精品解析：北京师范大学附属中学2026-2027学年高一上学期十月月考数学试卷

北京师大附中2026—2027学年（上）高一十月月考 数 学试卷 考生须知 1．本试卷有三道大题，共4页.考试时长60分钟，满分100分. 2．考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 3．考试结束后，考生应将答题卡交回. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词的否定，“改量词，否结论”即可解决. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 3. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题集合可得集合， 集合的真子集个数为，故的真子集个数为. 4. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则方程的另一个根是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用关于的一元二次方程有一个根是0，得到，即，再解一元二次方程，得到另一个根即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有一个根是0， 所以令，则，解得. 所以原方程为，解得或. 所以方程的另一个根是2. 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例排除A、B、C三个错误选项，再结合不等式的基本性质判断D选项正确. 【详解】对于A：若取，，满足，但，，，故A错误； 对于B：若取，，满足，但，故B错误； 对于C：若取，，满足，但，故C错误； 对于D：由可知，即，由不等式的性质可得，故D正确. 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，然后判断充分性和必要性即可. 【详解】解分式不等式得， 而的解集为， 设集合，集合，可得是的真子集. 如果，一定能推出，充分性成立；如果不一定推出，必要性不成立， 由此可知，“”是“”的充分而不必要条件. 7. 已知，均为正数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式判断B，ACD可通过举反例说明. 【详解】已知，均为正数，且， 对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，根据基本不等式，有，当且仅当时取等号， 所以，即，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，取，满足，但，故C错误； 对于D，取，满足，但，故D错误. 8. 在潭柘寺智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是（ ） A. 青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B. 青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C. 中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D. 青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 【答案】C 【解析】 【分析】设青年、中年、老年游客人数分别为正整数，将题干条件转化为不等式组：，，，代入特殊值验证，可以判断选项A、B、D；由可得，进而可得，可以判断C. 【详解】设青年、中年、老年游客人数分别为正整数 选项A：若，满足所有题干条件，此时，不满足“多于三倍”，故A错误； 对选项B：若，，不满足“多于两倍”，故B错误； 对选项C：由可得，又，因此， 即恒成立，故C正确； 对选项D：若，满足，此时， 不满足“多于三倍”，故D错误. 9. 有限集所含元素个数用表示，定义，已知，集合，，若，则的所有可能取值个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件求得，可得出或，然后对实数的取值进行分类讨论，确定方程的解的个数，由此可求得实数的所有可能取值. 【详解】由题意，得集合，故， 又，或， 由题意可知，为关于的方程的一根， 当时，则，则方程只有一个实根，可得， 此时方程无实数根，则满足条件， 当时，则方程有三个实根，必有， 此时，关于的方程的两根分别为，分以下两种情况讨论： ①若是方程的一根时，则，解得， 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； ②当方程有两个相等的实根，则，解得， 当时，则，合乎题意； 当时，则，合乎题意； 综上，的可能的取值为. 10. 设是满足的非负实数，记为，，，，，这六个数中的最大值，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】选取四个合适的相邻和式相加，使总和等于加上一个非负项，由此得到的下界，再构造一组非负实数使得所有相邻和都相等，验证等号成立，从而确定最小值． 【详解】设六个连续两数和为 则， 所以 整理得： 因为 ，所以 代入得： 因为，所以，故： 构造等号成立的例子： 取 验证：总和为 ，满足条件； 六个和均为 ： 此时 ，等号成立． 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知全集，集合，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据集合补集的概念，即可求解. 【详解】由已知，全集，集合， 所以或. 12. 已知，则的取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得,再将同乘可得答案. 【详解】因为，所以， 所以，. 将不等式,同乘以, 则，即. 故答案为. 【点睛】本题考查了不等式的性质,考查了学生的推理能力,属于基础题. 13. 已知集合，．若，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，算出集合，再结合分类讨论和的情况即可. 【详解】已知集合，， 解不等式，得，所以， 已知集合， 当时，，即，解得，此时，符合题意； 当时，，即，解得或， 若，则（无解）或，得，此时. 因此实数的取值范围为. 14. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，不等式为，显然成立，符合题意； 当时，则，解得. 综上所述，k的取值范围是． 故答案为：. 15. 是非空数集，若对任意，，都有，，则称具有性质．给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若，具有性质，则是具有性质的充要条件； ③若，具有性质，则具有性质； ④若具有性质，且，则不具有性质． 其中所有真命题的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】①取验证即可；②充分性由交集元素同时属于两个集合并结合性质推出运算封闭，必要性由性质要求集合非空直接得到；③举反例，，取，，但；④用反证法，假设补集也具有性质，通过讨论是否属于分别推出矛盾． 【详解】对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确； 对于②，充分性：取，则，，，， 又具有性质P，，， ，所以具有性质P． 必要性：因为，具有性质，且具有性质， 所以是非空数集，所以．所以②正确； 对于③，取，， 而，，但，故③错误； 对于④，若A具有性质P，且，假设也具有性质P， 设，在中任取一个，此时可证得， 否则若，由于也具有性质P， 则，与矛盾，故， 由于A具有性质P，也具有性质P，所以， 而，这与矛盾， 故当且A具有性质P时，则不具有性质P， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故④正确. 三、解答题共3小题，共35分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，． （1）若，求关于的方程的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为； （3） 【解析】 【分析】（1）代入，将方程化为二次方程，通过因式分解求解；（2）因式分解不等式，根据二次函数开口方向，分讨论根的大小，确定解集；（3）联立方程整理为二次方程，利用韦达定理表示；结合判别式和确定的范围，进而求出的取值范围． 【小问1详解】 当时，方程化为，即， 解得或，解集为． 【小问2详解】 原不等式为，因式分解得， 方程的根为或， 当时，不等式的解为； 当时，不等式为，无实数解； 当时，不等式的解为； 综上所述，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为． 【小问3详解】 联立方程， 整理得，设方程的两根为，由韦达定理得 ，由于，所以， 又因为方程有两个不相等的实根，所以， 化简得，因为，所以， ， 当时，， 所以的取值范围为． 17. 学校决定在艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设荣誉室的左右两面墙的长度均为米． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？并求最低报价； （2）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出报价方案为：所有需要建造的面积（包括前面墙体、左右两侧墙体、屋顶和地面）统一按照每平方米元报价（其中为乙工程队的报价系数），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数的取值范围． 【答案】（1），甲工程队的最低报价元 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件计算出整体报价，利用基本不等式对整体报价的最小值进行求解，同时求得对应的的值. （2）根据“乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低”列不等式，结合二次函数求得的取值范围. 【小问1详解】 依题意得： . ， 当且仅当，即时等号成立. 故当左右两侧墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为元. 【小问2详解】 对任意的恒成立. 从而对任意的恒成立， 令， 因为，所以， 令，则，， 函数在区间上是单调递减的，所以的最小值为， ∴ 所以的取值范围为. 18. 已知集合，表示有限集的元素个数.对于，，若集合的一组子集，，，满足： ①； ②，； ③，； 则称集合组，，，具有性质. （1）判断下列两个集合组是否具有性质，请直接写出你的结论. 集合组，，，； 集合组，，，. （2）若集合组，，，具有性质. （i）求证：. （ii）求的最小值. 【答案】（1）集合组1具有性质,集合组2不具有性质. （2）（i）证明见解析;（ii） 【解析】 【分析】（1）直接验证两个集合组是否满足条件：计算每个子集的元素个数和是否为12，检查任意两个子集的交集中元素个数是否不超过2，任意三个子集的交集中元素个数是否不超过1； （2）统计每个元素在子集中出现的次数，利用任意两个子集交不超过2以及任意三个子集交不超过1，得到关于次数的两个不等式，结合总次数为24，通过分析可知当子集个数小于或等于6时不等式无法成立，因此至少需要7个子集，再构造一组7个子集的例子验证条件全部满足. 【小问1详解】 因为， ，， 所以集合组1具有性质； 因为，所以集合组2不具有性质. 【小问2详解】 （i）若，，由抽屉原理，至少有一个集合中含有5个元素， 不妨设，由于，，， 故，. 因此，，矛盾. 故. （ii）当时，设，，，中的元素个数分别为，，，， 则，，，的所有三元子集共有个. （若存在则） 由 ， 知，，，无相同的三元子集. 由共有个不同的三元子集，知. 若存在，，则 ，对任意 ， 由  得 ，于是，矛盾，故所有 . 若，，，均小于等于5，且其中至少有两个为5， 则对应的两个集合有四个相同元素，矛盾. 若，，，均小于等于5，且其中恰有一个为5， 则，，，中1个为5，4个为4，1个为3，，矛盾. 若，，，均小于等于4，则，，，均为4，，矛盾. 综上，又，故. 当时，令，，，， ，，即可. 综上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京师大附中2026—2027学年（上）高一十月月考 数 学试卷 考生须知 1．本试卷有三道大题，共4页.考试时长60分钟，满分100分. 2．考生务必将答案填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 3．考试结束后，考生应将答题卡交回. 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若集合，则的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则方程的另一个根是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若 ，则 6. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，均为正数，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 在潭柘寺智慧文旅体验活动中，已知青年游客人数多于中年游客人数，中年游客人数多于老年游客人数，老年游客人数的两倍多于青年游客人数，那么下列选项中一定成立的是（ ） A. 青年游客人数与中年游客人数之和多于老年游客人数的三倍 B. 青年游客人数与老年游客人数之和多于中年游客人数的两倍 C. 中年游客人数与老年游客人数之和多于青年游客人数 D. 青年游客人数的两倍与老年游客人数之和多于中年游客人数的三倍 9. 有限集所含元素个数用表示，定义，已知，集合，，若，则的所有可能取值个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 设是满足的非负实数，记为，，，，，这六个数中的最大值，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知全集，集合，则__________． 12. 已知，则的取值范围为_______. 13. 已知集合，．若，则实数的取值范围为__________． 14. 若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________． 15. 是非空数集，若对任意，，都有，，则称具有性质．给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若，具有性质，则是具有性质的充要条件； ③若，具有性质，则具有性质； ④若具有性质，且，则不具有性质． 其中所有真命题的序号是________． 三、解答题共3小题，共35分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数，． （1）若，求关于的方程的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围． 17. 学校决定在艺术中心利用一侧原有墙体，建造一间墙高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室．由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元．设荣誉室的左右两面墙的长度均为米． （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的整体报价最低？并求最低报价； （2）现有乙工程队也要参与此荣誉室的建造竞标，其给出报价方案为：所有需要建造的面积（包括前面墙体、左右两侧墙体、屋顶和地面）统一按照每平方米元报价（其中为乙工程队的报价系数），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（乙工程队的整体报价比甲工程队的整体报价更低），试求实数的取值范围． 18. 已知集合，表示有限集的元素个数.对于，，若集合的一组子集，，，满足： ①； ②，； ③，； 则称集合组，，，具有性质. （1）判断下列两个集合组是否具有性质，请直接写出你的结论. 集合组，，，； 集合组，，，. （2）若集合组，，，具有性质. （i）求证：. （ii）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $