河南商丘市应天高级中学2026-2027学年高三上学期10月检测数学试题

高三上学期10月数学试题 一、单选题(本大题共8小题，共40分。) 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足（为复数单位），则（ ） A． B． C． D． 3．已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（　　） A． B． C． D． 5．著名数学家华罗庚先生曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，我们经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如某体育品牌的LOGO为，可抽象为如图所示的轴对称的优美曲线，下列函数中，其图象大致可“完美”局部表达这条曲线的函数是（ ） A． B． C． D． 6．已知直线过点，则（ ） A． B． C． D． 7．《易经》中记载着一种几何图形一一八封图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边形的边长为8，代表阴阳太极图的圆的半径为2，则每块八卦田的面积为（ ）. A． B． C． D． 8．已知函数，若，则 A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，共18分。) 9．设、分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的有（ ） A． B．当时，C的离心率是2 C．到渐近线的距离随着n的增大而减小 D．当时，C的实轴长是虚轴长的两倍 10．已知向量，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若在上的投影为，则向量与的夹角为 C．存在，使得 D．的最大值为 11．在长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法正确的是（ ） A．平面 B．与平面所成角的正切值的最大值是 C．的最小值为 D．以为球心，为半径的球面与侧面的交线长是 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分。) 12．若抛物线上一点P到焦点的距离为5，则点P的纵坐标为________． 13．的展开式中的常数项为____________________.(用数字作答) 14．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次"扩展".将数列1，2进行"扩展"，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2；....扩展得到的数列的第6项为___________；设第n次“扩展"后得到的数列为，并记，其中，则数列的前项和为___________. 五、解答题(本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。) 15．本小题3分在中，角所对的边分别为，且满足． （1）求角的值； （2）若且，求的取值范围． 16．本小题5分甲、乙两组各有位病人，且位病人症状相同，为检验、两种药物的药效，甲组服用种药物，乙组服用种药物，用药后，甲组中每人康复的概率都为，乙组三人康复的概率分别为、、． （1）设甲组中康复人数为，求的分布列和数学期望； （2）求甲组中康复人数比乙组中康复人数多人的概率． 17．本小题5分如图，七面体的底面是凸四边形，其中，，，垂直相交于点O，，棱，均垂直于底面. （1）证明：直线与平面不平行； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 18．本小题7分已知函数． （1）当时，讨论函数的极值； （2）若存在，使得，求实数的取值范围． 19．本小题7分已知椭圆过点，，其上顶点到直线的距离为2，过点的直线与，轴的交点分别为、，且. （1）证明：为定值； （2）如上图所示，若，关于原点对称，，关于原点对称，且，求四边形面积的最大值. 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】 求解集合，根据并集的计算方法计算即可. 【详解】 ，， ∴MN. 故选：A. 2．D 【分析】 根据题意，化简得到，结合复数的除法运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】 由复数满足，可得. 故选：D. 3．B 【分析】 先考虑充分性，看则“A＝－B”是否能推出“数列{an}是等比数列”，再考虑必要性，看“数列{an}是等比数列”是否能推出则“A＝－B”. 【详解】 当A＝－B＝0时，Sn＝0，an＝0，{an}不是等比数列；若数列{an}是等比数列，当q＝1时，Sn＝A＋B，所以an＝0(n≥2)，与数列{an}是等比数列矛盾，所以q≠1，Sn＝，所以A＝－，B＝，所以A＝－B.因此“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的必要不充分条件，故选B. 4．C 【分析】 求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积． 【详解】 解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l， 由，得， 又， 所以，解得； 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为． 故选：C． 5．C 【分析】 判断函数的奇偶性，函数值的正负确定正确选项． 【详解】 优美曲线关于轴对称，为偶函数， 中函数为奇函数，排除，同理D中函数也是奇函数，排除，A，C都是偶函数， 时，， 只有C满足优美曲线在附近的正负，排除A． 故选：C． 6．D 【分析】 根据题意可知点在单位圆上，所以直线与该圆有交点，由点到直线的距离可得答案. 【详解】 由可得点在单位圆上， 所以直线和圆有公共点. 所以圆心到直线的距离，即得到. 故选：D 7．A 【分析】 根据正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为，设等腰三角形的腰长为，由正弦定理求得的值，求得三角形的面积，进而求得每块八卦田的面积. 【详解】 由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为， 设等腰三角形的腰长为， 由正弦定理可得，解得， 所以三角形的面积为， 则每块八卦田的面积为. 故选：A. 8．C 【分析】 由题，先求得函数在上单调递增，再由判断出，根据单调性可得结果. 【详解】 由题意可得： 可知在上单调递增； 作出与的图象， ，可得，故， 故选:C. 9．AC 【分析】 由已知条件值，根据，，，可计算的值，进而可判断选项A；直接计算可判断选项B；计算到渐近线的距离用表示，即可判断选项C；当时求出得值，可得的关系可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】 对于选项A：由双曲线的方程可得，， 所以， 因为，所以， 所以，可得：，故选项A正确； 对于选项B：当时，双曲线，此时，， 所以离心率，故选项B不正确； 对于选项C：中，由选项A知：，，，的渐近线方程为， 不妨取焦点，则到渐近线的距离， 所以到渐近线的距离随着n的增大而减小，故选项C正确； 对于选项D：当时，，， 所以实轴长为，虚轴长为，不满足C的实轴长是虚轴长的两倍，故选项D不正确； 故选：AC 10．BD 【分析】 利用向量的数量积为0，求出正切函数值，判断A； 利用向量的数量积求解向量的投影以及向量的夹角判断B； 通过向量的模的求法求解判断C； 利用向量的数量积结合两角和与差的三角函数，求解最大值判断D． 【详解】 若，则，则，故A错误； 若在上的投影为，且，则，，故B正确； 若，， 若，则， 即，故，，故C错误； ，因为，，则当时，的最大值为，故D正确. 故选：BD． 11．ACD 【分析】 证明出平面平面，利用面面平行的性质可判断A选项的正误；求出的最小值，利用线面角的定义可判断B选项的正误；将沿翻折与在同一平面，利用余弦定理可判断C选项的正误；设是以为球心，为半径的球面与侧面的交线上的一点，求出的长，判断出点的轨迹，可判断D选项的正误. 【详解】 对于A，在长方体中，且，且， 且，所以，四边形为平行四边形，则， 平面，平面，平面，同理可证平面， ，所以，平面平面， 平面，所以，平面，A选项正确； 对于B，平面，所以，与平面所成角为， ，所以，当时，与平面所成角的正切值的最大， 由勾股定理可得， 由等面积法可得， 所以，的最大值为，B选项错误； 对于C，将沿翻折与在同一平面，如下图所示： 在中，为直角，，， 在中，，， 由余弦定理可得，则为锐角， 可得， ， 由余弦定理可得，此时， 因此，的最小值为，C选项正确； 对于D，设是以为球心，为半径的球面与侧面的交线上的一点， 由于平面，平面，， ， 所以交线为以为圆心，为半径的四分之一圆周，所以交线长是，D选项正确. 故选：ACD. 12．3 【分析】 利用抛物线的定义求解. 【详解】 抛物线的焦点为 准线方程为： ， 设， 因为抛物线上一点P到焦点的距离为5， 由抛物线的定义得：， 解得， 故答案为：3 13．240 【分析】 在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求得常数项． 【详解】 解：展开式的通项公式为， 令，求得，可得展开式中的常数项为， 故答案为：240． 14． 【分析】 根据题意，得出第三次扩展的数列，求得数列的第6项，再由，得到，结合等比数列的定义、通项公式和求和公式，即可求解. 【详解】 由题意，将数列1，2进行"扩展"，第一次得到数列； 第二次得到数列； 第三次得到数列：， 所以数列的第6项为. 又由， 可得 ， 即，则， 又由，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以， 则数列的前项和为. 故答案为：； . 15.【详解】（1）由已知得，即，因为，则，得，故或； （2）由题知，若，则，又，所以由正弦定理可得, 得， 故 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为． 16．（1）分布列见解析，期望为；（2）. 【分析】 （1）由题意可知，，根据二项分布可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）分两种情况讨论，甲组康复两人乙组都未康复、甲组全部康复乙组康复一人，利用独立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】 （1）由题意可知，， 所以，，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 因此，； （2）设乙组中康复人数为，记事件甲组中康复人数比乙组中康复人数多人， ，， 则. 17．（1）见解析；（2） 【分析】 （1）假设平面，得到平面，得出平面平面，再根据面面平行的性质定理得到，进而与矛盾，即可得到结论； （2）以O为坐标原点，建系空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解． 【详解】 （1）假设平面， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，，所以平面平面， 根据面面平行的性质定理可得，所以， 因为，，所以，这与矛盾， 所以不平行平面. （2）以O为坐标原点，建系如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 由，可得，则，取，， 所以平面的一个法向量， 直线与平面所成的角的正弦值为. 18．（1）答案不唯一，具体见解析；（2）． 【分析】 （1）求得函数的导数，分、和三种情况讨论，结合导数的符号和极值的定义，即可求解； （2）由存在，使得，构造新函数，利用求得函数的单调性与最值，进而求得实数的取值范围. 【详解】 （1）由题题意，函数， 可得． ①当时，若，则，若，则， 所以在区间上是减函数，在区间上是增函数， 所以当时，取得极小值，无极大值， ②当时，若或，则，若，则， 在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数， 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值． ③当时，，∴在区间上是增函数， ∴既无极大值又无极小值． 综上所述，当时，有极小值，无极大值； 当时，有极大值，极小值； 当时，既无极大值又无极小值 （2）由题知，存在，使得， 设，则， 设， ∴在区间上是增函数，又，， ∴存在，使得，即，∴， 当时，，即，当时，，即， ∴在区间上是减函数，在区间上是增函数， ∴， ∴，∴， ∴实数的取值范围为． 19．（1）证明见解析；（2）. 【分析】 （1）其上顶点到直线的距离为2，求出，点代入椭圆方程，可求出椭圆方程，设经过点的直线方程为：，可得，.利用，可得，利用两点之间的距离公式可得； （2）由（1）得直线的方程为，与椭圆方程联立求出，由点到直线距离公式，求出到直线距离，求出四边形面积的关于的表达式，结合关系，由基本不等式求出最大值. 【详解】 （1）其上顶点到直线的距离为2， ，解得. 又椭圆过点， ，解得. ∴椭圆的标准方程为：. 点在椭圆上，. 设经过点的直线方程为：， 可得，. ，即. 为定值. （2）由（1）得直线斜率为， 方程为， 即，， 联立解得， ， 点到直线的距离为， 当且仅当，即时，等号成立， ， 四边形面积的最大值为. 答案第10页，共13页 答案第9页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $