3.3 立方根 课时作业 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

**基本信息** 本同步练习通过“基础达标-能力提升-拓展探究”三级分层设计，以概念梳理为起点，通过典例示范构建从单一知识点到综合应用的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|立方根概念、性质及基本运算|选择填空夯实基础，解答题强化开立方及解方程，融入正方体体积等简单应用| |能力提升|立方根与平方根综合辨析、估算及实际问题|含小数点移动规律、跨知识点综合计算，培养运算能力与推理意识| |拓展探究|立方根规律归纳及自主探究|通过小数点移动规律、符号本质区别等探究题，发展抽象能力与创新意识|

浙教版数学七年级上册 3.3 立方根 课时作业 3.3 立方根 课时作业 浙教版 七年级上册 · 第3章 实数 班级________ 姓名________ 学号______ 得分______ 一、知识梳理 知识点1 立方根的概念 一般地，如果一个数 的立方等于 ，即 ，那么这个数 叫做 的立方根，也叫做 的三次方根。 的立方根记作 ，读作“三次根号 a”，其中 是被开方数，3 是根指数（根指数 3 不能省略）。 求一个数 的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算。 正方体的体积为 27，棱长 满足 ，所以 知识点2 立方根的性质 被开方数 a 立方根的个数与符号 举例 正数（a > 0） 有且只有一个正的立方根 零（a = 0） 有且只有一个，就是 0 负数（a < 0） 有且只有一个负的立方根 核心区别：任何一个实数都有且只有一个立方根；而只有非负数才有平方根，正数的平方根有两个。这是本节最容易与 3.1 混淆的地方。 知识点3 常用结论 (1) ；(2) （这里 可以是任意实数）； (3) ，即负数的立方根等于这个数的绝对值的立方根的相反数。 例如：，，。 知识点4 常用的立方数 ，，，，，，，，，。 还要记住：，，，。 知识点5 平方根与立方根的对比 比较项 平方根 立方根 定义式 表示方法 （） （ 为任意实数） 被开方数的范围 任意实数 个数 正数有 2 个，0 有 1 个，负数没有 任何数都只有 1 个 与原数符号的关系 算术平方根非负 与原数同号 易错警示：① 是有意义的，而 没有意义；② 根指数 3 不能丢， 与 完全不同；③ ，，两者相等。 二、典例精析 例 1 求立方根 求下列各数的立方根：(1) 64；(2) ；(3) ；(4) ；(5) 0。 【解】(1) 因为 ，所以 ； (2) 因为 ，所以 ； (3) 因为 ，所以 ； (4) 因为 ，所以 ； (5) 0 的立方根是 0。 点拨：求负数的立方根时，先求出它的绝对值的立方根，再添上负号。 例 2 含立方根的计算 计算：(1) ；(2) 。 【解】(1) 原式 ； (2) 原式 。 点拨： 对任意实数都成立，所以 ，不需要变号。 例 3 开立方解方程 求 的值：(1) ；(2) ；(3) 。 【解】(1) ； (2) 由 得 ，所以 ； (3) 由 得 ，所以 。 点拨：开立方只有一个结果，不要像开平方那样添 “”，这是本节最常见的错误。 三、基础达标 （一）选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 的立方根是（　　） A. 2　　B. 　　C. 　　D. 不存在 2. 下列说法中，正确的是（　　） A. 负数没有立方根　　B. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数 C. 任何实数都有且只有一个立方根　　D. 一个数的立方根一定小于这个数 3. 计算 的结果是（　　） A. 5　　B. 　　C. 　　D. 25 4. 下列各式中，正确的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 5. 的值是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 6. 若一个正方体的体积为 64 cm³，则它的棱长为（　　） A. 4 cm　　B. 8 cm　　C. 16 cm　　D. 32 cm 7. 立方根等于它本身的数是（　　） A. 0　　B. 1 和 　　C. 0 和 1　　D. 0，1， 8. 计算 的结果是（　　） A. 9　　B. 　　C. 3　　D. 9. 估计 的值在（　　） A. 2 与 3 之间　　B. 3 与 4 之间　　C. 4 与 5 之间　　D. 5 与 6 之间 10. 若 ，则 的值是（　　） A. 2　　B. 　　C. 　　D. （二）填空题（每空 2 分，共 28 分） 11. 27 的立方根是 ____________； 的立方根是 ____________。 12. = ____________； = ____________。 13. = ____________； = ____________。 14. 若 ，则 = ____________。 15. 一个正方体的体积是 0.027 m³，它的棱长是 ____________ m。 16. 比较大小（填“>”“<”或“=”）： ______ 2； ______ 。 17. = ____________。 18. 若 ，则 = ____________。 19. 一个数的平方根是 ，则这个数的立方根是 ____________。 20. 若 与 互为相反数，则 = ____________。 （三）解答题（共 44 分） 21.（10 分）求下列各数的立方根： (1) 216；　(2) ；　(3) ；　(4) ；　(5) 。 22.（12 分）计算： (1) ；　(2) ； (3) ；　(4) 。 23.（10 分）求下列各式中 的值： (1) ；　(2) ；　(3) ；　(4) 。 24.（6 分）一个正方体木块的体积是 512 cm³。 (1) 求这个正方体的棱长；　(2) 求这个正方体一个面的面积；　(3) 求它所有棱长的和。 25.（6 分）已知 ，，求 的立方根。 四、能力提升 26. 下列说法中，错误的是（　　） A. 　　B. 　　C. 　　D. 27. 已知 ，，则 ≈（　　） A. 13.57　　B. 29.24　　C. 135.7　　D. 292.4 28. 若 是 的整数部分，则 = ____________。 29. 若 ，，则 = ____________， 的算术平方根是 ____________。 30. 已知 与 是同一个正数的两个平方根，则这个正数的立方根是 ____________。 31.（8 分）已知 ，，求 的值。 32.（8 分）一个长方体水箱的容积为 3.375 m³，现要做一个容积与它相同的正方体水箱。 (1) 求正方体水箱的棱长；　(2) 求正方体水箱的表面积（不计厚度，水箱有盖）。 33.（8 分）【估算立方根】小丽想估计 的大小，她列出下表： 4 4.5 4.6 4.7 5 64 91.125 97.336 103.823 125 (1) 由表可知 在哪两个整数之间？ (2) 请估计 的值（精确到 0.1），并说明理由； (3) 若一个正方体的体积为 100 cm³，估计它的棱长约为多少厘米（精确到 0.1 cm）。 五、拓展探究 34.（8 分）【小数点移动的规律】已知 ，。 (1) 填空： __________， __________； (2) 归纳你发现的规律（与平方根的规律作比较）； (3) 若 ，则 ≈ __________。 35.（8 分）【自主探究】小明在计算时发现：，。 (1) 请填空：当 时， = __________， = __________； (2) 由此说明：开平方与开立方在“符号”上有什么本质区别？ (3) 利用上述结论化简：当 时，。 参考答案与解析 （一）选择题 1. B　【解析】因为 ，所以 的立方根是 。负数有立方根，且是负数。故选 B。 2. C　【解析】负数有一个负的立方根，A 错误；立方根只有一个，B 错误；如 的立方根是 ，比原数大，D 错误。故选 C。 3. A　【解析】，所以 ，立方根只有一个，不带 。故选 A。 4. C　【解析】，A 错误；，B 错误；，D 错误；，C 正确。故选 C。 5. A　【解析】因为 ，所以 。故选 A。 6. A　【解析】设棱长为 cm，则 ，。故选 A。 7. D　【解析】设这个数为 ，则 ，即 可以取 0，1，。故选 D。 8. B　【解析】由 得原式 。故选 B。 9. B　【解析】因为 ，所以 。故选 B。 10. C　【解析】由 得 ，所以 ，。故选 C。 （二）填空题 11. 3；。【解析】，。 12. 0.4；。【解析】；。 13. 11；。【解析】；，对负数同样成立。 14. 。【解析】，立方根只有一个，不能写 。 15. 0.3。【解析】。 16. >；<。【解析】，所以 ；，所以 。 17. 3。【解析】先算里层：；再算外层：。做这类复合运算要坚持“由内向外”的顺序。 18. 14。【解析】由 得 ，解得 。 19. 。【解析】平方根是 的数是 16，16 的立方根是 （不是整数，保留根号即可）。 20. 。【解析】互为相反数，则 ，所以 与 互为相反数，即 ，，。 （三）解答题 21.【解】(1) 因为 ，所以 216 的立方根是 6； (2) 因为 ，所以 的立方根是 ； (3) 因为 ，所以 的立方根是 ； (4) 因为 ，所以 的立方根是 ； (5) ，而 的立方根是 。 22.【解】(1) 原式 ； (2) 原式 ； (3) 原式 ； (4) 原式 。 23.【解】(1) ； (2) 由 得 ，所以 ； (3) 由 得 ，所以 ； (4) 由 得 ，所以 。 24.【解】(1) 设棱长为 cm，则 ，所以 （cm）。 (2) 一个面的面积为 （cm²）。 (3) 正方体有 12 条棱，总长为 （cm）。 25.【解】由 得 ，所以 ； 由 得 ，所以 。 所以 ， 的立方根是 。 （四）能力提升 26. B　【解析】，当 时 ，所以 B 错误；其余三项对任意实数都成立。故选 B。 27. A　【解析】被开方数的小数点每向右移动三位，立方根的小数点向右移动一位。 小数点向右移动三位，所以 。故选 A。 28. 2。【解析】因为 ，所以 ，整数部分是 2。 29. 1；。【解析】由 得 ；由 得 。所以 ，，其算术平方根为 。 30. 4。【解析】同一个正数的两个平方根互为相反数，所以 ，即 ，。此时 ，这个正数是 ，它的立方根是 。 31.【解】由 得 ，解得 ； 由 得 ，所以 或 。 所以 或 。 点拨：开立方只有一个解，开平方有两个解，所以本题的答案有两个，千万不要漏解。 32.【解】(1) 设正方体棱长为 m，则 。因为 ，所以 （m）。 (2) 表面积 （m²）。 33.【解】(1) 因为 ，所以 在 4 与 5 之间。 (2) 因为 ，，所以 。又 100 与 97.336 相差 2.664，与 103.823 相差 3.823，所以 。 (3) 棱长约为 4.6 cm。 （五）拓展探究 34.【解】(1) ；。 (2) 规律：被开方数的小数点每向右（左）移动三位，它的立方根的小数点就向右（左）移动一位。与平方根相比：平方根是“每移动两位，根移动一位”，立方根是“每移动三位，根移动一位”。 (3) 由 知，要使立方根扩大到 10 倍，被开方数应扩大到 1000 倍，所以 。 35.【解】(1) 当 时，，。 (2) 开立方“保号”：结果与原数同号，所以 就等于 本身；开平方“非负”：算术平方根一定不是负数，所以 。 (3) 当 时，。 六、错题整理与自我评价 请把本次作业中做错的题号、错因和订正思路填入下表，并在最后一栏给自己评星（★~★★★★★）。 错题题号 错因分析（概念不清 / 计算失误 / 审题不清 / 方法不会） 订正思路 本节我的掌握情况：立方根的概念（　　）；平方根与立方根的区别（　　）；开立方解方程（　　）；实际应用（　　）。 自我评价：________________________　　家长（教师）签字：________________________ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $