精品解析：江西省赣州市信丰县第四中学2024-2025学年九年级上学期第一次学情调研数学试题

2024-2025学年九年级第一次学情调研数学试题卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 将一元二次方程化为一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（ ） A. 5， B. 5，4 C. 5， D. 5，1 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 3. 已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是【 】 A. a=﹣3，b=1 B. a=3，b=1 C. ，b=﹣1 D. ，b=1 4. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 5. 下列函数中，的值随值的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 或 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 方程的解为________． 8. 二次函数的最小值为________． 9. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_________． 10. 已知：，那么_________． 11. 若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____． 12. 如图，在中，，，，点P从点A开始出发向点C以2cm/s速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s速度移动．若P，Q分别同时从A，B出发，设运动时间为t，当四边形APQB的面积是16cm2时，则t的值为______． 三、解答题（每小题6分，共30分） 13. 解方程 （1）（配方法） （2）（公式法） 14. 解方程 （1） （2） 15. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，求方程的另一根和的值． 16. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 17. 已知二次函数． （1）填写下表，在上图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． x … 0 1 2 … y … … （2）利用图象写出当时，y的取值范围是______． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，. （1）若为正整数，求的值； （2）若，满足，求的值. 19. 已知关于x的方程． （1）求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）当k为何整数时，该方程有两个整数根？ 20. 某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件． 设销售单价定为x元.据此规律，请回答： (1)商店日销售量减少___________件，每件商品盈利___________元(用含x的代数式表示)； (2)针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 五、解答题（每小题9分，共18分） 21. 如图所示，一个农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于房墙的一边留一个宽的门． （1）所围成矩形猪舍的长、宽分别是多少时，猪舍面积为？ （2）为做好猪舍的卫生防疫，现需要对围成的矩形进行硬底化，若以房墙的长为矩形猪舍一边的长，且已知硬底化的造价为60元/平方米，请你帮助农户计算矩形猪舍硬底化需要的费用． 22. 如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． （1）经过几秒钟，点、之间的距离为？ （2）连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 六、（本大题共12分） 23. 对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+2by﹣1（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a•0+2b•1﹣1=2b﹣1． （1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=3． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； （2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年九年级第一次学情调研数学试题卷 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 将一元二次方程化为一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是（ ） A. 5， B. 5，4 C. 5， D. 5，1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程（a，b，c是常数且）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【详解】解：化为一般式，得 ， 二次项系数和一次项系数分别是5，， 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案． 【详解】解：， 移项得， 二次项系数化1的， 配方得， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 3. 已知：x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是【 】 A. a=﹣3，b=1 B. a=3，b=1 C. ，b=﹣1 D. ，b=1 【答案】D 【解析】 【详解】∵x1，x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，∴x1+x2=﹣2a，x1x2=b， ∵x1+x2=3，x1x2=1，∴﹣2a=3，b=1，解得，b=1．故选D． 4. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（  ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人 【答案】C 【解析】 【分析】设参加酒会的人数为x人，每人碰杯次数为次，如果一共碰杯55次，列出一元二次方程，解之即可得出答案. 【详解】设参加酒会的人数为x人，依题可得： x（x-1）=55， 化简得：x2-x-110=0， 解得：x1=11，x2=-10（舍去）， 故答案为C. 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题中的等量关系列出方程. 5. 下列函数中，的值随值的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，，对称轴为直线， 当时，的值随值的增大而减小，当时，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； B. ，，对称轴为直线， 当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小，故该选项不正确，不符合题意； C. ，，的值随值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意； D. ，，的值随值的增大而减小，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． 6. 如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，由题意可得且，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共18分） 7. 方程的解为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了利用开平方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握开平方法解一元二次方程． 利用开平方法进行求解即可． 【详解】解： 或． 故答案为：或 8. 二次函数的最小值为________． 【答案】-2 【解析】 【分析】由二次函数可直接求解． 【详解】解：由二次函数可得：开口向上，有最小值， ∴二次函数的最小值为-2； 故答案为-2． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 9. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此由求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：2． 10. 已知：，那么_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，设，将已知方程转化为关于的新方程，通过解新方程得到即的值． 【详解】解：设，则． 整理，得． 解得或（舍去）． 所以． 故答案为：5． 11. 若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于_____． 【答案】2028 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，代入原式=x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2）计算可得． 【详解】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020， 则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2 ＝x12﹣4x1+2（x1+x2） ＝2020+2×4 ＝2020+8 ＝2028， 故答案为：2028． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 12. 如图，在中，，，，点P从点A开始出发向点C以2cm/s速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s速度移动．若P，Q分别同时从A，B出发，设运动时间为t，当四边形APQB的面积是16cm2时，则t的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由于四边形是一个不规则的图形，不容易表示它的面积，观察图形，可知，由此来求解. 【详解】在中，， 是直角三角形， 由勾股定理，得， 设秒后四边形的面积是， 则秒后，，， 根据题意，知， ， 即， 解得或（舍去）. 故答案为：. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用和勾股定理、三角形面积等知识，本题是一道综合性较强的题目，把求不规则四边形的面积和一元二次方程结合起来，锻炼了学生所学知识的运用能力. 三、解答题（每小题6分，共30分） 13. 解方程 （1）（配方法） （2）（公式法） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键． （1）将常数项移到方程右边，当未知数二次项系数为１时，配方是等号两边都加上未知数一次项系数一半的平方，然后开方运算即可； （2）利用一元二次方程的求根公式求解即可 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，； 【小问2详解】 ， ， ， ，． 14. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和开平方法是解题的关键． （1）利用因式分解法进行求解即可； （2）利用开平方法进行求解即可． 【小问1详解】 解： 或 或； 【小问2详解】 解： 或 或． 15. 已知关于的一元二次方程的一个根是2，求方程的另一根和的值． 【答案】方程的另一个根为，k为 【解析】 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程解方程、一元二次方程的解．求出k值是解答本题的关键．把代入原方程可解得的值，把的值代回原方程，再解方程可求得方程的另一根． 【详解】解：当时，原方程可化为：， 解得：， ∴原方程为：， ∴， ∴ 或， ∴ ，， ∴ 方程的另一个根为，k为． 16. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感． （1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？ 【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了个人 （2）经过三轮传染后共有个人会患流感 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，熟练掌握传播问题解法是解决问题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了个人，则开始是1个人，第一轮传染人，共计人，第二轮传染人，列方程求解即可得到答案； （2）由（1）中求得每轮传染中平均一个人传染人数，直接计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：设每轮传染中平均一个人传染了个人， 则开始时是1个人，第一轮传染人，共计人，第二轮传染人， ， 则， 即， 或， 解得或（舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了个人； 【小问2详解】 解：经过第二轮传染后共计81人，则第三轮传染人， 经过三轮传染后，会患流感人数为人， 答：经过三轮传染后共有个人会患流感． 17. 已知二次函数． （1）填写下表，在上图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． x … 0 1 2 … y … … （2）利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【答案】（1）填表如下： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （2）观察函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 填表、函数图象略； 【小问2详解】 解：由函数图象可得：当时，y的取值范围是． 四、解答题（每小题8分，共24分） 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，. （1）若为正整数，求的值； （2）若，满足，求的值. 【答案】（1），2；（2） 【解析】 【分析】(1)根据关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，于是得到结论； (2)由根与系数的关系可得，，代入，解方程即可得到结论． 【详解】(1)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ∵为正整数， ∴，2； (2)∵，， ∵， ∴， ∴， 解得：，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键． 19. 已知关于x的方程． （1）求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）当k为何整数时，该方程有两个整数根？ 【答案】（1） 证明：当时，方程为一元一次方程，必有一解； 当时，方程为一元二次方程， ， 一元二次方程有两个实数根． 综上：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）或2 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，及一元二次方程的解法，整除问题，求出一元二次方程的两根是解本题的关键． （1）当时，方程为一元一次方程.当时，方程为一元二次方程，根的判别式； （2）计算出方程的解，或，因为解是整数，即可算出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程有两个整数根， 方程为一元二次方程，即， ， 解得或， 又k为整数及方程的两个根都为整数， 或， 或2． 20. 某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件． 设销售单价定为x元.据此规律，请回答： (1)商店日销售量减少___________件，每件商品盈利___________元(用含x的代数式表示)； (2)针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？ 【答案】(1)20(x－10)；(2)(x－8)；(2) 销售单价应定为元. 【解析】 【分析】定价为元，与元相比，销售单价就上涨了元，销售单价每涨元，每天的销售量就减少件，可得出销量减少了每件的盈利为元. 根据总利润=单件利润×销量，列方程进行求解即可. 【详解】商店日销售量减少20(x-10)件，每件商品盈利(x-8)元， 故答案为： ； 由题意可得， ， 解得：，  因为要让顾客得到实惠，， 答：销售单价应定为元. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 五、解答题（每小题9分，共18分） 21. 如图所示，一个农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于房墙的一边留一个宽的门． （1）所围成矩形猪舍的长、宽分别是多少时，猪舍面积为？ （2）为做好猪舍的卫生防疫，现需要对围成的矩形进行硬底化，若以房墙的长为矩形猪舍一边的长，且已知硬底化的造价为60元/平方米，请你帮助农户计算矩形猪舍硬底化需要的费用． 【答案】（1）所围成矩形猪舍的长、宽分别是，时，猪舍面积为 （2）矩形猪舍硬底化需要的费用为5040元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的实际应用，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设所围成矩形猪舍平行于墙的一边长为，则垂直于墙的一边长为，根据等量关系列出方程即可求解； （2）首先求出矩形的另一边长为，然后根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：设所围成矩形猪舍平行于墙的一边长为，则垂直于墙的一边长为， 依题意得：， 解得：，， ， ， ∴， 答：所围成矩形猪舍的长、宽分别是，时，猪舍面积为； 【小问2详解】 解：∵以房墙的长为矩形猪舍一边的长， ∴矩形的另一边长为 ∴（元）． 答：矩形猪舍硬底化需要的费用为5040元． 22. 如图，在直角梯形中，，，，，，动点、分别从点、同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随之停止运动． （1）经过几秒钟，点、之间的距离为？ （2）连接，是否存在某一时刻，使得恰好平分？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）经过秒钟，点、之间的距离为 （2）不存在，理由如下 假设存在t值，使得恰好平分，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴两个解都不符合题意， 故不存在某个时刻，使得恰好平分． 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、解一元二次方程等知识，理解题意是解答的关键． （1）过A作于E，过点P作于F，先证明四边形、四边形是矩形得到，，，分别在和中利用勾股定理求解即可； （2）假设存在t值，使得恰好平分，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，进而可得，利用勾股定理求得t值，根据t值的取值范围可得结论． 【小问1详解】 解：如图．过A作于E，过点P作于F， ∵，， ∴， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，，， 在中，，， ∴， 由题意，，，， 在中，，， 由得， ∴，（不合题意舍去）． 答：经过秒钟，点、之间的距离为； 【小问2详解】 略 六、（本大题共12分） 23. 对x，y定义一种新运算T，规定：T（x，y）=ax+2by﹣1（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T（0，1）=a•0+2b•1﹣1=2b﹣1． （1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=3． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； （2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 【答案】（1）①a=1，b=3；②-2≤p＜-；（2）a=2b． 【解析】 【分析】（1）①按题意的运算可得方程组，即可求得a、b的值； ②按题意的运算可得不等式组，即可求得p的取值范围； （2）由题意可得ax+2by-1= ay+2bx-1，从而可得a="2b" ； 【详解】（1）①由题意可得 ，解得； ②由题意得，解得 ，因为原不等式组有2个整数解，所以， 所以 ； （2）T（x，y）="ax+2by-1," T（y，x）="ay+2bx-1" ， 所以ax+2by-1= ay+2bx-1, 所以（a-2ba）x-（a-2b）y=0,（a-2b）（x-y）=0, 所以a=2b 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $