2.1 认识实数（第2课时 认识实数）（教学设计）数学新教材北师大版八年级上册

该初中数学教学设计聚焦“认识实数（第2课时）”，核心内容包括无理数概念、实数分类及实数与数轴上的点一一对应。通过回顾有理数分类，结合分数化小数活动发现有理数特征，自然引入无理数，构建从有理数到实数的知识支架。 此资料以“分数化小数”观察活动培养抽象能力（数学眼光），通过实数分类训练推理意识（数学思维），结合数轴表示√2等操作发展模型意识（数学语言）。例1辨析数的类型，例2数轴找点，助力学生突破“无限不循环”难点，为教师提供分层教学资源，提升课堂效率。

2.1.2 认识实数（第2课时） 年级 八年级 学科 数学 课型 新授课 教材 北师大版八年级上册 2.1.2 认识实数（第2课时） 教学目标 1．感受无理数产生的实际背景和引入的必要性，能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由。 2．通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练思维判断能力。 3．通过实数的分类感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 教学重点 无理数的概念、实数的分类、实数与数轴上的点一一对应。 教学难点 识别无限不循环小数，理解实数与数轴上的点一一对应的含义。 教材分析 本节课是北师版八年级上册第二章“实数”§2.1“认识实数”第2课时，核心内容是在有理数基础上引入无理数，建立实数的概念，并完成实数的分类。具体包括： 通过将分数化为小数，认识有理数总可用有限小数或无限循环小数表示； 理解无限不循环小数是无理数，如 、； 有理数和无理数统称实数； 按概念和性质符号两种标准对实数进行分类；在实数范围内理解相反数、绝对值、倒数及运算法则； 认识实数与数轴上的点一一对应。 本节从有理数分类及分数化小数入手，引导学生发现有理数的小数表示特征，再通过 等实例引入“无限不循环小数”，自然过渡到无理数概念，体现了数学知识从有限到无限、从有理到实数的扩展逻辑。随后给出实数定义，并通过两种分类方式（概念分类、性质符号分类）帮助学生建立完整的实数结构，渗透“不重不漏”的分类思想。接着将相反数、绝对值、倒数、运算法则从有理数推广到实数，体现知识的一致性。最后通过数轴上表示 等问题，揭示实数与数轴上的点一一对应，深化对实数连续性的直观认识。 学情分析 学生在七年级已系统学习有理数、数轴、相反数、绝对值和倒数，也能熟练进行分数与小数的互化，这为本节课通过“有限小数或无限循环小数”界定有理数提供了认知基础。同时，学生已经历有理数的分类，具备一定的分类意识，对“按同一标准、不重不漏”的原则并不陌生。 但学生的数的概念长期停留在有理数范围内，容易将“有规律的小数”误判为循环小数，对“无限不循环”这一核心特征理解有困难；尤其是像 ...这样看似有规律却不循环的数，是判断的易错点。此外，在数轴上准确表示 等无理数需要结合勾股定理和图形构造，学生的迁移能力尚弱，也是本节课的主要障碍。 因此，教学应立足学生已有的分类经验，通过对比、辨析和数轴操作，帮助学生突破认知难点。 教学过程 教学内容 设计意图 课堂导入 【回顾旧知】有理数进行分类： 【引入新课】有理数包括整数和分数，那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢？ 通过旧知回顾和实际情境，让学生感受引入无理数的必要性，激发学习兴趣，明确本课探究方向。 探究点1：无理数的概念与有理数的识别 【问题引入】 把下列各数表示成小数，你发现了什么？ ，，，-， 【学生回答】，，，，。 【讲解】事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 【归纳总结】无限不循环小数称为无理数. 如圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，因此它也是一个无理数.再如0.5858858885…（相邻两个5之间8的个数逐次加1）也是无理数. 而能化成有限小数或循环小数，这些数都是有理数. 想一想：你能找到其他的无理数吗？ 【例题巩固】 例1. 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ ，，，（相邻两个1之间2的个数逐次加2）。 解：有理数有：，，； 无理数有：。 方法技巧：无理数的特征: 1．圆周率π及一些最终结果含有π的数. 2.有一定的规律，但不循环的无限小数. 通过“小数转化”活动，让学生经历“观察—归纳—抽象”的过程，理解无理数产生的必然性；借助例1掌握识别有理数与无理数的方法，培养分类与抽象能力。 探究点2：实数的分类 【新知导出】 有理数和无理数统称实数，即实数可以分为有理数和无理数。 【尝试思考】 无理数和有理数一样，也有正负之分。如 是正的， 是负的。 把下列各数填入相应的集合内： ，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加2）。 【学生思考】正数集合：，，； 负数集合：。 【归纳总结】你能仿照有理数的分类给实数分类吗？ 实数分类的原则是：按照同一标准，不重不漏 通过填集合和仿照分类，让学生体会实数的两类分法，感受数学结论的确定性，培养分类思想。 探究点3：实数范围内的相关概念与运算 【新知探究】在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的相反数倒数、绝对值的意义完全一样。 【归纳总结】实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。 先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。 通过类比有理数，将相反数、倒数、绝对值及运算性质推广到实数，帮助学生建立知识体系，体会数系扩充后运算的一致性 探究点4：实数与数轴上的点一一对应 【思考交流】 前面讨论两个正方形，边长分别是 ，，且满足 ，。 （1）如图，，数轴上点 对应的数是什么？它介于哪两个整数之间？ 解：由勾股定理，得 。 因为 ，所以点 对应的数是 。 因为 ，所以 介于整数1和2之间。 （2）你能在数轴上找到 对应的点吗？与同伴进行交流。 解：如图 【归纳总结】每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一点都表示一个实数。实数和数轴上的点是一一对应的。 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大。 【例题巩固】 例2. 数轴上 ， 两点表示的数分别为 和 ，则 ， 两点之间表示整数的点共有（　） A．6个　　B．5个　　C．4个　　D．2个 解析：∵ π≈ 3.14，∴π和 5.1 之间的整数是 4，5. ∴ A ，B 两点之间表示整数的点共有2个．选D 方法技巧：数轴上的点与实数一一对应，结合数轴分析，可轻松得出结论． 通过在数轴上找 、，让学生体会无理数也能用数轴上的点表示，理解实数与数轴上的点一一对应，突破“数形结合”的难点。 课堂小结 板书设计 2.1.2 认识实数（第2课时） 探究点1：无理数的概念与有理数的识别 探究点2：实数的分类 探究点3：实数范围内的相关概念与运算 探究点4：实数与数轴上的点一一对应 随堂练习 1.下列各数：1，0.303003....(相邻两个3之间0的个数逐次加1)中，无理数的个数是（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】A 2. 2.与数轴上的点具有一一对应关系的数是（　） 3. A．实数　　B．有理数　　C．无理数　　D．整数 【答案】A 3.下图是由16个边长为1的小正方形拼成，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段.试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段. 【解析】如图，线段AB,CD的长度分别是1、2； 线段EF,MN为无理数；且=5,=10 教学反思 本节课教学目标基本达成。通过“分数化小数”的活动，学生能较自然地体会无理数引入的必要性，对有理数、无理数的辨析掌握较好，并能说出判断理由。实数分类教学中，部分学生对“按性质符号分类”中正无理数、负无理数以及0的位置仍易混淆；数轴上表示、这类无理数，学生空间想象和操作能力有待加强。改进方向：增加小组合作活动，让学生动手构造无理数并在数轴上表示；设计分类对比表，强化不重不漏的分类原则；课后布置分层练习，进一步巩固实数概念及数轴对应关系。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $