精品解析：北京市第十二中学2026-2027学年第一学期高一年级10月统一练习数学试题

北京十二中2026-2027学年第一学期高一年级10月统一练习 数学 2026.10 本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题纸交回． 第一部分　选择题（共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选择符合题目要求的一项） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列图象中，不是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知、都是正数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 7. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 9 9. 已知命题，，命题，恒成立．若和至多有一个为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 10. 被誉为我国“宋元数学四大家”的李冶对“天元术”进行了较为全面的总结和探讨，于1248年撰写《测圆海镜》，对一元高次方程和分式方程理论研究作出了卓越贡献.我国古代用算筹记数，表示数的算筹有纵式和横式两种，如图1所示.如果要表示一个多位数字，即把各位的数字依次横列，个位数用纵式表示，且各位数的筹式要纵横相间，例如614用算筹表示出来就是“”，数字0通常用“○”表示.按照李冶的记法，多项式方程各系数均用算筹表示，在一次项旁记一“元”字，“元”向上每层增加一次幂，向下每层减少一次幂.如图2所示表示方程为.根据以上信息，图3中表示的多项式方程的实根为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 第二部分　非选择题（共110分） 二、填空题（共5小题，每题5分，共25分） 11. 函数定义域是______． 12. 已知实数集合，，若，则_________． 13. 已知、、是任意实数，能够说明“若，则”是假命题的一个有序整数组可以是________ 14. 已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 15. 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”，则下列说法中正确的是_________． ①不是“可分集合”； ②是“可分集合”； ③四个元素的集合可能是“可分集合”； ④五个元素的集合不是“可分集合”． 三、解答题（共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 已知全集，集合，． （1）求； （2）求，． 17. 已知集合，，． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 18. （1）解关于的不等式； （2）已知正实数，，且，试比较与的大小． 19. 某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整．经调查测算，产品的年订购量（万件）与广告费用（万元）之间的关系为．已知当广告费用投入为6万元时，产品的年订购量为19万件．该厂家每生产1万件该产品，需投入12万元．另外，厂家每年还需投入30万元用于生产线的维护．规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和． （1）试求该厂家的年总成本（万元）与广告费用（万元）之间的函数关系式； （2）假定年生产成本为生产投入费用、维护投入费用的和．若该厂家年收入为年生产成本的2倍，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润最高？最高利润为多少万元？（年利润=年收入－年总成本） 20. 已知关于的不等式 的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 21. 已知集合（且），，且．若对任意，，当时，存在使得，则称A是S的m元好子集． （1）判断下列集合是否是的3元好子集：①；②；（直接写出结果，不需要说明理由） （2）若是的4元好子集，求的最小值； （3）若是（且）的m元好子集．求证：，并指出等号成立的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十二中2026-2027学年第一学期高一年级10月统一练习 数学 2026.10 本试卷共4页，满分150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题纸交回． 第一部分　选择题（共40分） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选择符合题目要求的一项） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因集合，则. 2. 已知命题，，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，即将改为，然后否定结论即可， 即命题，的否定是，. 故选：D. 3. 下列图象中，不是函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量只能有唯一的与对应， 选项ACD中，每一个都有唯一的与对应，满足函数的定义，可以是函数图象， 选项B中，出现两个不同的和同一个对应，所以不满足值的唯一性． 所以B不能作为函数图象． 4. 若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合不等式的性质逐项分析即可． 【详解】对于A，令，，，，则，不满足，故A错误； 对于B，令，，，，则，不满足，故B错误； 对于C，当时，，不满足，故C错误； 对于D，因为，且，根据不等式性质，两边除以正数，不等号方向不变，故，故D正确． 故选：D． 5. 已知、都是正数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因、都是正数，， 则由，可得. 当且仅当，即，时取等号. 所以的最大值为. 6. 已知关于x的一元二次不等式的解集为或，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】结合一元二次不等式的解集、根与系数关系求得正确答案. 【详解】依题意关于x的一元二次不等式的解集为或， 所以，解得，所以. 故选：B 7. 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先化简不等式，再判断二者间的逻辑关系 【详解】 当时，，，， 则有成立，即成立； 当时，， 即成立，但此时不成立. 综上可知，是的充分不必要条件 故选：A 8. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】应用基本不等式结合常值代换计算求解最值即可. 【详解】由可得， 因此， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值是. 9. 已知命题，，命题，恒成立．若和至多有一个为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的真假性求参，再求当和均为真命题时，参数的取值范围进而可得和至多有一个为真命题时参数的取值范围. 【详解】若命题，为真命题，则，可得； 若命题，恒成立，则，可得； 当和均为真命题时，则，即， 若和至多有一个为真命题，则实数的取值范围为或. 10. 被誉为我国“宋元数学四大家”的李冶对“天元术”进行了较为全面的总结和探讨，于1248年撰写《测圆海镜》，对一元高次方程和分式方程理论研究作出了卓越贡献.我国古代用算筹记数，表示数的算筹有纵式和横式两种，如图1所示.如果要表示一个多位数字，即把各位的数字依次横列，个位数用纵式表示，且各位数的筹式要纵横相间，例如614用算筹表示出来就是“”，数字0通常用“○”表示.按照李冶的记法，多项式方程各系数均用算筹表示，在一次项旁记一“元”字，“元”向上每层增加一次幂，向下每层减少一次幂.如图2所示表示方程为.根据以上信息，图3中表示的多项式方程的实根为（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设，可得图3的方程为，解方程即求解. 【详解】由题意知：图3表示的方程为，解得或. 故选：A. 第二部分　非选择题（共110分） 二、填空题（共5小题，每题5分，共25分） 11. 函数定义域是______． 【答案】 【解析】 【详解】令，解得， 令，， 综上可得，则定义域是. 12. 已知实数集合，，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由，分别讨论且和且的情况，得到的值即可. 【详解】已知实数集合，， 若，则集合与集合的元素完全相同， 当且时，由可得或，由可得或， 若，则集合不满足互异性，因此，所以，，此时集合满足互异性且； 当且时，可得，此时集合不满足互异性，故此情况不成立； 综上所述，，， 所以. 13. 已知、、是任意实数，能够说明“若，则”是假命题的一个有序整数组可以是________ 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，适当的进行赋值验算即可求解 【详解】根据题意，要说明其为假命题，可以令，，，此时满足，但不成立，故原命题为假命题. 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查命题及其关系，属于基础题. 14. 已知命题：“方程至少有一个解”，若的一个必要不充分条件为“”，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的根可得命题：，分析可知集合是集合的真子集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】对于命题：“方程至少有一个解”， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得且； 综上所述：. 若的一个必要不充分条件为“”， 可知集合是集合的真子集， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 15. 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”，则下列说法中正确的是_________． ①不是“可分集合”； ②是“可分集合”； ③四个元素的集合可能是“可分集合”； ④五个元素的集合不是“可分集合”． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】去掉3，由“可分集合”的定义即可判断①；逐一去掉一个元素，列举即可判断②③；不妨设，讨论在集合中去掉元素后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可判断④. 【详解】对于①，去掉3后，不满足定义，不是“可分集合”，①正确； 对于②，集合所有元素之和为， 当去掉元素1时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素3时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素5时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素7时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素9时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意， 因此集合是“可分集合”，②正确； 对于③，不妨设，去掉，则，去掉，则， 于是，与矛盾，因此一定不是“可分集合”，③错误； 对于④，不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有（1），或者（2）， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有（3），或者（4）， 由（1）（3）或（2）（4）得，矛盾； 由（1）（4）或（2）（3）得，矛盾， 因此集合不是“可分集合”，④正确． 三、解答题（共6小题，共85分．解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 16. 已知全集，集合，． （1）求； （2）求，． 【答案】（1） （2）或，或 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出集合，再利用集合的交集运算即可求解； （2）根据题意，利用集合的并集运算和补集运算即可求解. 【小问1详解】 已知，解不等式，得，所以， 因为集合，因此. 【小问2详解】 由（1）可知，已知全集，集合， 所以或，所以或， 由于，所以或． 17. 已知集合，，． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由知，分和讨论，分别求出的范围再合并. （2）由，分和讨论，排除不符合题意的情况后求出的范围. 【小问1详解】 由题意，对进行因式分解可得： ，求解可得：，因此， 解绝对值不等式可得，因此， 因为，所以，分两种情况讨论： 当为空集时：即，解得，此时空集是任意集合的子集，符合条件， 当为非空集合时：即，要使，需满足 ， 解得，综上所述，的取值范围是. 【小问2详解】 因为，且，所以集合与集合有交集， 当为空集时，即，此时，不符合题意， 当为非空集合时，即，要使，需满足， 解得，综上所述，的取值范围是. 18. （1）解关于的不等式； （2）已知正实数，，且，试比较与的大小． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式的解法，变形为一元二次不等式，求出结果即可； （2）根据作差法，对代数式进行因式分解，根据参数的大小关系，判断代数式的正负，进而比较大小. 【详解】（1）由可得， 即，即，解得， 所以不等式的解集为. （2）作差得 ， 因为，所以，所以， 即. 19. 某厂家为开拓市场，拟对广告宣传方面的投入进行调整．经调查测算，产品的年订购量（万件）与广告费用（万元）之间的关系为．已知当广告费用投入为6万元时，产品的年订购量为19万件．该厂家每生产1万件该产品，需投入12万元．另外，厂家每年还需投入30万元用于生产线的维护．规定年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和． （1）试求该厂家的年总成本（万元）与广告费用（万元）之间的函数关系式； （2）假定年生产成本为生产投入费用、维护投入费用的和．若该厂家年收入为年生产成本的2倍，当广告费用为多少万元时，厂家的年利润最高？最高利润为多少万元？（年利润=年收入－年总成本） 【答案】（1） （2）广告费为22万元时，厂家的年利润最高为284万元. 【解析】 【分析】（1）利用广告费用投入为6万元时，产品的年订购量为19万件，可直接求出值，再根据年总成本为生产投入费用、维护投入费用、广告费用的总和可列出函数关系式； （2）利用基本不等式即可求出利润最大值和此时广告费用. 【小问1详解】 由题，当时，， 厂家的年总成本（万元）与广告费用（万元）之间的函数关系式为： 【小问2详解】 设年利润为万元，则， 因为， 所以，仅当时等号成立，， 故广告费为22万元时，厂家的年利润最高为284万元. 20. 已知关于的不等式 的解集为． （1）求实数，的值； （2）若，求关于的不等式的解集； （3）若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【小问1详解】 由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. 【小问3详解】 因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得. 即所求的取值范围为. 21. 已知集合（且），，且．若对任意，，当时，存在使得，则称A是S的m元好子集． （1）判断下列集合是否是的3元好子集：①；②；（直接写出结果，不需要说明理由） （2）若是的4元好子集，求的最小值； （3）若是（且）的m元好子集．求证：，并指出等号成立的条件． 【答案】（1）不是的3元好子集，是的3元好子集. （2）20 （3）设. 先证明对任意，都有. 假设存在某个，使得. 则对，均有. 由好子集的定义可知都属于． 这些数两两不同，并且都大于，所以它们都只能出现在中． 但是前者共有个不同的数，后者只有个数，矛盾． 故. 于是 所以. 下面讨论等号成立的条件．若等号成立，则对任意，都有. 特别地，对，因为且为整数，所以. 由好子集的定义可知这个数两两不同，并且都大于，所以它们恰好是. 又因为随的增大而增大，所以. 于是，由，得. 所以. 因此等号成立时，必须有. 反过来，若，记. 任取，若. 则，由于为整数，得. 于是. 故是的元好子集，且. 所以等号成立的条件正是. 【解析】 【分析】（1）根据“好子集”的定义，检查集合中两个元素的和在不超过时是否仍属于该集合． （2）设，其中，按的取值分类讨论，求和的最小值． （3）先证明对任意，都有，再两两相加得到不等式．最后根据等号成立时的结构推出必为等差形式，并验证该形式满足条件． 【小问1详解】 ①因为，但，所以不是的元好子集． ②集合中，两数之和不超过的情况只有． 且，所以是的元好子集． 【小问2详解】 设. 若，则由好子集的定义可得. 再由. 可知至少含有这个元素，与是元集合矛盾． 故. 若，则，所以． 又，所以． 再由，得． 故. 因为是元集合，所以. 此时，并且满足好子集的定义，所以可以取到． 若，若，则由于中元素互不相同且递增，只可能有或. 当时，，但，不符合好子集的定义． 当时，，但，也不符合好子集的定义． 故当时，必有. 综上，的最小值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $