合题意； D、正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了立方根以及算术平方根的定义，正确掌握相关性质是解题关键． 50．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键．先根据算术平方根求出，再根据立方根的性质即可得． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根为， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故选：C． 51．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 题型十七 程序设计与实数运算 52．如图是一个数值转换器，当输入的为时，输出的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数值转换器示意图可得输入的数值首先求算术平方根，算术平方根若是有理数，则对所得算术平方根继续求算术平方根，直到得到的结果是无理数，就是输出的的值． 【详解】解：∵的算术平方根是，是有理数， ∴取的算术平方根是，是无理数， ∴输出. 53．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为______． 【答案】0或1或负数 【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解． 根据最后都是无理数输出，可得的值为或或负数． 【详解】解：因为按照计算流程发现最后都是无理数输出，所以取或时该程序无法输出值， 因为负数没有算术平方根，所以取负数时该程序无法输出值， 故答案为：或或负数． 54．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，并结合流程图计算即可得出结果． 【详解】解：当输入的值是时，，为有理数，再取立方根为，为无理数， 故输出的值是． 解答题 1．解方程： (1) (2) 【答案】(1) ， (2) 【分析】（1）把方程的两边同时开方得到两个关于的一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出方程的解； （2）把方程两边同时开立方得到一个关于的一元一次方程，解一元一次方程即可求出方程的解． 【详解】（1）解：， 两边同时除以可得：， 两边同时开平方得：， 可得：或， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，； （2）解：， 移项得：， 两边同时开立方得：， 解得：， 方程的解为． 2．已知和是某正数的两个不同的平方根，的立方根为2． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)a的值为1，b的值为5 (2)3 【分析】（1）根据“一个正数的两个平方根互为相反数”得，根据立方根的定义得，继而得到关于的二元一次方程组，求解后可得答案； （2）根据（1）的结论可得的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：和是某正数m的两个不同的平方根，的立方根为2， ， 解得：， a的值为1，b的值为5． （2）解：根据（1）知， 则， 9的算术平方根为3， 的算术平方根为3． 3．已知，的立方根是． (1)求的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2)在实数范围内没有平方根 【分析】（1）根据算术平方根被开方数必须为非负数，列出不等式组求出的值，再代入代数式算出；利用立方根定义求出的立方根，建立等式解出； （2）将求得的的值代入代数式完成有理数运算，再依据平方根的定义求出结果的平方根． 【详解】（1）解：由题意得 解得：， 此时，，， ， ， 解得：； （2）解：， 根据平方根的性质：任何数的平方都不可能是负数，因此负数没有平方根， 在实数范围内没有平方根． 4．阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2)取无理数（答案不唯一），理由如下： ，，， ， ，的小数部分为， 的整数部分为，的小数部分为， 二者小数部分相等，符合要求． (3) 【分析】（1）通过平方数估算无理数取值范围，确定整数部分，用原数减去整数部分得到小数部分； （2）利用“无理数加整数后小数部分不变”构造同小数部分的无理数； （3）分别表示出两个代数式的小数部分再相加，最后计算和的平方根． 【详解】（1）解：，，， ， ， 的整数部分为， 的小数部分为； （2）略 （3）解：， ，， 的整数部分为，的整数部分为， ，， ， 的平方根为． 5．阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 【答案】(1)47 (2)，理由见解析 【分析】（1）先确定是两位数，分别依据材料内容确定个位上的数字和十位上的数字即可； （2）思路方法同（1）． 【详解】（1）解：因为，，且，所以是两位数； 因为103823的个位数字是3，所以的个位数字是7， 因为，，且， ∴的十位数字是4． 因此； （2）解：因为，， 所以是两位数； 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 的个位数字 0 1 4 9 6 5 6 9 4 1 由上表，因为7921的个位数字是1，所以的个位数字是1或9， 因为，即，所以的十位数字是8， 故的值可能是81或89， ∵，， ∴， 所以． 6．根据以下材料，探索完成任务： 寻找合适的礼品盒 素材1 母亲节将至，小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备送给妈妈来表达自己的爱意．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 素材2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）． 问题解决 (1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为________； (2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长； (3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能装下，理由： 圆柱形蛋糕的直径为， ， ，即， ， ， ，即， 这个礼品盒不能装下这块蛋糕． 【分析】（1）设圆柱形蛋糕的半径为，根据题意得，然后通过算术平方根的定义即可求解； （2）通过立方根的定义即可求解； （3）通过无理数的估算，实数比较大小即可求解． 【详解】（1）解：设圆柱形蛋糕的半径为， ， （负数舍去）， （2）解：， 答：这个正方体礼品盒的棱长为； （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04平方根与立方根知题通关讲义 知识点01：平方根 1. 算术平方根 定义：若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x叫做a的算术平方根。 符号：记作，读作 “根号a”，a称为被开方数。 特殊规定：0 的算术平方根是 0，即=0。 双重非负性（核心考点） ① 被开方数非负：a0，负数没有算术平方根，无意义； ② 算术平方根结果非负：0。 基础公式 2. 平方根 定义：若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫做a的平方根（二次方根）。 符号：，读作 “正负根号a”。 平方根的性质 正数有两个平方根，互为相反数；例：16的平方根是； 0 只有一个平方根，就是 0 本身； 负数没有平方根。 3. 平方根与算术平方根区别与联系 知识点02:开平方运算 1. 定义 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。 运算关系：开平方与平方互为逆运算。 2. 运算步骤 (1)先判断：确认被开方数 a 是正数、0 还是负数（负数不能运算）。 (2)找关系：找出哪个数的平方等于 a。 (3)写结果： 求平方根：写出 ±。 求算术平方根：写出 。 知识点03：立方根 1. 立方根定义 若x3=a，则x叫做a的立方根（三次方根），记作，读作 “三次根号a”。 2. 立方根核心性质 （1）任意实数都有唯一立方根，正数、0、负数都能开立方； （2）正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0； （3）重要公式：=-，可把负号提到根号外； （4）恒等式： 3.开立方 求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 知识点04:立方根与平方根的区别 知识点05：开平方与开立方的区别. 1. 混淆平方根与算术平方根概念 提醒：正数存在两个互为相反数的平方根；算术平方根仅为正数的非负平方根，具有唯一性、非负性。 2. 误解根号符号的数学含义 提醒：专指非负算术平方根；才表示一个正数的全部平方根。 3. 求解正数平方根，遗漏负平方根 提醒：正数的平方根为一正一负成对出现，不可只书写正根。 4. 忽视平方根的被开方数取值限制 提醒：平方根运算中，被开方数必须为非负数，负数无平方根。 5. 错误化简平方开根式 提醒：=|a|，运算结果恒为非负数，不可直接化简为 a。 6. 出现负的算术平方根结果 提醒：算术平方根的运算结果大于等于0，不存在负值。 7. 混淆平方根与立方根的符号规则 提醒：正数立方根为正，负数立方根为负，0的立方根为0；负数仅有立方根、无平方根。 8. 认为一个数的立方根有两个结果 提醒：任意实数有且仅有唯一一个立方根。 9. 立方根负号变形运算出错 提醒：立方根运算可直接移出负号，满足 =-。 10. 混淆开平方、开立方的结果个数 提醒：正数开平方有两个结果；所有实数开立方，仅有唯一一个结果。 11. 带分数开方未统一分数格式 提醒：带分数需先化为假分数，再进行开平方、开立方运算。 12. 不同根指数根式直接比较被开方数大小 提醒：根指数不同时，无法直接对比被开方数，需统一形式后再比较。 题型 考察方向 难度 题型一 求一个数的算术平方根 ★ 题型二 利用算术平方根的非负性解题 ★★ 题型三 估计算术平方根的取值范围 ★★ 题型四 无理数整数部分的有关计算 ★★ 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 ★★★ 题型六 算术平方根的实际应用 ★★ 题型七 平方根概念理解 ★ 题型八 求一个数的平方根 ★ 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 ★★ 题型十 利用平方根解方程 ★★ 题型十一 立方根概念理解 ★ 题型十二 求一个数的立方根 ★ 题型十三 已知一个数的立方根，求这个数 ★★ 题型十四 与立方根有关的规律探索 ★★★ 题型十五 立方根的实际应用 ★★ 题型十六 算术平方根和立方根的综合应用 ★★★ 题型十七 程序设计与实数运算 ★★★ 拔高题 6题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 求一个数的算术平方根 1．计算：___________． 2．计算：________． 3．面积为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以为圆心，长为半径画弧，交点右侧数轴于点，则点所表示的数为（     ） A． B． C． D． 4．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 题型二 利用算术平方根的非负性解题 5．若实数a，b满足，则的值是________． 6．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 7．已知，______，的值为______． 8．已知，，为三角形的三边长，且满足，则以，为边长的等腰三角形的周长为（     ） A． B． C． D．或 题型三 估计算术平方根的取值范围 9．若n为整数，，则n的值为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．与的输出结果最接近的整数是_______ ． 11．黄金分割数是一个具有特殊美学意义和广泛应用的无理数，它的近似值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四 无理数整数部分的有关计算 12．设的整数部分是，小数部分是，则的值是（    ） A． B． C． D． 13．通过《实数》一章的学习，我们知道，是一个无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，聪明的小玉认为的整数部分为1，所以减去其整数部分，差就是的小数部分，所以用来表示的小数部分，点A表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若其整数部分为m，小数部分为n，则下列关于m，n的说法正确的是（   ） A．m，n均为有理数 B． C． D． 14．已知的一个平方根是5，的立方根是2，c是的整数部分，则的平方根是________． 题型五 与算术平方根有关的规律探索题 15．已知，，可得的值大约是（     ） A．22.36 B．70.71 C．223.6 D．707.1 16．有这样一列数他们分别是，，，，，，按照此规律，第个数是（   ） A． B． C． D． 17．课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，……线段（如图所示）．”即：，过A作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；…以此类推，则_______． 题型六 算术平方根的实际应用 18．2026年1月1日新施行的《中华人民共和国治安管理处罚法》首次将“高空抛物”列为单独的治安违法行为，明确了处罚标准，只要高空抛物危害公共安全，无论是否造成后果都将依法处罚．高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响），那么物体从的高空落到地面的时间是（   ） A． B． C． D． 19．如图，由内到外依次为正方形，若的面积为3，的面积为，则的边长可以是整数______．（写出一个答案即可） 20．如图，把两个边长为1的小正方形沿对角线（图中虚线）剪开，得到4个完全一样的直角三角形，将这4个直角三角形拼成一个大正方形，估计这个大正方形的边长应在（     ） A．0和0.5之间 B．0.5和1之间 C．1和1.5之间 D．1.5和2之间 题型七 平方根概念理解 21．的平方根是（     ） A． B． C． D． 22．若一个正数的平方根是和，则这个正数是_________． 23．下列说法正确的是（） A．的平方根是 B．任何数的平方都是非负数，因而任何数的平方根也是非负数 C．任何一个非负数的平方根都不大于这个数 D．平方根等于本身的数只有0 题型八 求一个数的平方根 24．16的平方根是（     ） A． B． C．4 D．2 25．下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 26．已知实数，满足，则的平方根是______． 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 27．某正数的平方根是和，则这个数为________． 28．已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（     ） A．49 B． C． D．4 29．和是某个正数的两个平方根，则这个正数是______． 题型十 利用平方根解方程 30．若，则的值为（　　） A． B．0 C．4 D． 31．已知小数部分是m， 小数部分是n，且，则_________． 32．已知实数满足，则的值为_____． 题型十一 立方根概念理解 33．化简：______． 34．下列说法正确的是（     ） A．正数有两个互为相反数的立方根 B．负数没有立方根 C．一个数的立方根的符号与这个数的符号相同 D．的立方根是 35．已知与互为相反数，则的值是__________． 题型十二 求一个数的立方根 36．计算：______． 37．下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．2与 B．与 C．与 D．与 38．已知a是的整数部分，b是的小数部分，则a的值是_______；的立方根是_______． 39．设、为实数，且，则的立方根是______． 题型十三 已知一个数的立方根，求这个数 40．若，则（   ） A．1 B． C． D．0 41．已知某个正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，则的算术平方根是（   ） A． B．2 C．4 D． 42．已知，且与互为相反数，则y的值为______． 题型十四 与立方根有关的规律探索 43．我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，，而，所以，由此得是两位数； 第二步：确定个位数字，因为59319的个位上的数是9，在0到9的整数中，只有9的立方的个位上的数是9； 第三步：确定十位数字，划去59319后面的三位319得到59，因为，．而，所以的十位上的数字是3． 综合以上可得， 根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 44．据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：某正整数的立方是59319，求这个正整数．华罗庚脱口而出：39． 华罗庚迅速求出立方根的过程如下： ①由，可以确定是两位数； ②由可知，的十位上的数字是3； ③考虑到1至9的立方中，只有9的立方的个位上的数字是9，所以确定的个位上的数字是9，所以． 请你根据上述步骤求出74088的立方根是___． 45．我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 题型十五 立方根的实际应用 46．如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 47．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 48．如图1为一种球形容器（注：球的体积计算公式为），它受力均匀，承载能力强，且制作材料较为节省，在运输各种气体、液体、液化气时很受欢迎，图2为其示意图．现要生产两种容积分别为和的球形容器，则这两种容器的半径差（容器的厚度可忽略）为（    ） A． B． C． D． 题型十六 算术平方根和立方根的综合应用 49．下列计算，错误的是（    ） A． B． C． D． 50．一个自然数a的算术平方根为x，那么的立方根是（　　） A． B． C． D． 51．已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 题型十七 程序设计与实数运算 52．如图是一个数值转换器，当输入的为时，输出的是（     ）． A． B． C． D． 53．小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为______． 54．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 解答题 1．解方程： (1) (2) 2．已知和是某正数的两个不同的平方根，的立方根为2． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 3．已知，的立方根是． (1)求的值． (2)求的平方根． 4．阅读《无理数》课堂实录，解决问题． 数学课上，老师带着大家学习无理数． 老师：大家知道无理数是无限不循环小数，因此一个无理数的小数部分，我们是不可能完全写出来的，那么，有什么方法表示出无理数的小数部分呢？例如：． 聪聪：我们可以用来表示的小数部分． 老师：为什么？ 聪聪：因为的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 老师：聪聪真聪明，那么你知道含有无理数的两个数之和的小数部分怎么表示吗？例如． 聪聪：这个还真是不清楚了． (1)请同学们帮聪聪表示一下的小数部分为 ； (2)请同学们写出一个与的小数部分相同的无理数，并说明理由； (3)若为的小数部分，为的小数部分，求的平方根． 5．阅读材料：我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根，华罗庚脱口而出：39． 【发现问题】华罗庚是怎样准确迅速地计算59319的？ 【提出问题】如何快速计算较大完全立方数的立方根？ 【分析问题】 因为，， 所以是两位数． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 的个位数字 0 1 8 7 4 5 6 3 2 9 由上表，因为59319的个位数字是9，所以的个位数字是9． 因为，．所以，即的十位数字是3．故． 【解决问题】阅读上面材料回答问题： (1)已知103823是整数的立方，计算___________； (2)已知7921是整数的平方，求的值，并参考阅读材料的分析过程说明理由． 6．根据以下材料，探索完成任务： 寻找合适的礼品盒 素材1 母亲节将至，小颖定制了一块圆柱形蛋糕准备送给妈妈来表达自己的爱意．已知这块蛋糕的底面积为，高为． 素材2 为了美观又增加仪式感，小颖想要用一个体积为的正方体礼品盒来装这块蛋糕（礼品盒的厚度忽略不计）． 问题解决 (1)任务1：根据素材1可知，这块圆柱形蛋糕的半径为________； (2)任务2：请你根据素材2，求出这个正方体礼品盒的棱长； (3)任务3：请你帮小颖算一算，这个礼品盒能装下这块蛋糕吗？请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $