17.1 用提公因式法分解因式教学设计 2026-2027 学年人教版八年级数学上册

17.1 用提公因式法分解因式 教学设计 （2026—2027学年人教版八年级数学上册 第十七章 因式分解） 一、课程基本信息 项目 内容 课题 17.1 用提公因式法分解因式 学科 数学 年级 八年级上册 教材版本 人教版（2024新版） 章节 第十七章 因式分解 → 17.1 用提公因式法分解因式 课型 新授课 课时安排 共2课时（每课时45分钟） 授课对象 八年级学生 二、教材分析 因式分解是人教版八年级上册第十七章的核心内容，是学生在学习了整式的乘法之后，对代数式进行的又一种重要恒等变形。从知识体系来看，因式分解与整式乘法互为逆运算，是连接整式运算与后续分式运算、一元二次方程求解、二次函数解析式变形的重要桥梁，具有承上启下的关键作用。 本节内容教材编排遵循“概念引入—方法探究—应用提升”的认知规律：先通过整式乘法的逆运算引出因式分解的概念，再引导学生观察多项式各项的共同特点，抽象出公因式的概念，进而归纳出提公因式法的一般步骤。教材例题由浅入深，先安排公因式为单项式的基本题型，再过渡到公因式为多项式的稍复杂题型，符合学生从具体到抽象、从简单到复杂的认知规律。 本节内容承载着培养学生逆向思维能力和整体思想的重要任务，是发展学生代数推理素养和运算能力的重要载体。 三、学情分析 （一）已有知识基础 八年级学生已经系统学习了整式的乘法运算，包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式，以及平方差公式和完全平方公式的正向运用，具备了一定的代数运算基础。这些知识为理解因式分解与整式乘法的互逆关系、探索提公因式法奠定了必要的认知前提。 （二）认知难点分析 学生的主要困难集中在以下三个方面：一是逆向思维转换不习惯，习惯于从左到右的整式乘法，反过来从多项式倒推因式乘积形式存在思维障碍；二是准确找公因式有难度，尤其是当公因式是多项式（如b+c、x-y）时，学生缺乏整体观察的意识；三是提公因式后的符号处理和“漏1”问题，是学生最容易出错的地方。 （三）学习特点 八年级学生正处于形象思维向抽象思维过渡的关键阶段，对具体、直观的问题更容易理解。教学中需要通过图形面积、具体数字运算等直观情境引入概念，再逐步抽象到一般形式，帮助学生完成从具体到抽象的认知过渡。同时，学生个体差异较为明显，需要设计分层练习兼顾不同水平学生的学习需求。 四、素养目标 （一）抽象能力与符号意识 1. 通过整式乘法与因式分解的对比观察，能从具体多项式中抽象出因式分解的概念模型，感知多项式与整式乘积之间的互逆关系，发展抽象概括能力与符号意识。 2. 经历从具体实例中归纳找公因式方法的过程，能准确概括“定系数、定字母、定指数”三步法，体会从特殊到一般的归纳思想。 3. 在公因式为多项式的探究中，能将(b+c)、(x-y)等多项式看作整体，发展整体思想与结构化思维。 （二）运算能力与推理意识 1. 能熟练运用提公因式法将多项式分解为整式乘积的形式，包括公因式为单项式和公因式为多项式两种基本类型，运算步骤规范、结果准确。 2. 能通过整式乘法对因式分解结果进行检验，在互逆变形的对比中发展逆向推理能力和逻辑推理意识。 3. 能识别并纠正提公因式法中的常见错误（漏写“1”、符号错误、公因式未提尽），养成严谨运算、反思检验的良好习惯。 （三）模型观念与应用意识 1. 能运用提公因式法解决代数式化简求值问题（如整体代入求值），体会因式分解在简化运算中的模型作用。 2. 能运用提公因式法解决简单几何面积问题和实际计算问题，感受数学与生活的联系，发展应用意识。 3. 在自主探究与合作交流的过程中，体验发现数学规律的乐趣，增强学习数学的自信心和探究热情。 五、教学重难点 教学重点：理解因式分解的概念，掌握提公因式法分解因式的步骤和方法，能准确找出多项式各项的公因式并完成分解。 教学难点：准确找出多项式的公因式（尤其是公因式为多项式、首项系数为负数的情况）；提公因式后另一个因式的正确确定（不漏项、不错号）。 六、教学准备 1. 多媒体课件（PPT），包含情境图片、例题演示、课堂练习题。 2. 预习任务单（提前布置整式乘法复习题，为新课做铺垫）。 3. 课堂练习单（分层设计，含基础题、提升题和选做题）。 七、教学过程 第1课时 提公因式法（公因式为单项式） 教学环节与时间 教师活动 学生活动 设计意图 环节一 创设情境 导入新课 （约5分钟） 【复习提问】 1. 单项式乘多项式的法则是什么？用字母表示。 板书：m(a+b+c) = ma+mb+mc 【图形情境】 出示大长方形由三个小长方形组成，长分别为a、b、c，宽都是m。 引导从两个角度表示面积： 角度一：ma+mb+mc 角度二：m(a+b+c) 【提出问题】 观察两个式子，它们之间有什么关系？ 图1 大长方形面积情境示意图 回顾单项式乘多项式法则，完成填空： （1）x(x+1)=____ （2）(x+1)(x-1)=____ 观察图形面积的两种表示方法，思考等式两边的联系。 从学生已掌握的整式乘法和图形面积直观情境入手，为因式分解概念引入做铺垫。通过“正向”与“逆向”两种表达形式对比，让学生初步感知互逆变形，激发探究兴趣。 环节二 观察归纳 形成概念 （约12分钟） 【探究1】把多项式写成整式乘积形式： （1）x²+x = ____ （2）x²-1 = ____ 【引出定义】 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。 对比辨析：因式分解与整式乘法方向相反，互为逆运算。 【探究2】观察多项式各项共同特点： （1）pa+pb+pc （2）x²+x 引出公因式概念。 【归纳三步法】 ①定系数：各项系数的最大公约数 ②定字母：各项都含有的相同字母 ③定指数：相同字母的最低次幂 【练一练】找公因式： （1）ma+mb （2）4kx-8ky （3）5y³+20y² （4）a²b-2ab²+ab 【参考答案】（1）m （2）4k （3）5y² （4）ab 独立完成填空，观察等式两边结构特点，讨论归纳因式分解概念。 观察多项式各项共同特点，尝试自己总结找公因式的方法。 完成“练一练”，互相核对答案。 通过“观察—对比—归纳”探究过程，让学生经历概念形成过程。找公因式三步法的归纳，为后续正确分解奠定方法基础。练一练及时巩固，帮助学生初步掌握找公因式的技能。 环节三 例题精讲 规范步骤 （约13分钟） 【例1】把8a³b²+12ab³c分解因式。 分析： 系数：8和12最大公约数是4 字母：相同字母a、b 指数：a最低次幂a¹，b最低次幂b² 公因式：4ab² 板书规范解答： 8a³b²+12ab³c =4ab²·2a²+4ab²·3bc =4ab²(2a²+3bc) 【检验】用整式乘法乘回去验证。 【易错点辨析】 判断下列分解是否正确？ （1）3b²+5ab+b=b(3b+5a) （错：漏了+1） （2）x²+xy=x²(1+) （错：不能出现分式） 【补充例题】 分解3x²-6xy+x（强调最后一项提x后剩1） 跟随教师分析思路，理解找公因式和提公因式的完整步骤。 尝试独立完成例题，对照规范解答检查书写格式。 参与易错点辨析，思考错误原因，记录注意事项。 通过规范例题示范，让学生掌握提公因式法的完整步骤和书写格式。易错点辨析针对学生最常犯的“漏1”错误进行专项强调。检验方法的渗透，培养学生严谨的运算习惯。 环节四 分层练习 巩固新知 （约10分钟） 【必做题】 1. 下列属于因式分解的是（ ） A. a(a-b+1)=a²-ab+a B. a²-a-2=a(a-1)-2 C. -4a²+9b²=-(2a+3b)(2a-3b) D. x²-4x+5=(x-2)²+1 2. 多项式12xyz-9x²y²的公因式是（ ） A. 3xyz B. 3x²y² C. 3xy D. 3x²y 3. 分解因式： （1）4a³c²+12ab³c （2）3x²-6xy+3x （3）-24x³+12x²-28x （4）a²b-2ab²+ab 【选做题】 4. 利用因式分解计算：39×37-13×91 【参考答案】1. C 2. C 3.（1）4ac(a²c+3b³) （2）3x(x-2y+1) （3）-4x(6x²-3x+7) （4）ab(a-2b+1) 4. 39×37-13×91 = 13(3×37-91) = 13×20 = 260 独立完成必做题，学有余力的同学完成选做题。 同桌之间互相检查答案，发现问题及时讨论。 必做题覆盖因式分解概念辨析、公因式识别和基本分解方法，巩固核心知识。选做题联系简便运算，体现因式分解的应用价值，满足学有余力学生的发展需求。 环节五 课堂小结 （约3分钟） 引导回顾： 1. 什么是因式分解？与整式乘法有什么关系？ 2. 找公因式的三步法是什么？ 3. 提公因式法的步骤有哪些？ 4. 分解后要注意什么？（检验、不漏1、分解彻底） 学生自主归纳总结，用自己的话复述核心知识点。 通过问题引导学生主动梳理知识体系，加深对本节课核心内容的理解和记忆。 环节六 布置作业 （约2分钟） 【必做题】教科书习题17.1 第1、2、3题。 【选做题】 1. 已知x+y=6，xy=4，求x²y+xy²的值。 2. 分解因式： (1) 2a(b+c)-3(b+c) (2) x(a-b)+y(b-a) （提示：预习下节课内容） 【参考答案】1. x²y+xy² = xy(x+y) = 4×6 = 24 2.（1）(b+c)(2a-3) （2）(a-b)(x-y) 记录作业，明确分层要求。 分层作业体现因材施教，必做题巩固基础，选做题为下节课预习做铺垫。 第2课时 提公因式法进阶（公因式为多项式） 教学环节与时间 教师活动 学生活动 设计意图 环节一 复习回顾 导入新课 （约5分钟） 【复习提问】 1. 什么是因式分解？与整式乘法的关系？ 2. 找公因式的三步法是什么？ 【快速练习】找公因式： （1）6a²b-9ab² （2）-12x³+6x²-3x 【提出新问题】 如果公因式是多项式，比如2a(b+c)-3(b+c)，怎么分解？ 【参考答案】（1）3ab （2）-3x（或3x） 集体回答问题，快速完成找公因式练习。 思考新问题，产生探究欲望。 通过复习上节课核心知识，为新课学习做好铺垫。从单项式公因式自然过渡到多项式公因式，设置认知冲突，激发探究兴趣。 环节二 类比迁移 探究新知 （约10分钟） 【探究】分解因式2a(b+c)-3(b+c) 引导思考： （1）多项式有几项？分别是什么？ （2）两项有没有公共因式？把(b+c)看作整体，发现了什么？ （3）能类比上节课方法提取公因式吗？ 板书解答： 2a(b+c)-3(b+c) =(b+c)·2a-(b+c)·3 =(b+c)(2a-3) 【强调整体思想】把(b+c)看作一个整体。 【再探】分解a(x-y)+b(y-x) 引导观察：(x-y)和(y-x)有什么关系？ 发现：y-x=-(x-y) 板书解答： a(x-y)+b(y-x) =a(x-y)-b(x-y) =(x-y)(a-b) 跟随教师问题引导，逐步思考多项式公因式的分解方法。 尝试自己动手分解，体会整体思想的运用。 观察(x-y)与(y-x)的关系，发现变号规律。 通过类比迁移，引导学生将上节课方法推广到公因式为多项式的情况，培养迁移能力和整体思想。通过(x-y)与(y-x)的变号问题，突破符号处理难点。 环节三 例题精讲 突破难点 （约15分钟） 【例2】把2a(b+c)-3(b+c)分解因式。 分析：把(b+c)看作整体，公因式就是(b+c)。 解：原式=(b+c)(2a-3) 【例3】把6(x-2)+x(2-x)分解因式。 分析：(x-2)与(2-x)互为相反数，先统一。 解： 6(x-2)+x(2-x) =6(x-2)-x(x-2) =(x-2)(6-x) 【例4】把-4a³+16a²-18a分解因式。 分析：首项为负，先提负号，括号内各项变号。 解： -4a³+16a²-18a =-(4a³-16a²+18a) =-2a(2a²-8a+9) 【三大易错点强调】 ① 提公因式后不要漏掉“1” ② 首项为负提负号后，括号内各项要变号 ③ 公因式要提尽，不能只提一部分 认真听讲，跟随教师分析思路，理解每一步变形依据。 在练习本上独立完成例题，对照规范解答检查。 记录易错点，用自己的话复述注意事项。 通过三个梯度递进的例题，覆盖公因式为多项式、需变号找公因式、首项为负三种典型情况，全面突破本节课难点。易错点系统归纳，帮助学生形成完整注意事项清单。 环节四 分层练习 巩固提升 （约10分钟） 【必做题】 1. 分解因式： （1）5a(m+n)-3b(m+n) （2）7(x-3)-x(3-x) （3）-3ma³+6ma²-12ma （4）6p(p+q)-4q(p+q) 2. 下列分解正确的是（ ） A. 3x²-6xy+3x=3x(x-2y) B. ab-ac+a=a(b-c) C. -x²+xy-xz=-x(x-y+z) D. 2a²b-4ab²=2ab(a-2b+1) 【选做题】 3. 圆形钢板半径R=7.5cm，挖去四个半径r=1.25cm的小圆，求剩余面积。（先因式分解再计算） 4. 已知a+b=5，ab=3，求a²b+ab²的值。 【参考答案】1.（1）(m+n)(5a-3b) （2）(x-3)(7+x) （3）-3ma(a²-2a+4) （4）2(p+q)(3p-2q) 2. C 3. πR²-4πr² = π(R-2r)(R+2r) = 3.14×5×10 = 157(cm²) 4. a²b+ab² = ab(a+b) = 3×5 = 15 独立完成必做题，选做题供学有余力的同学思考。 小组内互相检查，讨论疑难问题。 必做题针对本节课三种典型类型进行专项训练。选做题联系几何图形面积和代数式求值，体现因式分解在简化运算中的作用，培养应用意识和整体代入思想。 环节五 课堂小结 （约3分钟） 引导总结： 1. 公因式是多项式时怎么找？（看作整体） 2. 遇到(x-y)和(y-x)怎么处理？（变号化同） 3. 首项为负时注意什么？（提负号、各项变号） 4. 提公因式法一般步骤？ 【口诀总结】 第一步：找公因式 第二步：提公因式 第三步：查一查 学生总结发言，互相补充完善。 记忆口诀。 通过问题引导和口诀总结，帮助学生系统梳理提公因式法的完整步骤和注意事项，形成清晰的方法体系。 环节六 布置作业 （约2分钟） 【必做题】教科书习题17.1 第4、5、6题。 【选做题】 1. 分解因式：(a+b)²-2(a+b) 2. 已知2x+y=4，xy=3，求2x²y+xy²的值。 3. 计算：29×20.26+72×20.26+13×20.26-20.26×14 【参考答案】1. (a+b)(a+b-2) 2. 2x²y+xy² = xy(2x+y) = 3×4 = 12 3. 原式 = 20.26(29+72+13-14) = 20.26×100 = 2026 记录作业，明确分层要求。 分层作业巩固基础，选做题拓展思维，培养综合运用能力。 八、板书设计 第1课时板书： 17.1 用提公因式法分解因式（一） 一、因式分解：多项式 → 几个整式的积（与整式乘法互逆） 二、公因式：各项都含有的相同因式 找公因式三步法： ① 定系数：最大公约数 ② 定字母：相同字母 ③ 定指数：最低次幂 三、提公因式法：pa+pb+pc = p(a+b+c) 步骤：找公因式 → 提公因式 → 检验 注意：不要漏掉“1”！ 第2课时板书： 17.1 用提公因式法分解因式（二） 一、公因式为多项式：把多项式看作整体 例：2a(b+c)-3(b+c) = (b+c)(2a-3) 二、符号处理：(y-x) = -(x-y) 例：a(x-y)+b(y-x) = (x-y)(a-b) 三、首项为负：提负号，各项变号 例：-4a³+16a²-18a = -2a(2a²-8a+9) 四、易错点：漏1、错号、公因式没提尽 九、作业设计说明 本课时作业采用分层设计，体现因材施教原则： 1. 必做题面向全体学生，紧扣本节课核心知识点，巩固基本方法和基本技能，要求所有学生独立完成。 2. 选做题面向学有余力的学生，注重知识的综合运用和思维拓展，包括整体代入求值、简便运算、几何应用等题型，培养学生的应用意识和创新思维。 3. 作业量适中，避免机械重复训练，注重作业的针对性和有效性。 十、教学反思 1. 本节课从学生已掌握的整式乘法出发，通过互逆变形引出因式分解的概念，符合学生的认知规律，学生容易理解和接受。教学中应注意给学生充分的观察和思考时间，让学生自己发现规律，而不是教师直接给出定义。 2. 教学中需特别关注三个易错点：①提公因式后剩余项容易漏写“1”；②首项为负时，提负公因式后括号内各项要变号；③公因式要提尽，不能只提一部分。应通过辨析练习和错例分析，让学生在对比中加深认识。 3. 公因式为多项式的情况是本节课的难点，教学中要注重整体思想的渗透，通过类比、迁移等方式，引导学生把多项式看作一个整体来处理。对于(x-y)与(y-x)的变号问题，要让学生理解为什么要变号，而不是机械记忆。 4. 应强调检验的重要性：分解因式后，用整式乘法乘回去检验，是最直接有效的自查方法。要让学生养成“做完必检”的良好习惯，这不仅能提高正确率，也有助于深化对因式分解与整式乘法互逆关系的理解。 5. 分层练习和分层作业的设计，要根据课堂实际情况灵活调整。如果学生基础较好，可以适当增加综合应用的题目；如果学生掌握有困难，则应放慢进度，增加基础练习的比例，确保每位学生都能扎实掌握提公因式法的基本方法。 学科网（北京）股份有限公司 $