河南省南阳市部分校联考2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三数学试卷（二） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.“几何体ABCD是正四面体”是“几何体ABCD是正三棱锥”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 p C.充要条件 D,既不充分也不必要条件 2.设a=log6,b=7A.7,c=√3-2，则 欧 A.c<<a B.c<a<6 C.a<c<b D.6<c<a 3.已知集合A={x∈N|-1<x<4},B={x|x3<3x2},则A∩B= A.{1) B.{1,2) C.{0,1) D.{0,1,2} 4.已知函数f(x)=x5一10x3+50x,若曲线y=f(x)在点(a,f(a)处的切线L的斜率等于 如 10,则这样的切线1有 A.1条 B.2条 C.4条 D.无数条 5.已知pH=一lgc(H),则pH=7的溶液的c(H)是pH=8的溶液的c(H)的 封 a品 B.10倍 c号格 D居 6,若函数f(e)=x(2z-a)的所有极值点之和为号，则fx)的所有极值点之积为 A C.2 7当xe>1时xe产≥a(1+)恒成立，则a的最大值为 A.1 B.e2 C.e D.2e 线 8.已知定义在R上的函数f(x)满足①Hx∈R,f(x+2)=-一2f(x),②Hx∈[-1,1]， f(-x)=f(x),③Hx∈[0,1]，f(x)=x2+mx十n,则f(10)-22m+10n= A.32 B.22 C.-32 D.-22 班 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分、 9.若a>b,c>0,则 A.2ab B.avc>b/c C.a2c-b2c D.c>b-a 【高三数学第1页（共4页）】 ·C2· 10.若函数f(x)=e十x2一m的零点个数为a,则函数g(x)=xa+8一x“的图象可能为 D 11.设f(x)是定义在R上的可导函数，且f(x)>0.记F(x)=[f(x)]3.若对任意x∈R, F'(x)>6xF(x)恒成立，则 A.f'(x)2af(a) B.e2f(0)<f(2) C.f(-1)>f(1) D.当x∈（年，）时，e“f(sinx)>f(cosx) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若log2m十log2n=3,则m十2n的最小值为 13.若直线y=x(k∈R)是曲线y=ln(2x)与曲线y=2e一m(m∈R)的公切线，则m= 14.某采气井A到道路（视为直线）的垂直距离为20m,垂足为B,道路上距离B点210m处建 有标准化集气中转站C,现拟在道路段BC上选取阀室点位D(管道检修截断设施).已知跨 沟躁管沟(A→D直线段)单位造价是道路管沟(D→C直线段)单位造价的信，若要使管 线A→D→C的总造价最低，则D与B之间的距离应为▲m. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记使得不等式x2一mx十m>0对任意的x∈R恒成立的实数m的所有取值的集合为A,非 空集合B={x|2m+1<x<3m). (1)求集合A; (2)若x∈B是x∈A的充分不必要条件，求m的取值范围， 16.(15分) 已知函数f(x)=-1og(x十)+1og(4红+). 1)证明：2<f(1)<是 (2)若a>0且a≠1，不等式f(c)>log,3对任意的x∈(2，十∞)恒成立，求a的取值范围 17.(15分) 已知函数f(x)=e-1一ax2. (1)若f(x)在(0，十∞)上有2个零点，求a的取值范围； (2)证明：(1nx-1)·2ln[f(x)+ax2]+1>0. 【高三数学第3页（共4页）】 ·C2· 18.(17分) 已知函数f(a:）=1nm(m>0),且函数f(2)的定义域为(-4,4). 22十x (1)求m的值. (2)若函数g)=(+）在1,4)上单调，求n的取值范围 (3)试问是否存在c∈(0，m),使得f(x)在[a,b]上的值域为[ln(ac),ln(bc)门？若存在，求c 的取值范围；若不存在，请说明理由. 弥 19.(17分) sin x 设函数f(x)= x2+4x+3 1)证明：Vx∈[0，+o),f)≤z年g 封 (2)证明：对任意正整数n,f(x)在(n,n元十)上存在唯一的极值点 (3)记(2)中f(x)在(nπ，n元十交）上的极值点为工，设点A(x,0),证明：存在定点B,使 得|f(xn)川·|AnB2为定值. 线 【高三数学第4页（共4页）】高三数学试卷（二）参考答案 1.A若几何体ABCD是正四面体，则几何体ABCD是正三棱锥；若几何体ABCD是正三棱 锥，则几何体ABCD不一定是正四面体.故“几何体ABCD是正四面体”是“几何体ABCD 是正三棱锥”的充分不必要条件. 2.B因为0<a=log6<log77=1,b=707>1,c=√3-2<0，所以c<a<b. 3.B由题意得A={0,1,2,3},B={xx<3且x≠0}，所以A∩B={1,2). 4.C由题意得f'(x)=5x4-30x2+50=5(x2-3)2+5,则f′(a)=5(a2-3)2十5=10，解得 a=2或a=一2或a=√2或a=一√2，故这样的切线l共有4条，且斜率均为l0. p=7时，c)=10:当pH=8时，c()=108,所以所求比值为 6.Cf'(x)=(2x-a)2+4x(2x-a)=(2x-a)(6x-a),易得a≠0，令f(x)=0,得x=g 或x=合因为f'x)是图象开口向上的二次函数，所以号，都是fα)的极值点，所以号+ 合号解得a=1经验汇符合意意，所以号·台台立 7.D由xe产≥a(1+2）,得(xe)≥a(x+lnx)=aln(xe.令t=lh(xe),则>0.由 reP≥ahe),可得a<号令g)-号>0)，则ga)=2少，则g在(0， 号)上单调递诚，在（分，十e∞）上单调递增，则g(e)≥g(2)=2e,从而a≤2e,则a的最大值 为2e. 8.B由题可得f(-1)=f(1).由f(x+2)=-2f(x),可得f(1)=-2f(-1),则f(1)=1+ m+n=0.由f(x+2)=-2f(x),得f(x+4)=4f(x),则f(10)=4f(6)=16f(2)= -32f(0)=-32m,则f(10)-22m+10n=-22(m+n)=22. 9.BD取a=-1,b=-2,则2a=b,a2<b2,a2c<b2c,A错误，C错误.因为a>b,Wc>0,所 以aNc>bWE,B正确.c>0>b-a,D正确： 10.ACD令f(x)=0,得e=一x2+m,分别画出函数y=e2与函数y=一x2+m的图象.如 图1，两个函数的图象恰有2个交点；如图2，两个函数的图象恰有1个交点；如图3，两个函 数的图象没有交点.所以f(x)的零点个数可能为0或1或2，即a的值可能为0或1或2. 当a=0时，g(x)=x2-1(x≠0)，D正确.当a=1时，g(x)=x3-x,g(x)为奇函数，且 g(-1)-g(0)=g(1)=0,C正确.当a-2时，g(x)=x4-x2,g(x)为偶函数，且g(-1) =g(0)=g(1)=0,A正确. 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 ·C2· 图1 图2 图3 11.ABD由题意得F'(x)=3[f(x)]f'(x),因为F'(x)>6xF(x),所以3[f(x)]2f'(x)> ].因为fx)>0,所以fz)>2z/),A正确，设函数g)=,则g'(位 =ef'(x)-2xef_f'()-2af(x)0,所以g(x)为R上的单调递增函数，所以 e22 g(-1)<g(1),即f(-1)<f(1),C错误.由g(0)<g(W2),得ef(0)<f(W2),B正确.若 x(年，，则sinx>cosx,得g(sinx)>g(cosx),则fsin>fcos esin 2,即 esrf(sinx)>f(cosx),D正确。 12.8因为l1og2m+log2n=1og2(mn)=3(m>0,n>0),所以mn=23=8,所以m+2m≥ 2v2mn=8,当且仅当m=2n=4时，等号成立. 13.兰设f(x)=n(2x),则f()=是.设直线y=x与曲线y=lhn(2x)相切于点(a, a(2a)》,则k=日，所以1h(2a)日a=1,解得a=号，所以切线方程为y=总.设g(） =2e-m,则8x)=2心，令2g-是解得x=-1,所以2n=-名 ,得m=4 14.15如图，设DB=xm,道路管沟的单位造价为a,管线A→D-→C的总造价为y, 则y-a(210-z)+3aV400+z=a(210-x+号400+)(0≤r≤210)，则y a(-1+ g400十元己，当0<25时y/<0,当15<<210时w>0,所以当x5时 y取得最小值. 15.解：(1)根据题意可得△=m2一4m<0,…2分 解得0<4，… 4分 所以A=(0,4).… …5分 (2)若x∈B是x∈A的充分不必要条件，则B是A的真子集，…7分 2m+1<3m, 所以2m十1≥0，且等号不同时取得，…10分 3m≤4 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 ·C2· 解得1<m≤行 4 12分 故m的取值范围为(1，号]， 13分 16.(1)证明：f(1)=log32+1og35=log310. …1分 因为log310>log39=2,所以1og310>2. 3分 又102-(93)2=100-81×√3<0，所以100<813，所以1og100<1og381V3,即21og10 <1g3,所以1og10<,即f1)<号 5分 故2<f1)<是. 6分 (2)解：fx)=log[(x+)(4x+2)]=l1og(4x2+是3+5). …7分 因为x>所以红+≥2√2· 2 =4 …8分 当且仅当4，即x号时，等号成立，… 9分 所以f(x）血=log39=2.… 10分 依题意可得2>l0g。3.… 11分 当0<a<1时，log.3<0<2,则0<a<1满足题意. 12分 当a>1时，log。3<2=loga2,… …13分 则3<a2,又a>1,所以a>√3.… 14分 综上，a的取值范围为(0,1)U(W3,十∞).…15分 17.(1)解：因为f(x)在(0，十∞)上有2个零点，所以e1一ax2=0在(0，十∞)上有2个解， 到a三在0，+∞)上有2个解，即直线y=a与g(x)=,。的图象在(0，+∞上 个交点。 …1分 g'(x)=e1(x-2) x3 2分 当x∈(0,2)时，g(x)<0,g(x)单调递减；…3分 当x∈(2，+o∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增. 4分 g(2)=4,当x→0时，g(x）→十o∞，当x→十o∞时，g(x)→+o∞，… 5分 所以a的取值范围为(，十o∞) ，…6分 (2)证明：(lnx-1)·2ln[f(x)十a.x2]+1=2(x-1)(lnx-1)+1.…7分 设h(x)=2(x-1)(nx-1)+1,h'(x)=2lnx- ，根据函数单调性的性质得M'(x)在 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 ·C2· (0,十0∞)上单调递增，…8分 因为h'(1)=-2<0,h'(2)=21n2-1>0,所以存在xo∈(1,2)，使得h'(xo)=0.…9分 当x∈(0，xo)时，h'(x)<0,h(x)单调递减；当x∈(xo,十∞)时，h'(x)>0,h(x)单调递 增。…10分 所以h(x)≥h(x0)=2(xo-1)(lnx0-1)+1,…11分 因为c)-2h,名-0，所以1h。 …12分 h(x)=2。-1D(2。-1)+1=5-2(x+) …13分 因为，∈1,2，所以+(2，)a,）-5-2(+2)∈0，D,即A=>0, …14分 故h(x)>0,即(lnx-1)·2ln[f(x)+ax2]+1>0. …15分 18.解：(1)因为f(2x)的定义域为（一4,4），所以f(x)的定义域为（一8,8）.…1分 m+x Z0,解得-<z<m,… 所以m=8. …4分 (2由1①得f)=1n8h(-1+g6）》 因为函数y=一1士8在（一8,8）上单调递减，所以f(x)在（一8,8）上单调递减。…5分 n>0, 若g(x)在(1,4)上单调递增，则√n≥4， 无解；… …6分 1十n≤8， [n>0, n<0, 若g(x)在(1,4)上单调递减，则n=0或n≤1， 或 1十n≥-8， …9分 4+≤8 4+<8, 解得n=0或0<n≤1或-9≤n<0,即-9≤n≤1.… 10分 故n的取值范围为[一9,1].…11分 (3)假设存在c∈(0,8)，使得f(x)在[a,b]上的值域为[ln(ac),ln(bc)门]. f (a)=In(bc), 因为ac>0,bc>0,所以0<a<b<8,f(x)在[a,b]上单调递减，所以 f(b)=In(ac), ……12分 8-a 8+a =In(bc), (8-a=b 8+a 即 则 8-b 8-b 两式相降得8中的-会 ，…14分 In 8+b In(ac), (8+b=ac 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 ·C2· 即a(8-a)(8+b)=b(8+a)(8-b),化简得(8+a)(8+b)=128, 所以b= 128 8+a -8=64-8a 8+a …15分 8-a8-a1 所以c=68+a)-64-8a-8'1 16分 所以存在符合题意的c,且c的值为8 17分 1a明.)希0千-0+奇 …1分 令g(x)=sinx-x2-x,则g'(x)=cosx-2x-1,令p(x)=cosx-2x-1,则p'(x)= -sinx-2<0, 所以o(x)在[0，十o∞)上单调递减，则p(x)≤p(0)=0,…2分 即g’(x)≤0，所以g(x)在[0，十∞)上单调递减，则g(x)≤g(0)=0,所以sinx一x2一x≤ 0在[0，十0∞)上恒成立.…3分 因%(+1+3》>6，所以f)二写0-+高0放V:E0,+e) x+3 ……4分 (2)h(x)=(x2+4x+3)cos x-(2x+4)sin x,h'(x)=-(x2+4x+5)sin z. 当x∈(n,n+受)时，若n为偶数，sinx>0,h'(x)<0,h(x)单调递减，若n为奇数， sinx<0,h'(x)>0,h(x)单调递增，所以h(x)在(n元，n元十)上单调.… 6分 又h(n)=(-1)[(n元)2+4uπ十3]，h(n元+）=(-1)+(2mx+x+4), 因为对于任意正整数n,(nπ)2+4m元十3>0且2m元十元十4>0，所以h(mx)h(n元十)<0. 因为h(x)的图象是连续不断的，所以结合h(x)在(n,n元十）上的单调性可知，存在唯一 的xn∈(n元，n元十），使得h()=0.…8分 h(x) 又f')厂中z+3,且(x+4红+3)>0对x>0恒成立，所以当x∈(nx,nx+2) 时，h(x)与f'(x)同号，零点相同，即f'(x)在xm左、右两侧的符号相反，且f'(xn)=0. 故对任意正整数n,f(x)在(n元，n元十)上存在唯一的极值点.…10分 (3)由(2)可知f'(xm)=0,即(x员+4xn+3)cos n-(2xn十4)sin x=0. 令tn=xm十2.因为xm>0,所以tm>2.将xn=tm一2代人上式，可化简为(t一1)COS n一 2 tn sin=0,即(t一l)cos n=2 tn sin n· 由x,∈(n,nx+),得cosx≠0且2，>0， 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 ·C2· sin n sin n cos n 所以f(x.)=x+4x.+3&-12 t场-1 1 又tann=2tn 4t品 4t+(t-1)2: …12分 因为4t+(t-1)2=t+2t号+1=(t号十1)2，所以COs= Atz (t+1)2 由32得系10，则a质以f-l 1 2tn t员+1 1 将i.=xn+2代人，得1fx,)川=(x,+2)2+1十4红十5 1 …14分 设定点B(x0,y),则|AnB|2=(xm-xo)2+y=x-2xoxn十x8+y6, 所以f(x)·|A,B2=-2xx,十号+y x员+4xm+5 若使其为定值C恒成立，只需x员一2xoxm十x十y=C(x+4xm十5).比较得C=1,一2x0 =4C,x6+y=5C,解得xo=-2,y=1,即yo=1或yo=-1, 所以存在定点B(一2,1)或B(-2,一1)，使得|f(xm)·|AB|2为定值1.·17分 可只 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】 ·C2