精品解析：四川遂宁市射洪绿然学校2026-2027学年高二上学期9月月考数学试题

高2025级高二9月月考数学试题（2－8班） 命题人：高二数学组 审题人：高二数学组 注意事项： 1.本试题卷共2页，满分150分，考试时间120分钟 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置 3.全部答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效 4.做选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需修改，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号 5.考试结束后，只收答题卡，本试题卷不回收 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 3. 点关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知向量，满足，，若与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ） A. B. AB与平面所成的角为 C. D. 与平面所成的角为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面与平面平行，平面的一个法向量为为内的一条直线，则的方向向量可能为（ ） A. B. C. D. 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则是钝角 B. 若为直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量 C. 若空间向量、、为非零向量，且，，则 D. 若，则可知 11. 如图，在长方体中，，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 异面直线和所成角的余弦值为 D. 若为线段上的动点，则三棱锥的体积最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则________. 13. 如果向量，，共面，则实数m的值是__________. 14. 如图，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角的正切值等于________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设＝，＝. （1）设向量＝，试判断2－与是否平行？ （2）若k＋与k－2互相垂直，求k. 16. 如图所示，在平行六面体中，取，，． （1）用，，表示； （2）若，分别为，的中点，用，，表示． 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的大小． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． （1）若，证明：平面； （2）若，且，证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2025级高二9月月考数学试题（2－8班） 命题人：高二数学组 审题人：高二数学组 注意事项： 1.本试题卷共2页，满分150分，考试时间120分钟 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置 3.全部答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效 4.做选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需修改，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号 5.考试结束后，只收答题卡，本试题卷不回收 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算求解. 【详解】已知，则. 2. 已知平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加法法则即可计算． 【详解】如图： 则. 3. 点关于平面的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ 空间直角坐标系中，点关于平面对称时，纵坐标与竖坐标保持不变，横坐标变为原横坐标的相反数. ∴ 点关于平面的对称点坐标为 4. 已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由，列出方程求解即可. 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 5. 已知向量，满足，，若与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积运算，来求和向量的模即可. 【详解】因为，，若与的夹角为，所以， 则， 故选：C. 6. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题可知，， 向量在向量上的投影向量为. 故选：. 7. 四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，由向量关系求解. 【详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则，所以， 所以点到直线的距离为. 8. 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ） A. B. AB与平面所成的角为 C. D. 与平面所成的角为 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出． 【详解】如图所示： 不妨设，依题以及长方体的结构特征可知，与平面所成角为，与平面所成角为，所以，即，，解得． 对于A，，，，A错误； 对于B，过作于，易知平面，所以与平面所成角为，因为，所以，B错误； 对于C，，，，C错误； 对于D，与平面所成角为，，而，所以．D正确． 故选：D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知平面与平面平行，平面的一个法向量为为内的一条直线，则的方向向量可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由向量垂直的数量积为零计算即可； 【详解】由题意，平面与平面平行，所以平面的一个法向量也是平面的法向量， 又为内的一条直线，所以法向量与指向的方向向量垂直， 对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确； 故选：BD. 10. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若，则是钝角 B. 若为直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量 C. 若空间向量、、为非零向量，且，，则 D. 若，则可知 【答案】CD 【解析】 【分析】对于AB：举反例说明即可；对于C：根据向量平行的判定定理分析判断；对于D：根据向量的线性运算分析判断. 【详解】A：若，则，夹角可能为，故A错误； B：当时，，不是直线l的方向向量，所以B错误； C：若空间向量，，为非零向量，且， 则存在非零实数，，使得，， 所以，所以，故C正确； D：因为，即， 可得，即，所以D正确； 故选：CD 11. 如图，在长方体中，，M，N分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 异面直线和所成角的余弦值为 D. 若为线段上的动点，则三棱锥的体积最大值为 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到，所以与不垂直，故与平面不垂直；B选项，求出平面的法向量，则，B错误；C选项，利用异面直线夹角余弦公式得到C正确；D选项，先求出，点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，求出平面的法向量，设，，利用点到平面距离公式得到点到平面的距离最大值，从而得到面积的最大值. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，M，N分别为棱，的中点， 故， ， 故， 所以与不垂直，故与平面不垂直，A错误； B选项，，而平面的一个法向量为， 则， 故与不垂直，故与平面不平行，B错误； C选项，，，， 设异面直线和所成角的夹角为， 故， 故异面直线和所成角的余弦值为，C正确； D选项，为线段上的动点，设，， 其中，， 故， 则， 故， 由于为定值，故点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 又， 设点到平面的距离为， 则， 因为，所以当时，， 则三棱锥的体积最大值为，D正确. 故选：CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由空间中两点间距离公式可解. 【详解】. 故答案为：. 13. 如果向量，，共面，则实数m的值是__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量共面的性质，列出方程组，求出参数值即可. 【详解】设，即， 可得，解得，则. 故答案为：1. 14. 如图，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°，则二面角的正切值等于________． 【答案】－2 【解析】 【分析】在平面ABC内，过作，可证得平面，AH⊥平面BCD，过作，可得平面，则，故为二面角的平面角的补角，设，求出，即可得出答案. 【详解】在平面ABC内，过作，垂足为，连接DH， 由题意，，平面，∴平面， ∵和所在的平面互相垂直，且平面平面，∴AH⊥平面BCD， 过作，垂足为，连接AR， ∵平面，平面，∴， ∵，平面， ∴平面，又平面，∴， 故为二面角的平面角的补角． 设，则由题设知，， 在中，， ， 故二面角的正切值为－2． 故答案为：－2． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设＝，＝. （1）设向量＝，试判断2－与是否平行？ （2）若k＋与k－2互相垂直，求k. 【答案】（1）(2－)∥；（2）k＝2或－. 【解析】 【分析】（1）利用空间向量的线性运算以及共线的坐标表示即可求解. （2）利用空间向量的线性运算以及垂直的坐标表示即可求解. 【详解】(1)因为＝(1，1，0)， 所以2－＝(3，2，－2)，又， 所以2－＝－2c，所以(2－)∥. (2)因为＝(1，1，0)，， 所以k＋＝(k－1，k，2)，k－2＝(k＋2，k，－4). 又因为(k＋)⊥(k－2)，所以(k＋)·(k－2)＝0， 即(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或－. 16. 如图所示，在平行六面体中，取，，． （1）用，，表示； （2）若，分别为，的中点，用，，表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形利用空间向量基本定理用基向量表示 即可； （2）利用中点条件将和用基底表示，再由向量加法计算即得． 【小问1详解】 连接，因为，，， 所以， 在平行六面体中，， 故． 【小问2详解】 连接，因为的中点，则， 因为的中点，则， 又，则， 故． 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，． （1）证明：． （2）求平面与平面夹角的大小． 【答案】（1） 连接．因为四边形是正方形，所以， 因为平面，所以， 因为，面，所以平面， 因为平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质得到即可. （2）首先建立空间直角坐标系，然后求出各点的坐标，然后求出平面与平面的法向量，最后根据向量夹角的余弦公式求出二面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，且四边形是正方形，所以两两垂直， 则以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，． 设平面的法向量为， 则，不妨令，则， 易知是平面的一个法向量， 得到，即， 故平面与平面的夹角为． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，、分别为棱、的中点． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，点的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查利用向量法求线面角和二面角，以点为原点，分别以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，第（1）小问，写出点，，，的坐标，求出平面的法向量，代入线面角的公式即可求解；第（2）小问点在线段上，所以点、、三点共线，即，由此可得点的坐标，分别求出平面和平面的法向量，根据二面角的公式建立关于的方程，即可求出点的坐标. 【小问1详解】 在正方体中，以点为原点，分别以，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，， ， 设平面的法向量为 则，即，令，， 所以平面的法向量为， ， ， 设直线与平面所成角为， 所以 则直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 因为点在线段上，所以点、、三点共线，即， ，，， ，可得， 由（1）可知，平面的法向量为， ， 设平面的法向量为 则，即，令，， 所以平面的法向量为， ， ， 设二面角的平面角为， 所以， 得，两边平方得 整理得，解得，， 当时，，点与点重合，此时二面角的平面角为钝角，余弦值小于0，不符合题意，舍去； 当时，， 综上所述，线段上存在一点，使得二面角的余弦值为，点的坐标为. 19. 如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． （1）若，证明：平面； （2）若，且，证明：平面平面； （3）求二面角的余弦值的最小值． 【答案】（1）如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，依据线面平行判定定理完成证明； （2）利用等体积转化由体积比确定点的位置，通过勾股定理证线线垂直，推证线面垂直，进而证面面垂直； （3）建立空间直角坐标系，设出动点坐标，求解平面法向量，得到二面角的余弦表达式，结合三角函数有界性求出二面角余弦的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $