河南郑州市第五十七中学2026-2027学年第一学期10月学情自测九年级数学试题

2025-2026下期九年级月考数学 (分值：120分时间：100分钟) 一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1.(3分)矩形、菱形都具有的性质是() A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角 2.(3分)下列方程中，是一元二次方程的有（) 04x2=x:②2-y-3=0:®5x+3x-1=0:@-2+1=0:回6x0y-5)=6x. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.(3分)如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD,中间通过螺杆连结， 转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）.当∠BCA=25°时，∠ADC的度数为() B A.25° B.50° C.130° D.150° 手柄 4.(3分)根据下表： x -3 -1 4 6 x2-bx-5 13 5 -1 … -1 13 确定关于x的一元二次方程x2-bx-5=6的解的取值范围是（) A.-1<x<5 B.-2<x<-1或5<x<6 C.-3<x<-2或5<x<6 D.-2<x<-1或4<x<5 5,(3分)如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只篇要用绳子分别 测量书架的两条对角线AC,BD的长就可以判断，其数学依据是() A.三个角都是直角的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形 6.(3分)已知函数y=:+b的图象如图所示，则关于x的一元 二次方程bx2+x+2-k=0的根的情况是（) y=kx-b A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 第1页（共8页) 7.(3分)在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进 行一场比赛)制，每组x人、若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（) A-=15B.+=l5Cx-=15D.+0=15 8.(3分)如图，有两条相互垂直的卡槽，一小哥将一根木棒的两端分别卡在卡槽中，在木棒的中部插有 一支记号笔，接着移动木棒的一端，另一端也随之移动、我们惊讶地发现：记号笔画出了一段圆弧！根据 你所学的有关直角三角形的知识，分析“木棒作弧”中所运用的数学道理是() A,直角三角形的两直角边长度的平方和等于第三边长度的平方 B.直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 C.直角三角形的两个锐角互余 D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 9.(3分)如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法： ①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形： ②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形： ③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分： 其中正确的个数是（) A.0 B.1 C.2 D.3 D A-P H←—B 第9题图 第10题图 10.(3分)如图，在矩形ABCD中，AB=20cm,动点P从点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B运动， 动点H从点B开始沿BA边以2cm/s的速度向点A运动，动点2从点C开始沿CD边以4cm/s的速度向点 D运动，点P,点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动，设动点的运动 时间为ts,当QP=QH时，t的值为() A月 B.4 c.0 3 D. 20 7 第2贞（共8页） 二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11.(3分)小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，⑤号箭头处可以添加的条件 是 ,(写出一种即可) ②矩形 ④ 四边形 ① 平行四边形 正方形 ③菱形 12.(3分)如果关于x的方程(m-3)x-1-x+3=0是一元二次方程，那么m的值为 13.(3分)在解一元二次方程x2+bx+c=0时，小明看错了一次项系数b,得到的解为x=2,名=3： 小刚看错了常数项c,得到的解为x=1,x2=5.请你写出正确的一元二次方程 14.（3分)如图，正方形的边长为2(5+)，剪去4个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的面 积 第14题图 第15题图 15.(3分)如图，△ABC中，∠C=90°，AC=10,BC=8,线段DE的两个端点D,E分别在边AC, BC上滑动，且DE=6,若点M,N分别是DE,AB的中点，则MN的最小值为 三.解答题（共8小题，满分75分） 16.(8分)解下列方程： （1)(3x-1)2=23x-1);（2)2x2-4x+1=0. 17.(8分)如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D. 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB,AC为对称轴，画出△ABD,△ACD 的轴对称图形，点D的对称点分别为E,F,延长EB,FC相交于点G. 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： (1)求证：四边形AEGF是正方形 (2)若AD=6,BD=2,则DC=一 第3页（共8页） 18.(8分)己知x,x,是关于x的一元二次方程x2-2(m+)x+m2+5=0的两实数根。 (1)若x,x恰好是矩形的两邻边长，且m=3,求该矩形的周长和面积： (2)若2x,2x2恰好是菱形的两条对角线的长，菱形边长为6，求m的值： 19.(10分)阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务. 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫做矩形的内接菱形.在实践活动课上，数学老师提出来一个问题 “如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”.实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的 方法 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形 EHGF(如图I),则四边形EHGF是矩形ABCD的内接菱形 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形ABCF, 则四边形AECF也是矩形ABCD的内接菱形.（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF,与AD边交于点E,与BC边交于 点F,连接AF,CE,则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形。 E 图1 图2 图3 任务： (1)图1菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为 (2)请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形. (3)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程.（保留作图痕迹，不要求写作法） (4)若在矩形ABCD中，AB=6,BC=18,请你根据日记中三种方法，通过计算，求出此矩形的内接菱 形的面积最大值为 第4页（共8页） 20.(10分)阅读材料，完成任务. 我国古代三国时期的数学家赵爽曾给出一元二次方程的几何解法，其所著的《勾股圆方图注》中记载了 解方程x+5x-14=0,即x(x+5)=14的方法.首先构造了如图①所示的图形，图中的大正方形面积 是(x+x+5)2,其中四个全等的小矩形面积分别为x(x+5)=14,中间的小正方形面积为52，所以大 正方形的面积又可表示为4×14+52，据此易得原方程的正数解为x=2. 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，下面甲、乙、丙三个构图中能够说明方程2-3x-10=0解 法的正确构图是 (2)请你通过上述问题的学习，在图②的网格中设计正确的构图，用几何法求方程+2x-15=0的 正数解（写出必要的思考过程，图②中的网格不要求全部使用）： (3)一般地，对于形如x2+x=b的一元二次方程可以构造图③来解，己知图③由4个相同矩形构成， 这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为√5，那么a= ,b=,求得方程 的正根为 甲 乙 丙 x+5 x+5 x+5 ① ② ⑧ 第5页（共8页） 21.(10分)项目式学习 农家乐的扩建与经营 如今短视频平台、旅游APP让农家乐“山圈"，为了进一步提 升顾客体验，某经营户打算将白家农家乐现有的矩形就餐区 城，扩建成如图所示更大的正方形区域.目前这个矩形就餐 区的面积为120平方米，扩建时，他将矩形的其中一边增加5 米，另一边增加3米，这样改造后就能形成一个正方形的就 素材一 餐区域。 3 第22题图 改造前的顾客的平均等待时间为25分钟，就餐区域改造完 秦材二 成后，通过优化叫号系统，两个星期后的平均等待时间缩短 至16分钟 经营户推出特色餐饮品鉴活动.通过市场调查，发现当收费 素材三 标准为80元/人时，平均每天可接待顾客60人.收费标准每 降低5元，平均每天可多接待10人 任务一 扩建后正方形就餐区域的边长是多少米？ 任务二 求平均每星期等待时间降低的百分率是多少？ 如果经营户希望每天特色餐饮品鉴活动的营业额达到6000 任务三 元，并且从为顾客让利的角度出发，收费标准应确定为多少 元/人？ 第6页（共8页） 22.（10分)如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a,b,c分别是Rt△ABC和Rt△ BED三边的长，易知AE=√2c,这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一 元二次方程”.请解答下列问题： (1)有下列方程：①2x2+√5x+1=0;②3x2+5√2x+4=0.其中，是“勾系一元二次方程”的为 (填 序号) (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+2√2cx+4b=0必有实数根. (3)若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是122，求 △ABC的面积. c 6 c 0 b D 第7页（共8页） 23.(11分)定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”. 【初少理解】 如图1，已知矩形ABCD是“等邻边四边形”，则矩形ABCD一（填“一定”或“不一定”）是正方形： 【尝试运用】 如图2，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点M,N分别在AD,CD上（不含端点），连接BM,BN, 若∠MBN=60°，证明四边形BMDN是“等邻边四边形”： 【拓展延伸】 如图3，现有一个平行四边形材料ABCD,连接AC,AB=2N5,BC=7,AC=√④I,点B在BC上， 且BB=4,在边AD上有一点P，使四边形ABEP为“等邻边四边形”，.请直接写出此时四边形ABBP的面 积， D D M C B 图 图2 图3 第8页（共8页） 2025-2026下期九年级月考数学 参考答案与试题解析 一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1.(3分)矩形、菱形都具有的性质是() A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线平分一组对角 【解答】解：，矩形、菱形都是平行四边形， .矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分， 菱形的对角线互相垂直，且平分对角，矩形的对角线相等， 故选：A 2.(3分)下列方程中，是一元二次方程的有() ①4r2=x:②(x-1-3=0:③5x2+3x-1=0:④-2+1=0：⑤6y-5)=60. x2 x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 故选：A. 3.(3分)如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形ABCD,中间通过螺杆连结， 转动手柄可改变∠BCD的大小（菱形的边长不变）.当∠BCA=25°时，∠ADC的度数为() B 手柄 D A.25° B.50 C.130° D.150 【解答】解：四边形ABCD是菱形，AC是对角线， .∠BCD+∠ADC=180°， :∠BCD=2∠BCA=2×25°=50°， .∠ADC=180°-∠BCD=130°， 故选：C. 4.(3分)根据下表： x -3 -2 -1 … 5 6 x2-bx-5 13 5 -1 -1 5 13 确定关于x的一元二次方程x2-bx-5=6的解的取值范围是( 第1页（共20页） A.-1<x<5 B.-2<x<-1或5<x<6 C.-3<x<-2或5<x<6 D.-2<x<-1或4<x<5 故选：C 5.(3分)如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别 测量书架的两条对角线AC,BD的长就可以判断，其数学依据是() D B A.三个角都是直角的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形 【解答】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意 故选：C 6.(3分)已知函数y=+b的图象如图所示，则于x的一元二次方程bx2+x+2-k=0的根的情况是 () y=kx+b y A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根 C.有两个相等的实数根 D.无法确定 【解答】解：根据题意得k<0,b<0, .2-k>0,-4b>0, .-4b(2-k)>0, △=12-4b(2-), △>0， 方程有两个不相等的实数根. 故选：A. 第2页（共20页） 7.(3分)在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进 行一场比赛)制，每组x人.若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为() A.2-)-15B.2x+-15 C.x(x-1)=15D.x(x+1)=15 【解答】解：由题意得，-)=15」 2 故选：A, 8.(3分)如图，有两条相互垂直的卡槽，一小哥将一根木棒的两端分别卡在卡槽中，在木棒的中部插有 一支记号笔，接着移动木棒的一端，另一端也随之移动.我们惊讶地发现：记号笔画出了一段圆弧！根据 你所学的有关直角三角形的知识，分析“木棒作弧”中所运用的数学道理是() A.直角三角形的两直角边长度的平方和等于第三边长度的平方 B.直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半 C.直角三角形的两个锐角互余 D.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【解答】解：因为“木棒作弧”过程中弧上的点到两条相互垂直的卡槽交点距离相等，且木棒作为三角形 的斜边，记号笔在木棒的中点， 所以运用了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， 故选：D 9.(3分)如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法： ①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形； ②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形； ③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分； 其中正确的个数是() 第3页（共20页） A.0 B.1 C.2 D.3 【解答】解：因为一般四边形的中点四边形是平行四边形，故③错误： 当对角线BD=AC时，中点四边形是菱形，当对角线AC⊥BD时，中点四边形是矩形，故①②错误， 所以正确的有0个， 故选：A. 10.(3分)如图，在矩形ABCD中，AB=20cL.动点P从点A开始沿AB边以1Cm/s的速度向点B运动， 动点H从点B开始沿BA边以2c/s的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿CD边以4c/s的速度向点 D运动.点P,点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动.设动点的运动 时间为ts,当QP=QH时，t的值为() Q C A→P H—B B.4 C.1 p. 20 【解答】解：作QE⊥AB于点E,如图， Q C E H←B :四边形ABCD是矩形， .四边形BCQE是矩形， ..CO=BE, 由题意得AP=t,BH=2t,CQ=4t, .PH=20-AP-BH=20-3t, QP=QH,QE⊥AB, g服H103 2 CO=BE, =10+2 第4页（共20页） 解得1：9。 故选：D 二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11.(3分)小华在复习四边形的相关知识时，绘制了如图所示的框架图，⑤号箭头处可以添加的条件是有 一角为直角（答案不唯一） (写出一种即可) ②，矩形 ④ 四边形 平行四边形 正方形 ③ 菱形 ⑤ 12.(3分)如果关于x的方程0m-3)x1-x+3=0是一元二次方程，那么m的值为一-3一· 【解答】解：由题意得：m2-7=2,且-3≠0， 解得：m=-3, 故答案为：-3. 13.(3分)在解一元二次方程x2+bx+c=0时，小明看错了一次项系数b,得到的解为x=2,x2=3: 小刚看错了常数项c,得到的解为x=1,x2=5.请你写出正确的一元二次方程_x2-6x+6=0一· 【解答】解：根据题意得2×3=c, 1+5=-b, 解得b=-6,c=6, 所以正确的一元二次方程为x2-6x+6=0. 故答案为x2-6x+6=0. 14.(3分)如图，正方形的边长为2（√2+1），剪去4个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的面 积 【解答】解：设剪去三角形的直角边长x,根据勾股定理可得，三角形的斜边长为√2x,即正八边形的边 长为V2x, .√2x+2x=2(2+1), 第5页（共20页） x=√2， .正八边形的边长等于√2x=2, 正八边形的面积=22+2-4x×2-8+85. 15.（3分)如图，△ABC中，∠C=90°，AC=10,BC=8,线段DE的两个端点D,E分别在边AC, BC上滑动，且DE=6,若点M,N分别是DE,AB的中点，则MN的最小值为一√41-3一· y N B E 【解答】解：如图，连接CM、CN, △ABC中，∠C=90°，AC=10,BC=8, .AB=√AC2+BC2=2W4I, :DE=6,点M、N分别是DE、AB的中点， ..CN=-AB=41,CM=-DE=3, 当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值， MN的最小值为：√41-3. 故答案为：√41-3. B 三.解答题（共8小题，满分75分） 16.(8分)解下列方程： (1)(3x-1)2=2(3x-1): (2)2x2-4x+1=0. 第6页（共20页） 【解答】解：(1)：3x-1)2=23x-1), .(3x-1)2-2(3.x-1)=0, .(3x-103x-3)=0, 则3x-1=0或3x-3=0, 1 解得，水=1：…4分 (2)2x2-4x+1=0, .2x2-4x=-1, 1 x2-2x= 2 2-2x+1=-1 1, -02 2 t1st 21 解得；=1+2 .4分 2 17.(8分)如图，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于点D. 小明同学灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB,AC为对称轴，画出△ABD,△ACD 的轴对称图形，点D的对称点分别为E,F,延长EB,FC相交于点G, 请按照小明的思路，探究并解答下列问题： (1)求证：四边形AEGF是正方形. (2)若AD=6,BD=2,则DC=3 G 【解答】解：(I)根据题意得，△ABD=△ABE,△ACD=△ACF, AD=AE,∠DAB=∠EAB,AD=AF,∠DAC=∠FAC,1分 .∠BAC=45°， 第7页（共20页） ∠EAF=∠DAB+∠DAC+∠EAB+∠FAC=∠BAC+∠BAC=90°，2分 :AD⊥BC, .∠ADB=∠ADC=90°， .∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°， 四边形AEGF是矩形，4分 .AD=AE,AD=AF, .AE=AF, .矩形AEGF是正方形；…。 6分 (2)设CD=x,则BC=x+2 :AD=6,BD=2,四边形AEGF是正方形， .EG=FG=AD=6,∠BGC=90°， :△ABD=△ABE,△ACD=△ACF, .BD=BE=2,CD=CF=x, .BG=6-2=4,CG=6-x, 在Rt△BGC中，根据勾股定理得，BG2+CG=BC2, .(6-x)2+42=(x+2)2, 解得x=3, .CD=3, 故答案为：3.8分 18.(8分)己知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2m+1)x+m2+5=0的两实数根. (1)若x1，x,恰好是矩形的两邻边长，且=3，求该矩形的周长和面积： (2)若2x,2x恰好是菱形的两条对角线的长，菱形边长为6，求m的值： 【解答】解：(1)当m=3时，则方程为x2-8x+14=0,1分 矩形面积=为=14,2分 矩形凋长=2(5+为)=16；3分 (2)由题可知△=4m+1)2-4(m2+5)=8-16≥0，.≥2， 第8页（共20页） 根据菱形对角线互相垂直且平分可得+=36,4分 即(+5)2-2x5=36, 4(m+1)2-2(m+5)=36,6分 解得m=3或m=-7;7分 x1+x3=2(+1)>0, .m>-1,（或者用△=4(m+1)2-4(m2+5)=8m-16>0,∴.≥2，舍去理由，合理即可) l=3;8分 19.(10分)阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务. 作矩形的最大内接菱形的方法 四个顶点都在同一个矩形的边上的菱形叫做矩形的内接菱形.在实践活动课上，数学老师提出来一个问题 “如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”.实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的 方法。 方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形 EHGF(如图1)，则四边形EHGF是矩形ABCD的内接菱形， 方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形AECF, 则四边形AECF也是矩形ABCD的内接菱形.（如图2） 方法三：通过尺规作图，作矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF，与AD边交于点E,与BC边交于 点F,连接AF,CE,则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形 实践小组通过对三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形. M E F 图1 图2 图3 任务： （1)图1菱形80F的面积与矩形ABCD的面积之比为： 第9页（共20页） (2)请利用图2证明方法二中四边形AECF是菱形. (3)尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程.（保留作图痕迹，不要求写作法） (4)若在矩形ABCD中，AB=6,BC=18,请你根据日记中三种方法，通过计算，求出此矩形的内接菱 形的面积最大值为 【解答】(1)解：，AB=HF,BC=EG, 1 ∴S矩形ABcD=ABxBC，S菱形HGr=)×HF×EG, 2 ·菱形BHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为S鉴C=2 HFxEG 1 S矩形ABCD ABx BC 2 故答案为： 1 2 1分 (2)证明：：矩形ABCD,ANCM为两个大小一样的矩形纸片， .AD//BC,ANI/CM,AM=CD,∠M=∠D=90°， 2分 .四边形AFCE是平行四边形，… 3分 在△AME和△CDE中， ∠AEM=∠CED ∠M=∠D AM-CD △AME=△CDE(AAS,4分 ∴.AE=CE, 四边形ABCF是菱形；5分 (3)解：如图所示，四边形ABCF即为所求；6分 不M D B C 图3 8分 第10页（共20页) (4)解：方法一：如图1， H A D G B F 图1 在矩形ABCD中，AB=6,BC=18, ∴.S矩形ABcD=AB×BC=6×18=108, 由(I)可知，菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为 :菱形BHGF的面积为号×108=54 方法二：如图2， M D 龙 图2 设菱形AECF边长为x,即AF=CF=x, .AB=6,BC=18, .BF=18-x, 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB+BF2=AF2, 62+18-2=x2, 解得：x=10, .菱形AECF边长为10， .菱形AECF的面积为CF×AB=10×6=60; 方法三：如图3.1， 第11页（共20页） M R C /N 图3.1 由方法二可知，同理可得菱形AECF的边长为10， .菱形AECF的面积为CF×AB=10×6=60: 54<60, 此矩形的内接菱形的面积最大值为60.10分 20.（10分)阅读材料，完成任务 我国古代三国时期的数学家赵爽曾给出一元二次方程的几何解法，其所著的《勾股圆方图注》中记载了 解方程x2+5x-14=0,即x(x+5)=14的方法.首先构造了如图①所示的图形，图中的大正方形面积 是(+x+5)2,其中四个全等的小矩形面积分别为x(x+5)=14,中间的小正方形面积为52，所以大 正方形的面积又可表示为4×14+52，据此易得原方程的正数解为x=2. 任务： (1)参照上述图解一元二次方程的方法，下面甲、乙、丙三个构图中能够说明方程x2-3x-10=0解 法的正确构图是乙； (2)请你通过上述问题的学习，在图②的网格中设计正确的构图，用几何法求方程x2+2x-15=0的 正数解（写出必要的思考过程，图②中的网格不要求全部使用）： (3)一般地，对于形如x+ax=b的一元二次方程可以构造图③来解，已知图③由4个相同矩形构成， 这4个矩形的总面积为20，中间围成的正方形边长为V5,那么a=±5一，b=5一，求得方 5±5 程的正根为 2 第12页（共20页） 甲 丙 x+5 x+5 x+5 2 ⑦ ③ ③ 【解答】解：(1)，应构造面积是(x+x-3)2的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为x(x 3)=10,中间的小正方形面积为32， ∴.大正方形的面积又可表示为4×10+32=49， 大正方形的边长为7，所以x+x-3=7, .x=5, 故正确构图乙。 故答案为：乙；1分 (2)首先构造了如图2所示的图形， 2 x+2 c+2, C- x+2 x+2 图2 3分 图中的大正方形面积是(x+x+2)2,其中四个全等的小矩形面积分别为x（x+2)=15,中间的小正方形 面积为22， .大正方形的面积又可表示为4×15+22=64， 第13页（共20页) 大正方形的边长为8， .x+x+2=8, ∴x=3;(合理即可) .5分 (3)如图3：设小矩形得宽为x, xfa x+a x-fa 2 x+a x2+=b, .x（x+a)=b, ,4个矩形的总面积为20， .4x(x+a)=20, ..4b=20 .b=5: 中间围成的正方形边长为√5， ∴a=±√5， 当a=√5时， :(x+x+5)2=20叶（√5）2，x表示边长， .2x+√5=5， x=5-5 2 当a=.√5时， :(x+x-√5)2=20叶（√5）3，x表示边长， .2x-V5=5, x=5+5 2 第14页（共20页) 故答案为：±5,5,5±V5 ……10分(2+1+2，丢负值各-1分) 2 21. (10分)项目式学习 农家乐的扩建与经营 如今短视频平台、旅游APP让农家乐“出圈”，为了进一步提 升顾客体验，某经营户打算将自家农家乐现有的矩形就餐区 域，扩建成如图所示更大的正方形区域.目前这个矩形就餐 区的面积为120平方米，扩建时，他将矩形的其中一边增加5 米，另一边增加3米，这样改造后就能形成一个正方形的就 素材一 餐区域 5 3 第22题图 改造前的顾客的平均等待时间为25分钟，就餐区域改造完 素材二 成后，通过优化叫号系统，两个星期后的平均等待时间缩短 至16分钟 经营户推出特色餐饮品鉴活动.通过市场调查，发现当收费 素材三标准为80元/人时，平均每天可接待顾客60人.收费标准每 降低5元，平均每天可多接待10人 任务一 扩建后正方形就餐区域的边长是多少米？ 任务二 求平均每星期等待时间降低的百分率是多少？ 如果经营户希望每天特色餐饮品鉴活动的营业额达到6000 任务三 元，并且从为顾客让利的角度出发，收费标准应确定为多少 元/人？ 22. 第15页（共20页） 解：任务一：设扩建后正方形就餐区域的边长为 x米， 根据题意，得(x-5)(x-3)=120, 解得x1=15,x2=-7(舍去)， ·.扩建后正方形就餐区域的边长为15米：… (3分) 任务二：设平均每星期等待时间降低的百分率 是y, 25(1-y)2=16, 解得y1=0.2,y2=1.8(不符合题意，舍去)， .平均每星期等待时间降低的百分率是20%；… …(6分）》 任务三：设收费标准降低a个5元， 根据题意，得(80-5a)(60+10a)=6000, 解得a1=4,a2=6, 要从为顾客让利的角度出发， .当a=6时，收费标准应为80-6×5=50（元/人）， 答：收费标准应定为50元/人.…(10分) (任务一、二：设+答1分，方程1分，解1分：任务三方法不唯一，设定价或者降价均可) 22.(10分)如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a,b,c分别是Rt△ABC和Rt△ BED三边的长，易知AE=√2c,这时我们把关于x的形如2+√2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一 元二次方程”.请解答下列问题： (1)有下列方程：①2x2+√5x+1=0;②3x2+5V2x+4=0.其中，是“勾系一元二次方程”的为② (填序号). (2)求证：关于x的“勾系一元二次方程”x2+2√2cx+4b=0必有实数根. (3)若x=-1是“勾系一元二次方程”ax2+2√2cx+4b=0的一个根，且四边形ACDB的周长是12√2， 求△ABC的面积. 第16页（共20页) Q b C a Bb D 【解答】(1)解：由题意得：a2+b2=c2, ①2x2+5x+1=0, a=2,b=1,c=5i0 √2 a+b=5,c2=, +b2≠c2,故①不是“勾系一元二次方程”： ②3x2+5V2x+4=0, a=3,b=4,c=5, a2+b2=25,c2=25, +b2=c2,故②是“勾系一元二次方程”： 故答案为：②；2分 (2)证明：△=(2W2c)2-16ab=8c2-16b,3分 2+b2=c2, 8c2-16ab=8(a2+b2)-16ab=8(a-b}2>0,4分 .关于x的“勾系一元二次方程”m2+2√2Cx+4b=0必有实数根：5 分 (3)解：当x=-1时，有a-V2c+b=0,即a+b=V2c,6分 四边形ACDE的周长是12W2, 2a+2b+V2c=12W5,即2(a+b)）+V2c-12√2，…7分 C=4,a+b=4W2,8分 .a2+b2=c2=16, 第17页（共20页） .(a+b)}2=a2+2ab+b2,即32=16+2b, ab=8,9分 :S.ABC= 1 b=4.10分 23.(11分)定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”. 【初步理解】 如图1，己知矩形ABCD是“等邻边四边形”，则矩形ABCD_一定一（填“一定”或“不一定”）是正 方形： 【尝试运用】 如图2，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，点M,N分别在AD,CD上（不含端点），连接BM,BN, 若∠MBN=60°，证明四边形BMDN是“等邻边四边形”； 【拓展延伸】 如图3，现有一个平行四边形材料ABCD,连接AC,AB=2W5,BC=7,AC=V4I,点E在BC上， 且BE=4,在边AD上有一点P,使四边形ABEP为“等邻边四边形”，请直接写出此时四边形ABEP的面 积. D D M A C B B E 图1 图2 图3 【解答】(1)解：，矩形ABCD是“等邻边四边形”， .四边形ABCD的邻边相等， .矩形ABCD一定是正方形： 故答案为：一定：1分 (2)证明：连接BD.2分 第18页（共20页） M B 图② ,四边形ABCD是菱形， AB=BC=CD=AD,AB∥CD,AD∥BC, …3分 .∠A+∠ABC=180°，∠C+∠ABC=180°， .∠A=180°-∠ABC=60°，∠C=180°-∠ABC=60° △ABD,△BDC都是等边三角形，5分 .∠BDM=∠BCN=60°，DB=CB, .'∠MBN=∠DBC=60°， .∠DBM=∠CBN, △DBM=△CBW(ASA）,7分 .BM=BN, 四边形BMDN是等邻边四边形；8分 (3)解：如图③中，过点A作AH⊥BC于H,过点E作EN⊥AD于N,则四边形AHEN是矩形. y D B H E C 图③ :AB=2√5，BC=7,AC=√41， .AB2-BH2=AC2-CH2, ∴.20-BH=41-(7-BH02, ..BH=2,AH=EN=AB2-BH=4, BE=4, 第19页（共20页） .AN=HE=4-2=2, ①当AP=AB=25时，8，之(B2+AP)Ah=(5+4小x4=45+8.@当PA=PE时，设 PA=PE=x, 在Rt△PEN中，PE2=NE2+PN2, .x2=42+(x-2)2, x=5, S号BB+A)A=号X(6+4x4=18.@当B=B时，点P与N重合， B驱+AP)4H-片(Q+4)x4-12. 综上：四边形ABEP的面积为4W5+8或12或18 故答案为：4√5+8或12或18..11分（三个答案各1分） 第20页（共20页）